Jai une poutre continue sur un poteau central (je ne sais pas si je la dessine correctement ou non)
Le diagramme de déplacement et de force est comme indiqué:
Le premier diagramme est le moment de flexion, le second la force axiale, le troisième le déplacement.
Maintenant, quelle est la condition aux limites à $ R_A $, $ R_B $ et $ R_C $?
Daprès ce que je peux déduire, il semble que ce soit
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (correspond à la déflexion aux trois supports)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, ou $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (correspond au moment).
Mais je soupçonne quil me manque encore certaines conditions aux limites pour dériver le diagramme complet déplacement / force pour la suite ous faisceau. Y a-t-il des conditions aux limites que jai manquées?
Réponse
Eh bien, il vous manque la compatibilité des pentes au support central :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
Dans le cas de géométrie symétrique & chargement, la pente de la poutre au support médian sera nulle.
Puisque le moment de flexion na pas de dérivée à x = L, vous besoin de dériver les déflexions des deux moitiés séparément et de les «joindre» avec compatibilité.
Mise à jour: dérivation de la formule de déviation de la poutre:
À partir de l équation de la poutre dEuler-Bernoulli (en supposant une EI constante), et en prenant x de soutient vers le centre: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Intégrant quatre fois:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Remarquant que le problème est symétrique, les conditions aux limites sont: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
On voit donc immédiatement que: $ B = D = 0 $
Nous avons maintenant deux équations à deux inconnues (A, C). En résolvant, nous trouvons: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Nous pouvons maintenant tout remplacer les constantes dans léquation pour w. Simplifier les résultats en:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
qui est identique au résultat référencé ici (notez que leur système de coordonnées a x = 0 au centre). Notez également que cest exactement le même résultat quun cantilever étayé . Cela est dû à la symétrie, ce qui signifie que la pente de la poutre au centre est nulle (ce qui est la même condition aux limites quun support en porte-à-faux).
Vous pouvez également effectuer une substitution dans léquation du moment de flexion:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Commentaires
- a) la compatibilité de la condition de pente nest utile que si lon peut modéliser la poutre continue comme deux poutres de travée. En quoi est-ce utile dans ce cas? b) Pourquoi dites-vous que le moment de flexion est discontinu à $ L $? le diagramme des moments dans ma question montre clairement quil est continu.
- Je vous serais reconnaissant si vous pouvez élaborer un peu et si vous pouvez montrer comment vos conditions aux limites peuvent conduire au diagramme de déplacement / moment de flexion pour une poutre continue .
- @Graviton, a) Je mettrai à jour la question avec la dérivation. b) vous avez raison, jétais un peu lâche avec ma terminologie mathématique. Ce que je veux dire, cest que le moment de flexion na pas de dérivée à x = L.