Pour diagonaliser le terme quadratique dans le modèle antiferromagnétique de Heisenberg, nous pouvons introduire la transformation de Bogoliubov: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Cette transformation peut diagonaliser le terme quadratique dans lhamiltonien:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
avec $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Mais la transformation U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ nest pas unitaire, car $ u_k, v_k $ sont réels, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
Est le nombre de bosons non conservés , donc la transformation peut ne pas être unitaire? Y a-t-il une restriction sur la transformation du boson?
Commentaires
- Ce qui compte, cest quaprès la transformation, les relations de commutation standard soient toujours valables.
- lié: physics.stackexchange.com/q/53158
Réponse
Vous avez raison, les transformations de Bogoliubov ne sont pas unitaires en général. Par définition,
Les transformations de Bogoliubov sont des transformations linéaires dopérateurs de création / annihilation qui préservent les relations algébriques parmi eux.
Les relations algébriques sont principalement les relations de commutation / anticommutation qui définissent les opérateurs bosoniques / fermioniques. Nulle part dans la définition, nous navons précisé que la transformation devait être unitaire. En fait, la transformation de Bogoliubov (dans sa forme la plus générique) est symplectique pour les bosons et orthogonal pour fermions . Dans aucun des cas, la transformation de Bogoliubov nest unitaire. La transformation de Bogoliubov des bosons correspond à la transformation canonique linéaire des oscillateurs en mécanique classique (car les bosons sont des quanta doscillateurs), et nous savons que les transformations canoniques linéaires sont symplectiques en raison de la structure symplectique de lespace des phases classique.
Donc, pour être plus précis, quelles sont les restrictions sur les transformations de Bogoliubov? Considérons le cas des modes de particule unique $ n $ des bosons $ b_i $ ou des fermions $ f_i $ (où $ i = 1,2, \ cdots, n $ étiquette les états des particules uniques, tels que les états propres dimpulsion). Les deux $ b_i $ et $ f_i $ ne sont pas des opérateurs hermitiens, ce qui nest pas tout à fait pratique pour un traitement général (car nous ne pouvons pas simplement traiter $ b_i $ et $ b_i ^ \ dagger $ comme base indépendante puisquils sont toujours liés par la transformation particule-trou) .Par conséquent, nous choisissons de réécrire les opérateurs comme les combinaisons linéaires suivantes (motivé par lidée de décomposer un nombre complexe en deux nombres réels comme $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ begin {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ où $ a_i = a_i ^ \ dagger $ et $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (pour $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) sont des opérateurs hermitiens (analogues aux nombres réels).Ils doivent hériter des relations de commutation ou danticommutation des bosons « complexes » $ b_i $ et des fermions $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ où $ g_ {ij} ^ a $ et $ g_ {ij} ^ c $ sont parfois appelés métrique quantique pour les bosons et les fermions respectivement. Dans les formes matricielles, elles sont données par $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ fois n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ fois n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrice} \ mathbb {1} _ {n \ fois n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ avec $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ étant la matrice didentité $ n \ times n $. Donc, préserver les relations algébriques entre les opérateurs de création / annihilation, cest préserver la métrique quantique . Les transformations linéaires générales des opérateurs $ a_i $ et $ c_i $ prennent la forme de $$ a_i \ en \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ en \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ où les éléments de la matrice de transformation $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ doivent être réels, afin de garantir que les opérateurs $ a_i $ et $ c_i $ restent Hermitien après la transformation. Ensuite, pour préserver la métrique quantique, il faut demander $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Donc tout une transformation linéaire réelle satisfaisant les conditions ci-dessus est une transformation de Bogoliubov au sens le plus général. Ensuite, selon la propriété de la métrique quantique, la transformation de Bogoliubov est soit symplectique, soit orthogonale. Pour la métrique quantique bosonique, $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ est antisymétrique , donc la transformation $ W ^ a $ est symplectique . Pour la métrique quantique fermionique, $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ est symétrique , donc la transformation $ W ^ c $ est orthogonale .
Commentaires
- Quelquun peut-il recommander une ressource pour en savoir plus sur ce formalisme, cest-à-dire la décomposition des opérateurs de création / annihilation en » les nombres complexes » et la préservation de la métrique quantique?
Réponse
Lunité dune transformation mécanique quantique nest pas déterminée par la façon dont elle mélange les opérateurs de création et dannihilation. (Peu importe le type de matrice — orthogonale, symplectique ou unitaire — impliquée dans le mélange!) devrait examiner si la transformation est associée à un opérateur unitaire agissant sur lespace de Hilbert.
La transformation de Bogoliubov OP citée peut être représentée comme suit ($ \ textbf {k} $ – la dépendance est supprimée): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ où $ \ lambda $ est un nombre réel. Cette transformation est unitaire si et seulement sil existe un opérateur unitaire $ U $ tel que $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ En effet, ces relations sont remplies avec le choix suivant: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$ donc la transformation est unitaire.
Réponse
Permettez-moi de travailler sur cette partie de léquation matricielle $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Limportant est que la transformation des champs puisse être vue aussi bien quun trans formation de la matrice $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ où $ M ^ \ poignard ~ = ~ M $. Le déterminant de ceci est $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Le déterminant de $ M $ donne alors $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Ceux-ci peuvent alors être représentés par $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ et $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Maintenant, évaluez le commutateur $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Pour les commuators $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ et on voit alors $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Il en est clairement de même pour $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Cela signifie que tout système avec $ N \ hbar $ unités daction est constant. Il ny a pas de changement dans le volume despace de phase du système. cela signifie alors que les transformations de Bogoliubov sont effectivement unitaires.
Commentaires
- Donc les transformations unitaires générales ‘ s les définitions sont plus longues $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ que nous apprenons du manuel? Je ne ‘ ne comprends pas ‘ Cela signifie que tout système avec Nℏ unités daction est constant. Il ny a pas de changement dans le volume despace de phase du système ‘, voulez-vous lexpliquer?
- Au fait, y a-t-il une restriction sur la transformation du système bosonique (hamiltonien)?
- @ZJX Je ne ‘ pas comprendre pourquoi Lawrence a dit que les transformations bosoniques de Bogoliubov sont » effectivement unitaire « . Je pense quils devraient être symplectiques en général. La restriction vient de la préservation de la définition des opérateurs bosoniques (tels que les opérateurs bosoniques restent bosoniques sous la transformation). Il ny a pas de restriction venant du système bosonique (hamiltonien). Tant que lhamiltonien est hermitien, cest un hamiltonien légitime. Toute transformation symplectique appliquée à lhamiltonien est une transformation Bogoliubov légitime.
Réponse
Non, cest unitaire transformation, mais seulement lorsque vous considérez le trou de lélectron hamiltonien & ensemble.
Commentaires
- Mais ici, le modèle concerne le spin, il ‘ nest pas le fermion, non?