Les nombres sont-ils vraiment infinis? [fermé]

Vous nêtes pas le seul à remettre en question la myriade infinie de nombres. En fait, il existe des écoles entières de pensée explorant le spectre infini des nombres, des écoles entières de pensée explorant les nombres transfinis au-delà du spectre infini, et des écoles entières de pensée explorant comment faire des mathématiques là où les infinis nexistent pas (connues sous le nom décoles finitistes de pensée)!

Le concept darithmétique Peano est fondamental dans la discussion des nombres infinis. Giuseppe Peano a développé un ensemble d axiomes pour les « nombres naturels », qui sont définis de manière informelle comme étant la séquence 0, 1, 2, 3, 4. .. Les axiomes sont:

• 0 est un nombre naturel (nous le déclarons exister, cest une constante)
• Pour tout nombre naturel x, x = x (réflexif: tout » est égal « lui-même)
• Pour tous les nombres naturels x et y, si x = y alors y = x (propriété symétrique dégalité)
• Pour tous les nombres naturels x, y, z, si x = y et y = z puis x = z (propriété transitive dégalité)
• Pour tous a et b, si b est un nombre naturel et a = b alors a est un nombre naturel (légalité est « fermée »)

Il faut alors définir une fonction S, connue sous le nom de fonction successeur, afin que nous puissions avoir des nombres supérieurs à 0. Informellement, S(0)=1, S(1) = 2 et ainsi activé.

• Pour chaque nombre naturel n, S(n) est également un nombre naturel
• Pour tous les nombres naturels m et n, m = n si et seulement si S(m) = S(n) (S est une injection)
• Pour chaque nombre naturel n, S(n) = 0 est faux (le successeur dun nombre nest jamais 0 … aka 0 est le « premier » nombre naturel)

Nous avons maintenant besoin de laxiome qui rend votre question si délicieusement intéressante, laxiome de linduction:

• if f est une fonction telle que t f(0) est vrai et, pour chaque entier naturel n, si f(n) est vrai alors f(S(n)) est vrai alors f(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

Ce dernier axiome est le celui qui provoque un comportement tellement intéressant. Cest celui qui essaie datteindre linfini et prétend offrir des moyens de le saisir. Et, comme tous les axiomes, il ne déclare pas nécessairement quil est «correct», mais simplement quil est déclaré vrai dans les limites des règles de larithmétique (telles que définies par Peano).

Une grande partie de larithmétique a été formalisée sur ce que lon appelle la «théorie des ensembles», qui est à la base dune grande partie de nos mathématiques car elle semble être fondamentale quant à lorganisation de lunivers. Les ensembles traitent des ensembles particuliers de choses, comme « lensemble des nombres naturels inférieurs à 5 », qui sécrit {0, 1, 2, 3, 4}.Larithmétique Peano est le plus souvent mappée sur la théorie des ensembles en utilisant la construction suivante:

• Lensemble vide {} est déclaré comme la constante 0 dans les axiomes de Peano
• La fonction successeur S(n) est définie comme étant` S (n) = {{}, {n }} (Le successeur de tout nombre est défini comme étant lunion de lensemble vide et dun ensemble contenant le numéro précédent)

Cette définition semble un peu obtuse, mais elle a été choisie parce quelle est facile de mapper tous les autres axiomes de Peano sur ces deux définitions. Avec cela, nous gagnons la capacité dutiliser les axiomes de la théorie des ensembles pour manipuler les «nombres» de manière très puissante et fondamentale. Lun des plus importants est le concept de cardinalité dun ensemble. Il sagit du « nombre » de choses dans un ensemble. De manière informelle, {1, 2, 3}, {3, 4, 5} et {pomme, orange, orang-outan} ont tous une cardinalité de 3 car ils ont 3 éléments, mais {2, 4, 6, 8} a une cardinalité de 4.

Cest là où cela devient délicat, car il savère que « lensemble de tous les nombres naturels » est un ensemble valide, généralement représenté par une majuscule N, nous pouvons donc demander « quelle est la cardinalité de lensemble de tous les nombres naturels? « La réponse est » linfini « , et cette déclaration est faite comme une définition. Nous définissons la cardinalité de N comme étant un nombre particulier, connu sous le nom de ℵ₀ qui reçoit le nom anglais « countable infinity ». Oui, pour les mathématiciens, linfini est dénombrable, car on peut théoriquement commencer à 0, compter 1, 2, 3, 4, 5 … et «atteindre» ℵ₀ selon laxiome dinduction. Il existe également dinnombrables infinis, tels que ℵ₁, connus sous le nom de cardinalité du continuum ou nombre de nombres réels (en supposant que lhypothèse du continuum soit vraie … il y a même des opinions différentes à ce sujet). Il y a même une école de pensée sur les nombres « transfinis » qui peuvent gérer des phrases comme « je double chien vous défie linfini plus une fois! »

Bienvenue dans le terrier de linfini en mathématiques. Nous avons défini le mot comme signifiant quelque chose ici. Il est défini par rapport à un ensemble daxiomes. Ces axiomes sont-ils valables dans la «vraie vie?» La plupart des mathématiciens trouvent pratique de supposer quils le font. Lordinateur sur lequel vous lisez ceci aujourdhui a été développé en utilisant de nombreux modèles de calcul, et les racines du calcul se trouvent profondément dans linfini (en particulier son concept de « limites). Jusquà présent, cette hypothèse nous a fait assez bien. Cette hypothèse est-elle » vraie? « Cest » plus compliqué question. Il existe des écoles de pensée finitistes qui partent de lhypothèse que le nombre de nombres naturels est fini, généralement lié à la capacité finie de lesprit humain ou de lunivers dune manière ou dune autre. Si le temps est fini, et le calcul est fini, alors on ne peut théoriquement pas calculer «linfini», alors ils soutiennent que cela nexiste pas. Ont-ils raison? Eh bien, oui … par leurs définitions, tout comme laffirmation opposée est vraie par les définitions des axiomes de Peano et de la théorie des ensembles. Les deux peuvent sans doute être vrais parce quils définissent chacun le mot «infini» comme signifiant quelque chose de très légèrement différent.

Pour conclure, il peut être utile de se pencher sur le langage choix: « Alors, dirons-nous que les nombres sont infinis? » Nous pouvons dire un grand nombre de choses. Que ces choses rencontrent lidéal de vérité (lui-même un mot très difficile à décrire formellement) dépend grandement de la signification individuelle de chacun. mots. Si vous acceptez la définition de «linfini» donnée par les mathématiques traditionnelles, alors «les nombres sont infinis» est vrai, littéralement parce que les mathématiques traditionnelles définissent «linfini» comme tel. Si vous acceptez la définition donnée par les finitistes, alors «les nombres sont infinis» est faux, littéralement parce que les finitistes définissent «linfini» comme tel. Vous pouvez choisir votre propre définition. Cela peut même être contextuel (il nest pas rare de trouver des mathématiciens chrétiens qui définissent «linfini» dans leur religion un peu différemment de ce quils définissent dans les mathématiques, sans effets néfastes à part deux concepts très similaires se voir attribuer le même mot dans leur vocabulaire) .

Commentaires

• " il y a des écoles entières de pensée explorant le spectre infini des nombres ". Personne ne peut explorer la quantité infinie de nombres parce quils sont infinis. Vous auriez besoin dune quantité infinie dannées et dune quantité infinie dérudits.
• Cette réponse contient ce que je suppose être une erreur innocente. La valeur de la cardinalité du continuum est lune des grandes inconnues de la théorie des ensembles. ZFC nest pas assez fort pour répondre établir une valeur. Dire que " c " est égal à aleph-1 revient à supposer la véracité de lhypothèse du continuum.
• Jaime vraiment cette réponse.Autant que tout est ce que nous disons que cest quand il y a un accord populaire, cette réponse va encore plus loin pour donner très rapidement et clairement le cadre mathématique dans lequel nous définissons à la fois les termes et plus précisément comment linfini est défini en utilisant les mêmes. +1
• @NickR Merci pour la capture! Une modification a été mise en place!
• @JohnAm Vous pouvez les explorer en un temps fini, à condition de faire la moyenne dun temps infime sur chaque nombre 😉 Cela soulève la question de savoir à quel point nous explorez certains des plus grands nombres, ' t-il!

Il est généralement admis que les nombres naturels satisfont les Axiomes Dedekind-Peano (généralement juste nommés daprès Peano parce que Dedekind se raidit). Ces axiomes impliquent quil existe une infinité de nombres naturels. Et il nest pas difficile de comprendre pourquoi: il ne peut pas y avoir un plus grand nombre naturel n, puisque n + 1 est un plus grand nombre naturel.

Plus généralement, dans les axiomes standard (ZFC) pour la théorie des ensembles , nous pouvons prouver lexistence de plusieurs ensembles infinis. Ceci est un peu moins utile pour vos besoins, depuis lexistence dun ensemble infini est intégré à ZFC comme un axiome, mais puisque ZFC est largement accepté par des mathématiciens et des philosophes, cela vaut la peine de le souligner.