Les sept chiffres de référence?

Un volume décent sur les mathématiques élémentaires est Mathématiques pour les enseignants du primaire (Beckmann, 2010). Le livre est destiné à aider à renforcer les connaissances des enseignants sur les mathématiques derrière les idées dans les programmes élémentaires (en particulier les programmes de réforme, je pense). En tant que tel, cest souvent un bon endroit pour vérifier des choses comme celle-ci.

Des repères (également appelés « points de repère ») sont introduits dans le contexte de la comparaison de fractions. Lorsque les élèves essaient de déterminer quelle fraction est plus grand, $ \ frac {4} {9} $ ou $ \ frac {3} {5} $, une stratégie suggérée est que les élèves raisonnent sur leur relation avec un autre nombre, comme la fraction $ \ frac {1} { 2} $:

Lorsque nous avons comparé $ \ frac {4} {9} $ et $ \ frac {3} {5} $ en comparant les deux fractions avec $ \ frac {1} {2} $, nous avons utilisé $ \ frac {1} {2} $ comme repère (ou repère) . Les fractions $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ et $ 1 $ sont bons à utiliser comme points de repère. (p. 73)

Il est clair daprès ce texte que les nombres sont quelque peu arbitraires ; il ny a pas de liste définitive de nombres de référence. Les élèves choisiraient une fraction de référence qui les aide à comparer.

Je ne peux pas dire si les autres utilisent les références de la même manière (un rapide coup dœil à certains les autres livres que jai à portée de main nindiquent pas le terme). Cependant, lutilisation ici est claire: une référence nombre est un nombre utile pour raisonner sur un problème. Dans ce cas, le benchmark est utilisé comme point de référence pour la comparaison des fractions.

Le but est dencourager le raisonnement plutôt que la procédure. Il existe des algorithmes pour certains étudiants sont enseignés à utiliser pour la comparaison de fractions, ce qui leur permet de remplacer le raisonnement mathématique par quelques étapes mémorisées et un peu darithmétique. Mais le raisonnement leur permet de pratiquer des conjectures, de travailler à trouver une justification de leur réponse, et finalement davoir un moyen de défendre leur réponse autrement que « cest ce que la procédure a produit. »

Je devrais th ink tout nombre utile utilisé dans le raisonnement pourrait être appelé un repère. Par exemple, dans ma réponse à une autre question (vue ici) , jai écrit sur le raisonnement des élèves qui transforme un sous-dossier en nombre $ 2000 $. Dans ce cas, 2000 $ sont utiles.

Un autre type de raisonnement mathématique qui pourrait bénéficier dun benchmark est lestimation. Les nombres peuvent être remplacés par des repères à proximité qui permettent un calcul plus rapide, si lobjectif est simplement de donner une réponse approximative (une stratégie souvent très utile pour de nombreuses applications du monde réel).

En résumé, Je ne pense pas quil existe un support pour une liste définitive de benchmarks . ceux que le Dr Beckmann fournit sont des suggestions («bonnes à utiliser») mais le vrai test est de savoir si elles sont utiles au penseur au milieu de son raisonnement mathématique.

Ouvrages cités:

Beckmann, S. (2010). Mathématiques pour les enseignants du primaire. New York: Pearson Addison-Wesley.

Commentaires

• peut-être ‘ est juste moi étant paresseux, mais en tant quenfant, je pense que je calculerais simplement le développement décimal pour comparer deux fractions. Je ‘ Jai lu une histoire de la physique qui fait écho à ce sentiment … que le système de nombres décimaux était extrêmement important pour laspect approximation de la pensée de Newton ‘ … mais, je ‘ Je ne suis pas expert.
• @ JamesS.Cook It ‘ nest pas paresseux dutiliser la représentation qui t correspond à vos compétences et à lapplication à portée de main. Le travail en classe a bien sûr un objectif dapprentissage supplémentaire. Dans ce cas, revenons au raisonnement de la comparaison (en ce sens, il contraste avec certaines autres méthodes  » trick « ). Par curiosité, quand vous compariez des fractions avec des décimales enfant, quel raisonnement reliait les représentations fractionnaires et décimales? En dautres termes, comment vous êtes-vous prouvé de manière informelle que la représentation décimale était vraiment le même nombre?
• Si je me souviens bien, et cela est discutable, je crois que cétait le sens standard. Par exemple, $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $ donc nous construisons les décimales à partir de laddition de multiples entiers de 10,1,1 / 10 $, 1/100 $ … ensemble. Le besoin de séries na été apprécié que bien plus tard, les approximations ont suffi à mes besoins denfant, je ne me souviens ‘ avoir réfléchi à la convergence sur le terrain de jeu.
• @JamesS .Cook Donc, la sorte de connaissance  » atomique  » ici est que $ \ frac {1} {10} = 0,1 $ (et donc pour les autres fractions impliquant des puissances de dix). Mais aussi, vous devrez justifier que $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. À première vue, cela semble plus sophistiqué que de comparer deux fractions basées sur un indice de référence (cest-à-dire que vous ‘ nauriez pas besoin de cette stratégie de référence à ce stade). Vos fractions au dénominateur de puissance dix sont évidemment un élément essentiel pour comprendre comment la valeur de position sapplique aux valeurs fractionnaires.

Je ne peux » pas confirmer cela, mais voici « une pensée en tant que mathématicien et père denfants dâge scolaire (afin que les repères se posent):

1: Représente lidée dans son ensemble de ce quest un nombre. Une fois que vous obtenez 1, il vous suffit de mémoriser 2, 3, …, 9.

0: signifie comprendre que rien nest aussi une quantité / nombre.

10: Au début, « 10 » est juste un autre symbole pour un nombre comme « 7 ». Mais si vous comprenez vraiment que cest « un 1 et un 0, alors les symboles 11, …, 99 deviennent immédiatement compréhensibles.

100: Comprendre » dix « est une chose. La prochaine étape est de comprendre quil doit y avoir un nouveau nom pour dix 10. Une fois que vous obtenez « cent », alors « mille », « dix mille », « million », etc. deviennent la mémorisation.

1/2: Être capable comprendre vraiment 1/2 signifie que vous comprenez ce que sont les fractions. Je sais que les élèves ont vraiment du mal avec les fractions, mais tout commence par 1/2.

1/10: Une fois que vous obtenez des fractions, la question de la décimale la représentation est naturelle. Donc je suppose que 1/10 devrait vraiment signifier comprendre 0,1.

12: Un peu bizarre sur la liste. Je suppose que cest lune des deux possibilités: cest important parce que la plupart des élèves mémorisent les tables de multiplication en 12×12, ou parce quen anglais, « douze » est le dernier nombre dont le nom ne vous dit rien sur sa représentation décimale, par exemple peut-être quil aurait dû être appelé « seconteen ».

Commentaires

• Si vous regardez de près,  » douze  » contient au moins une forme de  » deux.  » Voir aussi etymonline.com/index.php?term=twelve .
• Douze est le premier nombre abondant, et aussi la clé dans le modèle dhorloge que certains enseignants utilisent pour les fractions. Je ne ‘ ne sais pas si cest pourquoi il ‘ est sur la liste, mais il est certainement logique de savoir pourquoi il pourrait être sur un liste des nombres importants en 4e et 5e année.
• Le nombre entier  » 1  » est l’identité multiplicative universelle .Bien que  » 2  » nest pas ‘ nécessaire comme base pour les nombres entiers, je le ferais Considérez le fait que multiplier nimporte quoi par le nombre entier deux équivaut à lajouter à lui-même est assez important. Je considérerais  » 4  » important car multiplier quelque chose par quatre équivaut à ajouter quelque chose à lui-même et à ajouter le résultat à lui-même , tandis que  » 3  » est important car multiplier par trois nécessite dajouter quelque chose à lui-même, puis dajouter le résultat à lélément dorigine .