Loi de Coulomb ': pourquoi $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplicate]

Définition du symbole $ k $ dans la loi de Coulomb, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ être $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, est parfaitement admis quand on le comprend simplement comme un définition de $ \ epsilon_0 $. La motivation de cette définition est que lorsque vous calculez les forces entre deux plaques de charge opposée de la zone $ A $ et facturez $ Q $ à une distance de $ d $ lune de lautre, elles viennent comme $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, où le facteur de $ 4 \ pi $ provient de lapplication judicieuse de Gauss « s

Lorsque vous développez cela plus loin dans une théorie de la capacité, vous trouvez que cela implique que la tension entre les plaques est $ V = Q / C $, où $ C = \ epsilon_0 A / d $. De plus, si vous souhaitez insérer un diélectrique entre les plaques (comme vous le faites souvent), la capacité passe à $$ C = \ epsilon A / d $$ où $ \ epsilon $ est connu comme la permittivité électrique du diélectrique . $ \ epsilon_0 $ est alors naturellement compris comme « la permittivité de lespace libre » (qui bien sûr définit simplement ce que nous entendons par permittivité).

La question est alors, bien sûr, pourquoi est-ce « dérivé « unité, $ \ epsilon_0 $, traitée comme plus » fondamentale « que loriginal $ k $? La réponse est que ce nest pas » t puisquils sont équivalents, mais la permittivité de lespace libre est beaucoup plus facile à mesurer (et létait certainement à la fin du 19e et au début du 20e siècle, lorsque la recherche électrique était très orientée vers les technologies basées sur les circuits), de sorte quelle en est sortie gagnante, et pourquoi avoir deux symboles pour des quantités équivalentes?

Lunité de la seconde est définie comme la durée dun certain nombre de périodes de rayonnement émis par une pièce type iculaire de transition délectrons entre les niveaux dénergie dans un isotype de césium (voir ici ).

Cest une hypothèse que la lumière se déplace à un vitesse constante $ c $ indépendante du cadre de référence, donc maintenant que nous avons fixé une unité de temps, nous pouvons définir une unité de longueur: le mètre est la distance parcourue par la lumière dans $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Nous définissons également lunité SI du courant (lampère) de sorte que la perméabilité de lespace libre prenne une valeur souhaitée dans Unités SI ($ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} $).

Nous pouvons alors définir $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ ainsi comme $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Maintenant, gardez à lesprit que vous navez pas à réparer un système dunités pour faire cela (comme je lai fait auparavant). Comme ce qui précède sont des définitions , elles sappliqueront à nimporte quel système dunités. Cependant, voir que ces définitions ne finissent pas par être circulaires, cela permet de voir que lon peut définir $ \ mu _0 $ et $ c $ en termes de phénomènes purement physiques. En dautres termes, pour que les définitions ci-dessus aient même un sens, nous devions savoir que nous pouvions dabord définir $ c $ et $ \ mu _0 $ indépendamment de $ \ varepsilon _0 $ et $ k $. La définition ci-dessus des unités SI vous aide à voir que cela peut être fait.

Commentaires

• Tout cela est en train de changer avec le nouveau système de SI. Alors que $ c $ est fixe, $ \ mu_0 $ et $ \ epsilon_0 $ ne le sont pas.

Si la question est pourquoi le « $ 4 \ pi $ » dans la constante de Coulomb (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), alors une question tout aussi valable pourrait être pourquoi le « 4 $ \ pi $ » dans la perméabilité magnétique du vide, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Peut-être quun indice peut être trouvé dans léquation de Maxwell pour la vitesse de londe électromagnétique (lumière) dans le vide, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Bien sûr, Maxwell a dérivé cette relation beaucoup plus tard que Coulomb.

Maxwell raconte la perméabilité électrique à la perméabilité magnétique dans le vide, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ dont la valeur est $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ en unités SI.

La « raison » pour laquelle « $ 4 \ pi $ » apparaît ici et dans la constante de Coulomb (croyez-le ou non) donc que les équations de Maxwell peuvent être écrites sans aucun facteur $ 4 \ pi $ « !

Pour comprendre cela, considérez comment les phénomènes électrostatiques sont exprimés dans la loi de Coulombs sous forme de champ » intensité à une distance au carré « , par rapport à la loi (équivalente) de Gauss », qui décrit le « flux à travers une surface fermée entourant la charge ».

Le flux total est la densité de flux multipliée par la surface , qui pour une sphère de rayon $ r $ est donnée par $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, donc le rapport $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ est simplement le résultat de la géométrie de espace et symétrie sphérique.

Le système dunités SI (contrairement aux unités de Gauss) est dit « rationalisé » car il permet lexpression des équations de Maxwell sans les facteurs $ 4 \ pi $. Pour ce faire, le facteur $ 4 \ pi $ a simplement été « intégré » à la définition (unité SI) de la constante universelle de perméabilité du vide, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, à partir de laquelle nous pouvons exprimer la constante de Coulomb sous la forme k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.