Daccord, jai donc de vrais problèmes pour distinguer le concept de Steady State et le chemin de croissance équilibré dans ce modèle :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
On ma demandé de dériver les valeurs de létat déquilibre pour le capital par travailleur effectif :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Ainsi que le rapport de létat déquilibre du capital à la production (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Jai trouvé ces deux bons, mais on ma également demandé de trouver la « valeur à létat stationnaire du produit marginal du capital, dY / dK « . Voici ce que jai fait:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Remplacement de K par K à létat déquilibre (calculé lors de lélaboration dun état déquilibre pour le rapport K / Y ci-dessus):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Premièrement, jai besoin de savoir si ce calcul pour la valeur en régime permanent de MPK est correct?
Deuxièmement, on ma demandé desquisser les trajectoires temporelles du ratio capital-production et du produit marginal du capital, pour une économie qui converge vers sa trajectoire de croissance équilibrée « par le bas ».
Jai du mal à comprendre exactement quel est le chemin de croissance équilibré, par opposition à létat déquilibre, et comment utiliser mes calculs pour déterminer à quoi ces graphiques devraient ressembler.
Désolé pour le poteau mammouth, toute aide est grandement appréciée! Merci davance.
Réponse
Cest à ce moment que la tentative dexactitude crée de la confusion et des malentendus.
À lépoque, les modèles de croissance nintégraient pas le progrès technologique et conduisaient à un équilibre à long terme caractérisé par des magnitudes constantes par habitant. Au niveau verbal, le terme «état stationnaire» semblait approprié pour décrire une telle situation.
Puis les modèles de croissance Romer et endogène sont apparus, ce qui a également poussé les modèles plus anciens à commencer à inclure en routine des facteurs de croissance exogènes (en dehors de la population). Et « soudainement », les termes par habitant nétaient pas constants dans léquilibre à long terme, mais croissaient à un rythme constant . Au départ, la littérature décrivait une telle situation comme «un état stable des taux de croissance».
Ensuite, il semble que la profession ait pensé quelque chose comme « il est inexact dutiliser le mot » stable « ici parce que les magnitudes par habitant augmentent. Ce qui se passe, cest que toutes les magnitudes augmentent à un Taux équilibré (cest-à-dire au même rythme, donc leurs ratios restent constants). Et comme ils grandissent, ils suivent un chemin … « Eurêka!: le terme » chemin de croissance équilibré « est né.
… A la frustration des étudiants (au moins), qui doivent maintenant se souvenir que par exemple, le « chemin de selle » est bien un chemin dans le diagramme de phase, mais la « trajectoire de croissance équilibrée » nest quun point! (parce que pour dessiner réellement un diagramme de phase et obtenir un bon vieil équilibre à long terme, nous exprimons des grandeurs par travailleur effectif, et ces grandeurs ont un état déquilibre traditionnel. Mais nous continuons à lappeler « chemin de croissance équilibré », parce que les magnitudes par habitant, ce qui nous intéresse, dans notre approche individualiste, continuent de croître).
Donc « chemin de croissance équilibré » = « état stationnaire des grandeurs par unité defficacité de travail », et je suppose que vous pouvez trouver le reste pour votre diagramme de phase.
Réponse
Suite à la conversation avec lutilisateur @denesp au commentaires de ma réponse précédente, je dois clarifier ce qui suit: le dispositif graphique habituel que nous utilisons lié au modèle de croissance de base de Solow (voir par exemple ici , figure 2 ) nest pas un diagramme de phase, puisque nous appelons raisonnablement « diagrammes de phase » ceux qui contiennent des locus à changement nul, identifions leurs points de croisement comme des points fixes dune dynamica l et examinez leurs propriétés de stabilité. Et ce nest pas ce que nous faisons pour le modèle Solow. Cétait donc une utilisation imprudente de la terminologie de ma part.
Néanmoins, nous pouvons dessiner un « diagramme semi-Phase » pour le modèle de croissance de Solow, dans lespace $ (y, k) $. En comprenant les symboles comme « par unité defficacité de travail », nous avons le système déquations différentielles (tandis que $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f « _k (k) \ cdot \ dot k $$ En écrivant léquation à changement nul comme une inégalité faible pour montrer aussi les tendances dynamiques, nous avons
$$ \ point k \ geq 0 \ implique y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ point y \ geq 0 \ implique \ dot k \ geq 0 $$
Donc ce système donne un unique lieu de changement nul, une ligne droite. Pas de points de croisement pour identifier un point fixe Que pouvons-nous faire?Dessinez aussi la fonction de production dans le diagramme, puisque, en réalité, lespace $ (y, k) $ est unidimensionnel, non pas une aire, mais une ligne. Ensuite, nous obtenons
Le les flèches verticales / horizontales indiquant les tendances dynamiques proviennent correctement des faibles inégalités ci-dessus (les deux $ y $ et $ k $ ont tendance à croître au-dessus du lieu de changement nul). Ensuite, puisque $ y $ et $ k $ sont contraints de se déplacer sur la ligne pointillée (qui est la fonction de production), il sensuit quils se déplacent vers leur point fixe, peu importe où nous commençons. Ici, le graphe de la fonction de production représente essentiellement le chemin vers léquilibre à long terme, puisque la convergence est monotone.