Où le théorème de lindice Atiyah-Singer est-il utilisé en physique?

Les équations de mouvement, ou les équations des instantons, ou solitons, ou les équations dEinstein, ou à peu près toutes les équations de la physique, sont des équations différentielles. Dans de nombreux cas, nous nous intéressons à l espace des solutions dune équation différentielle. Si nous écrivons léquation différentielle totale (éventuellement non linéaire) dintérêt comme $ L (u) = 0, $ nous pouvons linéariser près dune solution $ u_0, $ ie écrire $ u = u_0 + v $ et expand $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ pour construire une équation linéaire $ D (v) = 0 $ dans le déplacement $ v. $

Une équation différentielle linéaire est comme une équation matricielle. Rappelons quune $ n \ times m $ matrix $ M $ est une application de $ R ^ n $ à $ R ^ m $, et $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ indépendant de la matrice particulière (ou de la transformation linéaire, plus généralement). Ce numéro est appelé «index». En dimensions infinies, ces nombres ne sont généralement pas finis, mais souvent (surtout pour les équations différentielles elliptiques) ils le sont, et ne dépendent que de certaines informations « globales » sur les espaces sur lesquels ils agissent.

Le théorème dindex vous indique quel est lindice dun opérateur différentiel linéaire ($ D, $ ci-dessus). Vous pouvez lutiliser pour calculer la dimension de lespace de solutions de léquation $ L (u) = 0. $ (Lorsque lespace de solution est une variété [une autre histoire], la dimension est la dimension de l’espace tangent, que l’équation $ D (v) = 0 $ décrit.) Elle ne vous dit pas quel l’espace réel des solutions. Cest « une question difficile et non linéaire.

Commentaires

• Je suppose que ‘ est une belle réponse mathématique pour les physiciens qui ‘ ne connaissent pas déjà lénoncé du théorème dindex. Mais je ne vois aucun exemple physique réel. Ce qui est dommage, je suis certain quEric doit en connaître beaucoup . Je sais que les gens lutilisent tout le temps dans la théorie des cordes. Mais je nen sais ‘ pas assez pour fournir ma propre réponse.
• Le théorème dindex est très général et sapplique à tous les exemples que jai cités (instantons, solitons, équations dEinstein ‘). Par exemple, lespace des modules de $ SU (2) $ instantons sur les quatre -sphere $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ avec un comportement constant à linfini) avec le nombre dinstanton $ k $ est égal à $ 8k – 3 $ par le théorème dindex.
• Eh bien, vous avez dit  » à peu près toutes les équations de physique  » qui sont en contradiction directe avec mon quotidien observation 🙂 Ce que jespérais, cétait quelques exemples concrets comme ceux que Steve a donnés. Ou quelque chose comme votre exemple instanton (je pense que vous vouliez dire $ S ^ 3 $?). Jadorerais en voir plus, en particulier en lien avec une interprétation physique. Merci davance 🙂
• Il est vrai que presque toute équation en physique est une équation différentielle! Cependant, tous ne conduisent pas à des problèmes dindex. (Je voulais dire S ^ 4. Les instantons sont des configurations de champ dépendant du temps.) Un exemple de la théorie des cordes, dont les diagrammes de Feynman sont des amplitudes QFT bidimensionnelles. Cette théorie des champs 2D décrit des cartes dune surface à un espace-temps, et les instantons de cette théorie sont des cartes holomorphes. La dimension de lespace de ces cartes est trouvée par une formule dindex. Pour un CY, cette dimension est nulle, ce qui signifie que vous pouvez compter les solutions (ceci est lié à la théorie des chaînes topologiques).
• +1 sur la bonne réponse et la mention des instantons. Mais existe-t-il en fait une application à léquation dEinstein ‘? AFAIK le théorème dindex est applicable aux opérateurs elliptiques linéaires …

Eric et dautres ont bien donné réponses quant à la raison pour laquelle on sattend à ce que le théorème dindice se produise dans divers systèmes physiques. Lune des applications les plus anciennes et les plus importantes est la résolution par « t Hooft » du problème $ U (1) $. Cela fait référence à labsence dun neuvième boson pseudo-Goldstone (comme les pions et les Kaons) dans la QCD que lon pourrait naïvement attendre de la rupture de la symétrie chirale. Il y a deux parties à la résolution. Le premier est le fait que le chiral $ U (1) $ est anormal. La seconde est la prise de conscience quil existe des configurations daction finie (instantons) qui contribuent à des fonctions de corrélation impliquant la divergence du courant axial $ U (1) $. Lanalyse sappuie fortement sur le théorème dindex de lopérateur de Dirac couplé au champ de jauge $ SU (3) $ de QCD. Pour une explication plus complète, voir les conférences Erice de S. Coleman « Les utilisations des instantons. »Il existe également des applications importantes à la dualité S de $ N = 4 $ SYM qui impliquent le théorème dindex de lopérateur de Dirac sur les espaces de modules monopolaires.

Commentaires

• Jeff, restez en ligne! Je pense que Physics Stack Exchange pourrait être utile à la communauté de la physique sil est utilisé aussi largement et aussi judicieusement que Math Overflow – par exemple, par des personnes comme vous!
• Merci Eric. Je suppose que cela vient de redémarrer. Jespère que cela fonctionne. Il reste encore du chemin à parcourir avant que ce ne soit de qualité MO.
• En effet. div> est maintenant un site en développement (Theoretical Physics Stack Exchange) qui visera davantage à ressembler à Math Overflow, mais celui-ci a lavantage dêtre existant.

Permettez-moi dabord dexpliquer à quoi fait référence l index en question . Si les calculs sont trop remplis de jargon, faites-le moi savoir dans les commentaires.

En physique, nous sommes souvent intéressés par spectre de divers opérateurs sur certaines variétés qui nous intéressent. Exemple: lopérateur Dirac dans lespace-temps 3 + 1. En particulier, la physique longue distance à basse énergie est contenue dans les modes zéro (états fondamentaux).

Maintenant, ce que mesure l «indice», pour lopérateur de Dirac $ D $ et une variété donnée $ M $, est la différence entre le nombre de modes zéro gaucher et le nombre de modes zéro droitier. Plus techniquement:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

où $ D $ est lopérateur en question; $ ker \, D $ est le noyau de $ D $ – lensemble des états qui sont annihilés par $ D $; et $ ker \, D ^ {+} $ est le noyau de son adjoint. Ensuite, comme vous pouvez le voir, $ ind \, D $ compte la différence entre les dimensionnalités de ces deux espaces. Ce nombre ne dépend que de la topologie de $ M $.

En bref, le théorème ASI relie la topologie dune variété $ M $ aux modes zéro ou aux états fondamentaux dun opérateur différentiel $ D $ agissant sur $ M $. Cest évidemment une information pertinente pour les physiciens.

Peut-être que quelquun dautre pourrait en dire plus sur les aspects physiques.

La meilleure référence pour ce sujet et dautres sujets de physique mathématique, à mon avis, est Nakahara .

Dans le cas dun Opérateur de Dirac, lindice est la dimension excédentaire (signée) de lespace des modes de vide dune chiralité w / r / t lautre: cest-à-dire le nombre détats «fantômes» anormaux dans une théorie des champs chiraux.

Des anomalies surviennent lorsque la correspondance de symétrie classique / quantique se décompose sous renormalisation (une anomalie globale pourrait être responsable de la masse des quarks en QCD; la résolution de lanomalie chirale locale dans le SM tient compte des quarks et leptons; sa résolution dans la théorie des supercordes corrige la jauge group [à SO (32) ou E8 x E8], et la résolution dune anomalie conforme fixe la dimension de lespace-temps et le contenu du fermion). En essayant de transformer la théorie des cordes en physique réelle, on se demande

• Peut-elle expliquer trois générations de fermions chiraux?
• Peut-il expliquer les résultats expérimentaux sur la désintégration du proton?
• Peut-il expliquer la petitesse de la masse électronique?
• Peut-il expliquer [des choses sur la constante cosmologique]?

et AST aide à répondre à ces questions.