Je regarde un modèle GARCH multivarié BEKK.
Dans un modèle GARCH standard, nous attendons généralement,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Le coefficient alpha ( $ \ alpha $ ) doit être considérablement plus petit que le coefficient bêta ( $ \ beta $ ), voir par exemple Verbeeks « Guide de léconométrie moderne chapitre sur GARCH », avec environ 0,1 alpha et 0,8 bêta.
Je passe maintenant à un paramètre multivarié, à un BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrice} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
ie un MV-ARCH (1),
Quelquun connaîtrait-il les paramètres appropriés pour la matrice $ A_ {ij} $ , avec une référence? Et aussi le BEKK (1,1) avec le terme GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Jai besoin de valeurs de paramètres appropriées (comme dans ce à quoi nous nous attendrions) pour A et B . Je comprends que cela changera considérablement entre les ensembles de données, etc. pas de vérification directe sur les $ a_ {ij} $ « et $ b_ {ij} $ » Les coefficients s dans le cas BEKK, comme $ \ alpha + \ beta < 1 $ assurent la stationnarité et une faible dépendance temporelle dans le GARCH (1,1) cas. Les conditions sont un peu plus compliquées dans le cas BEKK.
Le processus est stationnaire et faiblement dépendant du temps (dans le sens où cest « une chaîne de Markov récurrente de Harris géométriquement ergodique), si toutes les valeurs propres de $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ matrice $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ sont inférieur à 1 et $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ est défini positif, mais ce sera toujours le cas avec $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , car il est défini positif par construction. Le $ \ otimes $ désigne le produit Kronecker .
Théorème 2 dans Comte et Lieberman (2003) disent que cette condition garantit que lestimateur du maximum de vraisemblance est cohérent, et si nous supposons en outre que le processus a un moment de sixième ordre fini, que est $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , puis le théorème 3 dans Hafner et Preminger (2009) établit la normalité asymptotique de le MLE.
À ma connaissance, la littérature ne donne aucune restriction de paramètre simple, ce qui garantit des moments de sixième ordre finis du processus BEKK. Le théorème C.1 dans lannexe de Pedersen et Rahbek (2014) fournit des conditions suffisantes pour la version ARCH du processus gaussien BEKK ( $ B_ {11} = 0 $ ), pour avoir $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Cette condition est que toutes les valeurs propres de $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ doivent être inférieures à 15 $ ^ {- 1/3} \ environ 0,4055 $ .
- F. Comte et O. Lieberman. Théorie asymptotique pour les processus GARCH multivariés. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner et A. Preminger. Sur la théorie asymptotique pour les modèles GARCH multivariés. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen et A. Rahbek. Ciblage de variance multivariée dans le modèle bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Commentaires
- Je ne sais pas si cela sapplique à la forme particulière de BEKK étudiée ici, mais McAleer " Ce quils ne vous ont pas dit sur la (non-) existence algébrique, la (ir-) régularité mathématique et les propriétés (non-) asymptotiques du conditionnel dynamique BEKK complet Le modèle de covariance " (2019) montre que BEKK pourrait même ne pas exister sauf dans des conditions restrictives, tirant le tapis de moins de 4500 articles citant BEKK.
- @Duffau est une excellente réponse mais avez-vous des idées sur ce que devrait être lécart entre A et B?
- Merci @FrancisOrigi! Rappelez-vous donc que A et B sont des matrices, il ny a donc pas de notion claire de " gap ". Dans les systèmes dynamiques où le processus est défini par des matrices, souvent une sorte de valeur propre détermine la stabilité du système. Comme pour le BEKK, la stabilité (stationnarité et dépendance faible) est régie par les valeurs propres des matrices transformées que jai décrites ci-dessus. Si vous voulez en savoir plus, je me pencherai sur les autorégressions vectorielles linéaires, elles sont le type le plus simple avec une dynamique multivariée. Ils sont léquivalent des modèles AR dans le monde univarié.