Pourquoi le champ électrique est-il nul là où les surfaces équipotentielles se croisent?

Tout dabord, clarifions les choses avec un exemple simple qui présente le comportement souhaité (et qui est essentiellement isomorphe à la plupart des cas non triviaux). Considérez en particulier, la revendication suivante:

Le potentiel $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ est un potentiel électrostatique parfaitement valide, et il peut très naturellement être vu comme ayant deux surfaces équipotentielles (le plan $ yz $ et le plan $ xz $) qui se croisent le long dune ligne.

Cet exemple peut être en contradiction avec lintuition habituelle selon laquelle les surfaces équipotentielles, comme les lignes de champ, ne se croisent jamais, mais il vérifie parfaitement – et il est cohérent avec laffirmation de votre professeur selon laquelle le champ électrique, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes à lintersection $ x = y = 0 $.

(Pour ceux qui voudraient étendre un peu plus lenveloppe: cela se généralise naturellement à lintersection de tout nombre $ n $ de surfaces équipotentielles le long dun ligne, en passant simplement au potentiel $ n $ -polaire $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Alors, que se passe-t-il, ou comment pouvons-nous fournir une vraie viande mathématique à la déclaration en question?

Eh bien, commençons par définir les surfaces équipotentielles: une surface $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ est une équipotentielle du potentiel électrostatique $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ ssi $ V (S (u, v)) = V_0 $ est constant pour tout $ (u, v) \ dans D $. De plus, nous savons quen tout point $ \ mathbf r = S (u, v) $ sur la surface, le champ électrique $ \ mathbf E = – \ nabla V $ a un produit intérieur nul avec tout vecteur situé à lintérieur du plan tangent $ TS_ \ mathbf r $ au surface en $ \ mathbf r $, comme conséquence de prendre les courbes $ \ gamma: (a, b) \ à D $ et de différencier la relation de constance $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ avec respect au paramètre $ t $, en donnant $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ pour tous les vecteurs $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Puisque ce plan est bidimensionnel et que lespace est tridimensionnel, nous en déduisons quil existe une direction normale unique $ \ hat {\ mathbf n} $ vers la surface et que $ \ mathbf E $ doit être parallèle à cette normale (ou, éventuellement, zéro), mais le résultat principal est que la composante de $ \ mathbf E $ « le long de nimporte quelle direction à lintérieur du plan tangent doit disparaître.

OK, donc maintenant remontons la barre et considérons deux surfaces différentes $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, qui se coupent à un certain point $ \ mathbf r_0 $, et stipulons également que les deux surfaces sont des équipotentielles de $ V $.

Dès le départ, nous pouvons déduire que le potentiel en tous points sur les deux surfaces doit être égal à la même constante, car $ V = V (\ mathbf r) $ est une (valeur unique ) fonction. Sil est égal à $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ pour $ \ mathbf r_0 \ in S_1 $, alors il doit être égal à $ V_1 $ tout au long de $ S_1 $ – mais $ \ mathbf r_0 $ est également dans $ S_2 $, donc $ V $ doit également être égal à $ V_1 $ dans tout $ S_2 $. Cest probablement ce dont votre professeur parlait dans laffirmation que vous signalez comme

Il a également affirmé que deux surfaces équipotentielles ne peuvent pas se croiser car cela donnerait deux potentiels différents au même point,

mais qui était probablement beaucoup plus proche de

deux surfaces équipotentielles avec un potentiel différent ne peuvent pas se croiser car cela donnerait deux potentiels différents au même point.

Cest la partie la plus facile.Disons maintenant quelque chose de non trivial: quen est-il du champ électrique à lintersection?

Commençons par le cas facile, cependant, et supposons que les équipotentielles ont une bonne dimension-une intersection le long dun courbe, ce qui implique quen tout point $ \ mathbf r $ le long de lintersection, les plans tangents aux deux surfaces se croisent sur une ligne, et chacun deux aura une direction distincte, linéairement indépendante, qui nappartient pas à lautre

Ceci nous permet alors dapporter les outils que nous avons développés précédemment: nous savons que $ \ mathbf E $ doit avoir un produit interne en voie de disparition avec tout vecteur qui se trouve à lintérieur de lun ou lautre plan tangent, sauf que maintenant nous avoir trois vecteurs linéairement indépendants $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ et $ \ mathbf e_3 $ sur lesquels disparaître, un le long de lintersection et un autre vecteur indépendant le long de chaque plan. La seule façon dont tout vecteur $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ peut satisfaire $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ pour $ \ mathbf e_i, $ est pour $ \ mathbf v = 0 $ . Cest de là que vient la déclaration de votre professeur.

Enfin, abordons le cas légèrement plus pathologique que vous mentionnez à la fin de votre question:

Pourquoi » t il ny a-t-il pas que deux surfaces équipotentielles différentes avec le même potentiel qui […] se touchent?

Ce nest pas une mauvaise question, et la réponse est essentiellement que cela peut arriver, mais les circonstances dans lesquelles cela se produit sont si pathologiques que nous sommes pour la plupart prêts à jeter ce bébé avec le Lorsque nous disons «deux surfaces se croisent», nous voulons généralement dire qu’elles ont une intersection de dimension une le long d’une courbe. Si nous voulons permettre aux surfaces de se toucher ou avoir un comportement pathologique similaire, nous notons explicitement que . (Les mathématiciens sont un peu plus prudents avec leur langage, mais là encore, les physiciens font des choses plus intéressantes et vous ne pouvez pas perdre de temps à jouer avec des détails mineurs.)

Quoi quil en soit, si vous voulez un potentiel avec deux équipotentielles qui toucher en un seul point, lexemple le plus propre auquel je puisse penser est $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ où les équipotentielles $ V (\ mathbf r) = 0 $ sont deux paraboloïdes circulaires qui se touchent à leur sommet. Ceci n’est pas une solution de l’équation de Laplace, ce qui signifie que ce n’est pas un potentiel raisonnable en espace libre, mais vous pouvez simplement définir la densité de charge $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, et vous obtiendrez une distribution raisonnable. Si vous voulez économiser sur cela, alors il est préférable de choisir $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ pour lequel la densité de charge $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ est extrêmement raisonnable, et qui remplace lun des paraboloïdes par le plan $ z = 0 $.

Maintenant, pour ces deux exemples, vous ont un polynôme dordre assez élevé comme potentiel, et le champ électrique disparaît au point dintersection des équipotentielles. Si vous voulez avoir quelque chose avec des équipotentielles touchantes et un champ électrique non nul là-bas, le plus proche que je propose de manière propre est de combiner les deux exemples ci-dessus, en donnant trois équipotentielles (les deux paraboloïdes et le plan $ xy $). en un point, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ avec un $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ dépendance le long de laxe $ z $, puis pour la factoriser en prenant une racine cubique, donnant $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ qui a les mêmes équipotentielles de contact que ci-dessus mais maintenant il a un champ électrique constant $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ sur tous les points $ (0,0, z) $ avec $ z \ neq 0 $. Malheureusement, vous pouvez « t vraiment conclure que le champ électrique y est différent de zéro, car les limites de $ \ mathbf r \ to0 $ le long de laxe $ z $ et le long du plan $ xy $ ne sont pas « t commute – et, en effet, $ \ nabla V $ diverge partout sur le plan $ xy $.

Je vais dessiner ici le paysage équipotentiel coupé le long du plan $ xz $, pour donner une idée du type de structure pathologique vers laquelle vous serez poussé en considérant ce type de cas:

^{Source: Importation [«  http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m « ] [«  http://i.stack.imgur.com/0snLs.png « ]}

La falaise pointue fait face aux équipotentielles sur la vue 3D de $ V (x, 0, z) $ sont des marqueurs clairs du fait que le champ électrique est partout infini aux équipotentielles $ V = 0 $, à la seule exception de lorigine lorsquon approche de laxe $ z $.

Quoi quil en soit, cest le genre de prix que vous devez payer pour avoir Des équipotentielles qui se touchent sans que cela ne nécessite un champ électrique nul au point de contact pour que tout reste agréable et fluide. En général, cependant, vous jetez simplement ces cas par décret en exigeant une intersection régulière.

Le champ électrique est défini comme le gradient (négatif) du potentiel électrostatique.Il ne peut donc y avoir de champ électrique le long de la ligne / surface définie par une équipotentielle.

Cela signifie que le seul champ électrique autorisé en un point sur une équipotentielle doit être perpendiculaire à la surface équipotentielle, sinon elle aurait une composante non nulle le long de la surface.

Sil y a deux équipotentielles différentes qui se croisent, alors le seul champ électrique valide est zéro, car tout champ non nul aurait un non -zéro composante le long dau moins une des équipotentielles.

Une exception semble être celle où les surfaces équipotentielles sont parallèles à leur intersection.

Commentaires

• Jai ‘ jai essayé, et jusquà présent échoué, de produire un potentiel avec des équipotentielles qui se touchent en un seul point avec des normales parallèles et qui produit néanmoins un électrique non nul champ là-bas. Pouvez-vous voir à travers celui-là?
• @ Rob gratte ça, jai trouvé un exemple – mais ce ‘ nest pas exactement la fonction la plus simple I ‘ déjà vu. Je soupçonne que lon peut montrer que toucher des équipotentielles avec un champ électrique non nul nécessite ce genre de comportement pathologique, mais je ne ‘ pas voir comment vous ‘ d prouver que (ou, en fait, pourquoi vous ‘ vous souciez suffisamment de passer beaucoup de temps à essayer de le faire).

Deux surfaces équipotentielles ne peuvent « t se croiser. La direction du champ électrique en tout point sur une surface équipotentielle est perpendiculaire à la Si deux surfaces équipoentielles se croisent, alors le champ électrique aux points dintersection serait perpendiculaire à la fois à la première surface et à la seconde surface à ces points … en dautres termes, si deux surfaces équipotentielles pouvaient se croiser, vous auriez le champ électrique pointant dans deux directions à chaque point dintersection …. lune pointant perpendiculairement à la première surface, lautre pointant perpendiculairement à la seconde surface. Cest impossible.

Commentaires

• A moins que le champ ne soit nul au point dintersection?
• Le potentiel $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ est un potentiel électrostatique parfaitement valide, et il peut très naturellement être vu comme ayant deux surfaces équipotentielles (le plan $ yz $ et le plan $ xz $) qui se croisent le long dune ligne.
• Très intéressant … Je ‘ va devoir sortir le livre de Griffith ‘ pendant le week-end et faire un peu de révision … Haven ‘ a étudié lélectrostatique depuis que jai obtenu mon diplôme en mai.

Parce que sils se croisent, la direction du champ électrique est ambiguë donc ce nest pas possible.

Commentaires

• Sans ambiguïté ? Pourquoi est-ce un problème?
• Oui, cest ambigu pas sans ambiguïté comme le dit votre réponse.

Il a également affirmé que deux surfaces équipotentielles ne peuvent pas se croiser car cela donnerait deux potentiels différents en même temps point.

Considérons le champ électrique et les surfaces équipotentielles dun dipôle électrique

Crédit dimage

Aucune des surfaces équipotentielles ne se coupe. De plus, la densité des surfaces est la plus élevée le long de la ligne entre et à travers les deux charges.

Maintenant, considérons ces surfaces équipotentielles dans la limite dun dipôle électrique idéal.

Crédit dimage

Pour un moment dipolaire constant, la charge (plus / moins) doit augmenter à mesure que la distance de séparation diminue, la densité des surfaces équipotentielles le long de la ligne passant par le la surface doit diverger dans la limite; il semble que toutes les surfaces équipotentielles doivent se croiser à lemplacement du dipôle idéal et le champ électrique y est singulier.

Commentaires

• Je comprends votre point de vue, puisque les sphères ne sont pas équipotentielles, il nest pas évident quil y ait une infinité de surfces équipotentielles passant par le point de contact … je ne sais pas ….
• @ValterMoretti, OK, donc deux sphères non conductrices, chacune avec une densité de charge fixe et uniforme de signe opposé et de rayons identiques et placées symétriquement au-dessus et au-dessous du plan xy le long de laxe z mais ne touchant pas le plan. Cela sent comme une méthode de problème de type images et si oui, le plan x-y est la surface de potentiel zéro?Ensuite, les surfaces équipotentielles positives (négatives) encerclent la sphère chargée positivement (négativement) et, à mesure que les sphères sont rapprochées, ces surfaces sont ‘ pressées ‘ ensemble le long de la ligne passant par le centre des sphères se touchant finalement?
• Eh bien, maintenant je pense que les surfaces équipotentielles différentes du plan de séparation entrent dans les sphères (non conductrices) et mon exemple ne le fait pas travail: lorsque les sphères se touchent, il ny a quune seule surafce équipotentielle à travers le point de contact. Donc, mon exemple ne fonctionne pas.
• @ValterMoretti, je me demandais juste si les équipotentielles pouvaient entrer dans les sphères et jai commencé à regarder à travers Jackson lorsque votre commentaire est entré.
• Oui, le les surfaces équipotentielles doivent entrer dans les sphères: prendre nimporte quel point à lintérieur de la sphère gauche, là le champ électrique dû à la sphère elle-même disparaît. Le champ électrique à lintérieur du champ sphérique gauche est donc entièrement dû à la sphère droite et il est le même que celui dune charge ponctuelle centrée à lextérieur de la sphère gauche. Il est évident que les surfaces équipotentielles pénètrent dans les sphères gauches de cette manière. Je pensais ici à des sphères chargées superficiellement! Si la charge est dans le volume? Je ne sais pas