Ce qui suit est une question dentretien de Mark Joshi et al. Entretien dembauche Quant.
Question: Pourquoi le mouvement brownien est-il utile en finance?
Je viens dun doctorat en mathématiques pures (analyse fonctionnelle, en particulier la théorie de lespace de Banach). Jaimerais me lancer dans lindustrie de la finance quantitative après mon doctorat.
Ainsi, je nai aucune idée sur la façon de répondre à la question ci-dessus car il semble que la plupart des livres de calcul stochastique impliqueraient de parler du mouvement brownien mais ne donneraient jamais de motivations.
Commentaires
- Bonjour: Une des raisons est que ' est une martingale et que certains acceptent de voir les prix des journaux comme une martingale. Par conséquent, le BW peut être un processus raisonnable à utiliser pour modéliser les changements des prix des grumes. En fait, tout le cadre des scholes noirs est basé sur cette hypothèse.
- Mouvement brownien standard, ou mouvement brownien géométrique?
- Je suppose que je peux répondre aux deux?
- La principale utilité de BM et Ito Calculus par rapport à des choses comme les marches aléatoires discrètes est la capacité dun portefeuille de produits dérivés dans un tel univers à être couvert en permanence.
Réponse
Le mouvement brownien est simplement la limite dune marche aléatoire mise à léchelle (en temps discret) et donc un candidat naturel à utiliser. Cest très intuitif et sans doute lun des processus stochastiques continus dans le temps les plus simples et les mieux compris. Noubliez pas non plus que vous obtenez beaucoup plus de processus stochastiques en tant que fonctions dun mouvement brownien (modifié dans le temps). Dans de nombreux livres sur le calcul stochastique, vous définissez dabord lintégrale Ito par rapport à un mouvement brownien avant de létendre au général En supposant que les rendements logiques suivent un mouvement brownien (avec dérive), vous pouvez facilement dériver des solutions de forme fermée pour les prix des options. Le mouvement brownien est en outre markovien et une martingale qui représente des propriétés clés en finance.
Le mouvement brownien a été introduit pour la première fois par Bachelier en 1900. Samuelson a ensuite utilisé lexponentielle dun mouvement brownien (mouvement brownien géométrique) pour éviter la négativité pour un modèle de cours boursier. Sur la base de ce travail, Black et Scholes ont trouvé leur célèbre formule en 1973.
Commentaires
- Cela ressemble à la réponse quils veulent que vous donniez lors dune interview. Un mot davertissement car vous avez une formation purement mathématique. Tous ces modèles faire lhypothèse que diverses quantités sont e Gaussien normalement distribué. Les données réelles ne le sont pas. La question de savoir si les modèles sont toujours utiles ou non est exactement la question pour laquelle ils devraient souhaiter embaucher un doctorant en mathématiques pures.
- Mais pourquoi une marche aléatoire est-elle un candidat naturel pour la modélisation dactifs? La réponse est une question économique plutôt quune question mathématique (si les rendements pouvaient être " prédits ", alors le trading se produirait de telle sorte que les rendements seraient ne sera plus " prévisible ")
Réponse
Les objets physiques se déplacent selon de simples courbes lisses qui peuvent être représentées par des polynômes dordre inférieur: une ligne droite, une parabole, une ellipse, etc.
Les prix des marchés financiers évoluent dune manière complètement différente, comme on peut le voir en regardant nimporte quel graphique de cours boursier, de taux dintérêt, etc. dans un journal: il y a des fluctuations constantes et erratiques, parfois dans un sens, parfois dans lautre, parfois petites et parfois grandes, qui donnent à la courbe un aspect rugueux et aléatoire. Le mouvement brownien est un modèle adapté à ce type de courbe.