Preuve de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff plus faible [duplicate]

Dabord, je suppose des opérateurs de dimension finie: sinon vous devez vérifier certaines conditions de délimitation sur les opérateurs. Comme la série CBH est ici tronquée par les doubles commutateurs disparaissants, les conditions pour les opérateurs linéaires sur eg $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ seront douces.

Vous devez vous entraîner aux opérations avec $ \ mathrm {Ad} $. Recherchez ce qui suit. Dans le groupe de Lie $ \ mathfrak {G} $ avec lalgèbre $ \ mathfrak {g} $ le vecteur tangent au chemin:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

à lidentité est $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Ici $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ est la Représentation adjointe . Cest un homomorphisme de groupe de Lie du groupe de Lie général $ \ mathfrak {G} $ au groupe de Lie de matrice $ GL (\ mathfrak {g}) $. Son noyau est le centre de $ \ mathfrak {G} $. Puisquil sagit dun homomorphisme, nous avons $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ dans \ mathfrak {G} $. Une autre identité utile est:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

et cette série est universellement convergente si lopérateur $ B \ mapsto [A, \, B] $ est convenablement borné ( eg $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ pour certains $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – cest certainement vrai dans les dimensions finies).

Maintenant, par (1) et la propriété dhomomorphisme ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), vous pouvez trouver que:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Tout ce qui précède est parfaitement général. Vous devez le spécialiser en fonction de votre cas tronqué. Utilisez donc la série universellement convergente (et ici tronquée à deux termes) (2) pour développer $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ et tronquez-le pour votre cas particulier et je pense que vous devriez faire des progrès.

Une bête noire pédante: bien que les deux ordres pour le nom soient assez communs, lordre qui reflète fidèlement la préséance historique est « Campbell-Baker-Hausdorff », car chacun des auteurs a apporté sa contribution en 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) et 1906 (Hausdorff ), respectivement. Chacun était au courant du « travail de ses précurseurs, mais, comme indiqué dans le fascicule 16 Ch 1 de Bourbaki (1960), » chacun trouvait les démonstrations de ses précurseurs peu convaincantes (!) « . Cette affirmation me fait toujours rire et me réconforte. « Je ne suis pas le seul à avoir un taux de compréhension denviron 5% dans la lecture de la littérature technique (je pense que jai besoin de lire un article environ 20 fois en moyenne pour » lobtenir « ). Un fait amusant est que aucun de ces trois n’a réellement élaboré la série. Au lieu de cela, ils ont établi le théorème que la série était convergente dans un voisinage de $ \ mathbf {0} $ dans lalgèbre de Lie et comprend uniquement des opérations linéaires et entre parenthèses de Lie. La formule elle-même est due à Dynkin et a été entièrement élaborée en 1947!

Commentaires

• merci beaucoup davoir répondu! Je ' Je ferai de mon mieux pour étudier votre réponse, malgré ma petite connaissance de base des groupes de mensonges et des algèbres.
• @quarkleptonboson I ' a ajouté une autre étape à léquation. (3) pour vous aider.Pensez simplement à tous les opérateurs comme des matrices carrées $ N \ fois N $ et tous les crochets de Lie et multiplications deviennent alors des multiplications matricielles concrètes. (2) est toujours une série de puissances matricielles littérales, puisque le groupe de transformations linéaires inversibles sur $ \ mathfrak {g} $ est toujours un groupe matriciel.