Ici, nous voulons montrer que la méthode Box-Muller génère une paire de variables aléatoires gaussiennes standard indépendantes . Mais je ne comprends pas pourquoi nous utilisons le déterminant? Pour moi, lorsque vous avez deux variables indépendantes, la fonction de densité conjointe nest que le produit de la fonction de densité à deux. Quelquun peut mexpliquer la signification du déterminant ici? Sil vous plaît.
Commentaires
- Il y a un " changement de variables " impliqué dans le passage de X à Y et donc vous avez multiplier par le Jacobien de la transformation qui est le déterminant que vous voyez ci-dessus. Voir par exemple la proposition 8 ici math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok je comprends, merci Alex pour votre réponse.
Réponse
Soit $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, Nous avons
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ est uniformément défini sur $ [0, 1] $, donc $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Indeed $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Donc $ X_2 $ est uniformément distribué sur $ [0,1] $, donc $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Puisque $ X_1 $ et $ X_2 $ sont indépendants, $ Z $ et $ W $ doivent être indépendants. On a $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {et} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Définir la fonction $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ tel que $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ donc $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ en dautres termes $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q « (q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ nous pouvons montrer facilement $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ puis $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Réponse
On peut voir que $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ et que $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Par conséquent $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ et $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Prise de différentiel pour obtenir $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
De même, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Doù jacobien $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
Pour les PDF, comme $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
cela donne $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ plus de 2} $
montrant que $ Y_1, Y_2 $ sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes.
Commen ts
- la plage de $ X_1 $ doit être (0,1), mais $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ est $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $