Le monde est-il dans le chaos maintenant? Parce que un plus un nest pas égal à deux, du moins pas tout le temps .

Prenez un litre deau et un litre de sable. Ajoutez-les ensemble. Quest ce que tu obtiens? Du sable mouillé, mais certainement pas deux litres.

Prenez un lapin et ajoutez-en un. Ajoutez-les ensemble. Vous avez une chance raisonnable de vous retrouver avec un peu plus de deux lapins, si vous attendez suffisamment de temps.

Même dans le domaine des mathématiques pures, un plus un nest pas nécessairement égal à deux. Si vous « travaillez avec arithmétique modulo deux , 1 + 1 = 0. Si vous » traitez avec larithmétique modulo deux et 1 + 1 = 2, vous  » Jai fait quelque chose de très mal. – De plus, ce nest pas comme si larithmétique modulo deux était une note latérale obscure – votre ordinateur lutilise actuellement sous la forme de «xor bit à bit», et les ordinateurs modernes ne pourraient pas fonctionner sans lui. (Certes, larithmétique modulo deux est plutôt simple dans ses propriétés, donc il ny a pas beaucoup de mathématiciens qui se donnent la peine de létudier.)

Mathématiques est basé sur des axiomes – des hypothèses sur les propriétés dun système – et les implications qui découlent logiquement de ces systèmes. Si lune de ces implications se révèle « contre-factuelle », alors soit la logique était invalide, soit lun des axiomes était incorrect pour ce système. – Pour ce système est un bit important. Ce nest pas parce que quelque chose est contre-factuel pour un ensemble daxiomes que cest contre-factuel pour un ensemble différent daxiomes.

Prenons laxiome parallèle dEuclide. Incluez ceux avec le reste des axiomes dEuclide, et vous obtenez la géométrie euclidienne. Cest la géométrie « standard » que vous et moi connaissons bien, et avec laquelle une fraction substantielle des mathématiciens opère. Cependant , vous pouvez configurer différentes géométries là où cela ne tient pas . En fait, la physique moderne nous dit que nous « vivons réellement dans une géométrie non euclidienne – la physique avancée ne fonctionnerait pas dans une véritable géométrie euclidienne où laxiome parallèle est vrai.

Cela signifie maintenant que les géométries euclidiennes et les axiomes parallèles sont faux? Non. Cest une construction mathématique parfaitement valide que des centaines de milliers de mathématiciens et dingénieurs – et de physiciens – utilisent quotidiennement. Le fait que la géométrie euclidienne ait des axiomes qui produisent des résultats incompatibles avec le monde observé ne signifie pas que la géométrie euclidienne est invalide, cela signifie simplement que ces axiomes ne sappliquent pas au système que vous observez. Cela ne signifie pas quils ont gagné « t sappliquent – ou même quils ne sont » pas les meilleurs à utiliser – dans une autre situation.

Donc 1 + 1 = 2 est une observation très pratique, et est valable dans de nombreux cas. Mais pas tout. Parfois 1 + 1 = 0, ou un autre nombre.Tout simplement parce que les axiomes de larithmétique des nombres naturels standard ne sont pas valables pour un système particulier ne signifie pas quils sont invalides, cela signifie simplement quils ne sont pas applicables à ce système, et vous devez trouver un autre ensemble et un autre système arithmétique.

Ou, vous pouvez redéfinir votre système de sorte que les axiomes tiennent. (Cest ce que font les gens qui tapent frénétiquement « Mais si vous … » les commentaires ci-dessous font. « Si vous les conservez dans des conteneurs séparés, sils » sont tous les deux des femmes, si nous ignorons larithmétique modulo … « Si vous redéfinissez des choses telles que les axiomes tiennent, les conséquences logiques de ces axiomes suivent logiquement.)

Commentaires

• Un exemple plus convaincant serait de mélanger 1 litre deau avec 1 litre dalcool (ni le truc sable / eau ni le truc lapin ne me donnent une bonne impression de violer 1 + 1 = 2).
• Nitpicks: En arithmétique modulo-deux, 2 ~ = 0 (ils ' sont dans la même " classe déquivalence "), vous pouvez donc disons valablement 1 + 1 = 2, ou 1 + 1 = 42, ou 1 + 1 = -9002. Vous navez ' rien fait de mal si vous dites 1 + 1 = 2 dans le mod 2. Deuxièmement, bien que larithmétique modulo deux soit simple, les mathématiques résultantes peuvent être décidément non triviales. Les polynômes sur GF (2) sont à la base dune quantité importante de codes de cryptographie et de correction derreurs modernes, faisant même leur apparition dans ces codes QR omniprésents.
• Votre réponse me semble assez déroutante car elle contient tellement de petites erreurs que je pense. 1 + 1 = 2 est soit un énoncé mathématique, auquel cas votre réponse passe à côté du fait que ce nest pas une vérité fondamentale, ou sur des choses du monde réel. Dans ce cas, ce que vous voulez dire est: 1 + 1 nest pas = 2, parfois ça peut être mais ce ' nest de loin pas une vérité fondamentale. Si vous discutez de la deuxième manière, veuillez indiquer que votre réponse nest pas mathématique et laissez les mathématiques à côté.
• Quelle absurdité absolue! En labsence dannotations explicites, 1+1=2 est une équation mathématique pure. Si vous voulez vous aventurer dans la chimie, vous devez dabord le dire. Idem pour larithmétique modulo ou pour les nombres qui se révèlent être des logarithmes.
• @CarlWitthoft Mais que ' est le point, cest ' nest pas un non-sens. Vous avez des hypothèses implicites. Si quelquun trouvait que 1+1 != 2 cela signifierait que lune des hypothèses était erronée. Vous pouvez traiter dans les domaines où ces hypothèses ne ' ne sappliquent pas tout ce que vous voulez, il vous suffit de les énoncer. En fait, cest exactement ce qui sest passé lorsque nous sommes passés de la mécanique newtonienne à la relativité.

Comme tout mathématicien le fera vous dire, 1 + 1 = 2 découle trivialement des définitions, et nest pas un théorème. Votre question na aucun sens.

Cest comme si vous aviez déclaré:

Je définis 1 zounce fluide comme étant exactement 30 millilitres.

Mais que se passe-t-il sil savère que je « me trompe?

Cest votre définition. Cela ne peut pas être faux parce que le fluide zonde, avant votre définition, ils nexistaient tout simplement pas.

Commentaires

• Pourrait-on lire leur question, plus charitablement, comme " et si nous découvrons que 1 + 1 = 2 ne découle pas des postulats de Peano '? ", de sorte que il conserve son avantage philosophique?
• Je contesterais que chaque mathématicien dira que 1 + 1 = 2 est une définition. Je vois votre point de vue évidemment mais en général 2 sera S (S (0) ) plutôt que 1 + 1. Donc, il y a ' un argument à faire que S (S (0)) = S (0) + S (0) it ' est un argument trivial directement issu de la définition de +, mais qui finit par être un peu délicat en raison de toute linduction infinie dont vous avez besoin lorsque vous voulez que cela fonctionne en général.
• @DRF Je prends la position que OP nest peut-être pas familier avec larithmétique Peano, doù la simplification excessive. Mais je comprends quil faut définir + après avoir défini 0 et S (.) – cependant, comme vous le dites, cest alors une étape triviale vers 1: = S (0) et 2: = S (1). Bien que je maintienne lidée générale que ce sont toutes des affirmations axiomatiques ou définitionnelles qui ne peuvent être réfutées que si vous choisissez une définition différente de +, ce qui ne serait pas du tout une réfutation. Ce serait juste une définition différente.
• @Schiphol Je ne veux pas ' être trop dédaigneux de la question, mais je ne vois pas quelle pointe philosophique, ou même nécessairement que Peano doit y être intégré. La question semble juste être basée sur un malentendu, comme si une réfutation de 1 + 1 = 2 pouvait avoir nimporte quelle forme perceptible, ou que nous nous effondrerions tous dans un trou noir si lon venait à passer.Ce serait tout autre chose sil était formulé comme le plus conséquent mais équivalent ' pourquoi pouvons-nous supposer en toute sécurité 0 ≠ 1 et quels sont les arguments les plus forts pour le contraire? '
• @EricDuminil, Merriam-Webster définit littéralement " deux " comme étant " étant un plus dun en nombre ", qui est exactement S(S(0)). Donc, dans ce cas, nous avons certainement une définition.

léquation la plus fondamentale

Votre hypothèse est erronée. 1 + 1 = 2 nest pas un axiome des mathématiques, mais (comme le souligne Spoutnik) une conséquence des axiomes Peano appliqués à base 10 représentations de nombres.

On peut facilement passer de décimal (base 10) à unaire (base 1) et dites:

1 + 1 = 11.

Ou, remplacez-le par binaire (base 2, ce que votre ordinateur utilise réellement), et dites:

1 + 1 = 10.

Et pour le plaisir, je peux entrer dans chiffres romains :

I + I = II.

Il y a donc des représentations dans lesquelles 1 + 1 est pas 2 (et même les systèmes où vous navez pas le glyphe 1), mais lunivers na pas implosé mais à cause de cela.

Maintenant, que se passerait-il si votre question était plus e …

Et si les axiomes Peano contredisaient les observations du monde naturel?

Dans ce cas, ma réponse serait double:

• Les mathématiques basées sur les axiomes Peano seraient toujours utiles
• Les mathématiciens en trouveraient un autre ensemble daxiomes qui correspondraient au monde naturel, ainsi que des mathématiques basées sur ces nouveaux axiomes

Pour comprendre cela, prenons par exemple Newtonien physique : il sagit dun grand ensemble de règles mathématiques construit sur des axiomes qui correspondent bien aux observations du monde naturel.

Mais ensuite Einstein a remarqué que certains des axiomes ne correspondaient pas vraiment (en particulier lorsque les choses vont à la vitesse de la lumière), et est venu avec physique relativiste , qui invalide pratiquement toute la physique newtonienne.

Même nous savons que la physique newtonienne est fausse (parce qu’elle est basée sur un modèle trop simple), ils sont un outil valable pour beaucoup de problèmes.

Même chose avec larithmétique basée sur Peano: même sils ne correspondent pas à une certaine observation dans le monde naturel, ils resteraient de bons outils. Et à la suite de linaptitude, un autre ensemble de mathématiques pourrait en être dérivé.

Commentaires

• Le symbole " 1 " serait normalement défini comme lidentité multiplicative, et " 2 " serait normalement défini comme la somme de lidentité multiplicative avec lui-même. Que 1 + 1 = 2 ne serait ' t être un " axiome ", mais serait plutôt être implicite plutôt directement par ces définitions. Si lon devait définir les symboles différemment, léquation utilisant ces symboles pourrait ne pas tenir, mais lajout de lidentité multiplicative à elle-même donnerait toujours la somme de lidentité multiplicative et delle-même, quels que soient les symboles nécessaires pour écrire ce fait.
• Merci davoir évoqué la physique newtonienne contre la physique relativiste, car découvrir 1c + 1c != 2c est exactement ce qui sest passé. Le calcul était correct, mais notre modèle dajout de vitesses était incorrect à haute vitesse , nous avons donc corrigé le modèle pour faire correspondre les observations . Il doit prendre en compte le facteur de Lorentz aux vitesses élevées. Problèmes similaires avec la mécanique classique et la mécanique quantique.
• Vous ne voyez pas ' que de nombreux mathématiciens arabes prétendent que parce quils utilisent des nombres différents, ils ont donc réfuté 1 + 1 = 2. Il est donc ' dommage que la première partie de cette réponse soit fausse, car la deuxième partie est très bonne.
• @SteveJessop Au moins en partie parce que 1 , 2, etc. sont des chiffres arabes. Mais votre point global est valable. (cest-à-dire que ' est dommage que la première partie de votre commentaire soit fausse, car la deuxième partie est très bonne.)
• Un petit problème. La physique newtonienne nest pas " fausse. " Elle fonctionne parfaitement bien dans le contexte dans lequel elle a été découverte.Je nai jamais eu besoin dutiliser la relativité générale dans aucune de mes 30 années de travail lié à la physique. La mécanique newtonienne ma bien et correctement coupé dans mon contexte. Ce que fait la relativité, cest étendre la physique newtonienne pour expliquer correctement les phénomènes qui se produisent à une vitesse proche de la lumière, et élargir la gamme de contextes dans lesquels nous pouvons correctement raisonner sur la gravité et la lumière.

Si 1 + 1! = 2, alors 1 – 1! = 0, ce qui signifie que la charge sur les protons dun noyau nannule plus le charge sur les électrons. Ainsi, tous les atomes acquièrent une charge électrique nette et tous les corps macroscopiques sont attirés (ou repoussés) les uns vers les autres avec une force incroyable – 36 ordres de grandeur plus forte que la gravité. Cela réduirait lunivers entier en une pâte subatomique en un temps assez court …

Commentaires

• Bien sûr, mais alors ce serait aussi ne fais pas ça.
• Inversion protonique totale? Traverser les ruisseaux est mauvais, Ray.
• Cest en fait la seule réponse que jai ' lue ici qui présente une théorie sur le " que se passerait-il " partie de la question. Bravo, Oscar.
• " Si 1 + 1! = 2, alors 1 – 1! = 0 " Je ne ' pas comprendre. Comment cette conclusion est-elle tirée?
• @CPHPython Cela pourrait arriver si 1 + 1 = 2 est faux ( et si la charge électrique obéit aux règles de + ). Mais si ' est réfuté , cela signifie simplement que la façon dont nous procédons à des dépreuves est rompue.

Ce qui se passerait est conceptuellement très simple. Larticle prouvant que « ¬1 + 1 = 2 » sera renommé «  Zermelo – Fraenkel Set Theory est incohérent  » et publié.

De là, ça devient plus dur. En fonction du fonctionnement de la preuve, nous devrions nous retrouver avec un nouveau théorème densemble plus faible résultant en une restauration de la cohérence. Ou quelque chose de pire; les Peano Axioms pourraient être invalides avec la conséquence de, eh bien, je ne sais franchement pas. Une opération que nous avions lhabitude de faire disparaît, mais elle a gagné Laddition entière ne peut pas être réfutée dans le domaine fini (grâce à la science!) donc quelque chose dautre sur le chemin de la contre-épreuve est jeté. Peut-être que la gestion de linfini est incorrecte en mathématiques. Peut-être autre chose. Je suis désolé si cela ressemble à de la spéculation. La spéculation est en fait dans la question. Cela dépend un peu de la taille du trou que vous voulez percer.

Du côté pratique, nous savons déjà ce qui se passe . 1 + 1 = 2 sera toujours vrai pour tout domaine et cas dutilisation raisonnables, nous continuerons donc à lutiliser. Après un certain temps, le mode de défaillance sera compris et soigneusement (ou pas si soigneusement) exclu comme nous le faisons en informatique pour débordement maintenant.

Commentaires

• " La théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel est incohérente " – ou un titre encore meilleur, si la preuve nexige ' tous les axiomes ZF.
• Pudlak théorise que si un une contradiction a été trouvée dans les axiomes Peano, nous commencerions à restreindre laxiome dinduction aux formules " small ", pour une définition de petit. restaurerait probablement la cohérence.
• Et ce genre de situation se produit déjà ed une fois avec Russel ' s Paradox. (Sauf que je ne ' ne sais pas que la théorie des ensembles de Cantor ' était généralement considérée comme une bonne base pour toutes les mathématiques à lépoque comme ZF [C] est maintenant.)

1 + 1 = 2 est une vérité nécessaire — en gros, une déclaration qui est vraie dans tous les mondes possibles. Votre question demande donc de vraies conditions contrefactuelles avec des antécédents impossibles. Celles-ci sont parfois appelées contrepossibles (par exemple, section 5.1 ici ).

Le point de vue traditionnel était cela tous ces contrepossibles sont trivialement vrais. Selon ce point de vue, « si un plus un nétait pas deux, alors q  » serait vrai pour arbitraire q . Plus récemment, plusieurs philosophes ont fait valoir que pour donner un sens à la science et au raisonnement quotidien, il fallait une sémantique des contrepossibles qui nimplique pas trivialement leur vérité. Voir les références à ce débat dans la dernière entrée SEP liée à ci-dessus.

Dans tous les cas, rassurez-vous, un plus un équivaut nécessairement à deux.

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• " dans tous les mondes possibles ". Cest discutable. Il peut y avoir un monde que nous pouvons ' t comprendre et même imaginer puisque ses ' lois logiques (et arithmétiques si elles existent même) sont complètement différents.
• @ rus9384 le consensus parmi les théoriciens travaillant sur ce sujet est que des vérités logiques sont nécessaires. En supposant ici que lOP nest pas intéressé à contester la vérité des axiomes de Peano, alors 1 + 1 = 2, qui découle de ces axiomes, est nécessaire. Dans la conception du monde possible de la nécessité, être nécessaire signifie simplement être vrai dans chaque monde possible. Parce que, comme vous le dites, nous devons parfois raisonner sur des états de choses impossibles, certaines théories fonctionnent avec une notion de monde impossible exactement dans ce but.
• Donc, ce monde est impossible, car nous ne pouvons ' pas y penser? Les aveugles peuvent ' voir, mais ce nest pas le problème '. Il y a des couleurs que dautres animaux perçoivent que nous ' percevoir (à moins que la technologie ne progresse suffisamment). Cest juste pour que notre sens de la logique ne permette pas la perception dautres systèmes logiques. Et nous pouvons ' être sûrs que les axiomes Peano fonctionnent vraiment dans notre monde. Même 1 + 1 = 2 peut être contesté au niveau quantique.
• Eh bien, disons ceci aux ': la possibilité est une notion utile, en ce sens que ce n’est pas toujours le cas -La phrase formulée à lindicatif représente un état de fait possible. Prenez une phrase qui exprime un de ces trucs impossibles. Comment raisonner à leur sujet? Certains disent: en postulant des mondes supplémentaires dans lesquels par impossibilité de telles choses sont vraies.
• @ rus9384 Je ne ' Je pense 1+ 1 = 2 peut être contesté à nimporte quel niveau. Ce que vous pourriez contester, cest que les axiomes de Peano modélisent bien le monde au niveau quantique. Cela ne rend pas ' que 1 + 1 = 2 nest pas vrai compte tenu des axiomes Peano.

La preuve doit avoir été effectuée dans une sorte de système formel, sinon ce nest pas tant une preuve quun argument convaincant. Donc, nous avons une preuve dans un système de la déclaration 1 + 1! = 2.

Les philosophes dans le domaine de la logique, et les mathématiciens, examineraient de près les détails de cette preuve. Puisque tous les systèmes formels qui intéressent quiconque prouvent le contraire de cette affirmation, prouver également que cette déclaration démontre que le système utilisé est incohérent. Ainsi, ce système ne peut plus être utilisé pour un travail sérieux. Par conséquent, les logiciens auraient appris quelque chose extrêmement important sur ce système logique particulier, voudrait savoir quels autres systèmes la même technique savéreront incohérents.

Lunivers ne pourrait pas être « jeté dans le chaos » à moins de croire en une sorte de (oserais-je y it: magique?) par lequel le mouvement des étoiles dans la galaxie dAndromède est significativement affecté par les marques que vous faites sur un morceau de papier sur Terre. Un solipsiste pourrait, je suppose, croire que lunivers est soutenu uniquement par sa croyance personnelle en la cohérence logique, et par conséquent que lunivers serait fondamentalement altéré par la lecture de cette preuve. La plupart des gens ont suffisamment confiance en lexistence dune réalité externe, pour ne pas croire que lunivers sintéresse à ce que les humains font ou ne produisent pas.

Jattends que les philosophes ne sintéressent pas à la logique et à la preuve formelle les systèmes ignoreraient la plupart du temps le résultat, du moins jusquà ce que les logiciens leur expliquent exactement dans quelles conditions ils (les non-logiciens) utilisent réellement le même système défectueux qui prouve 1 + 1! = 2, et donc de quel raisonnement ils ont besoin pour arrêter dutiliser.

Bien sûr, cela dépend aussi dans une certaine mesure de ce que vous entendez par réfuter que 1 + 1 = 2. On pourrait imaginer une «preuve physique» plutôt quune preuve logique formelle. Si vous voulez dire que quelquun a prouvé quil peut placer une orange dans un bol vide, puis placer une autre orange dans le même bol, et quaucune autre orange na été ajoutée ou retirée, et que le bol contient maintenant un certain nombre doranges autres que 2, vous pourriez dire quils « ont prouvé 1 + 1! = 2. Mais tout le monde sattend à ce quen fait, une sorte de processus physique auparavant inconnu impliquant des oranges soit impliqué. Donc, bien que vous ayez découvert quelque chose qui change vraiment nos notions de la nature de la réalité, ce n’est pas parce que l’équation la plus fondamentale est logiquement fausse, c’est parce que les oranges (ou objets physiques) en général) apparemment ne plus obéir à larithmétique, et donc léquation ne leur est plus applicable. Naturellement, ce serait extrêmement troublant, car les humains comptent tout le temps sur la capacité de compter les choses, et ainsi la société humaine pourrait bien être jetée dans le chaos.

Peut-être pertinent pour la discussion est Mathématiques incohérentes :

cest létude des objets mathématiques courants, comme les ensembles, les nombres et les fonctions, où certaines [ emphase ajoutée ] contradictions sont autorisées.

Et voyez la discussion sur Arithmétique :

Une arithmétique incohérente peut être considérée comme une alternative ou une variante sur la théorie standard, comme une géométrie non euclidienne.

Les axiomes standard de larithmétique sont les Peano « s, et leurs conséquences – la théorie standard de larithmétique – est appelée PA . Le modèle standard darithmétique est N = {0, 1, 2, …} , zéro et ses successeurs.

Les modèles non standard cohérents sont tous ex tensions du modèle standard, modèles contenant des objets supplémentaires. Les modèles arithmétiques incohérents sont le dual naturel, où le modèle standard est lui-même une extension dune structure plus basique, qui rend également toutes les bonnes phrases vraies.

Larithmétique incohérente a été étudiée pour la première fois par Robert Meyer dans les années 1970. « s. Là, il a pris la logique paraconsistante R et y a ajouté des axiomes gouvernant le successeur, laddition, la multiplication et linduction, donnant le système R #.

En 1975, Meyer a prouvé que son arithmétique nest pas triviale car R # a des modèles. Plus particulièrement, R # a des modèles fi nis avec un domaine à deux éléments {0, 1} , avec la fonction successeur se déplaçant dans un cercle très serré sur les éléments.

De tels modèles rendent tous les théorèmes de R # vrais, mais gardent des équations comme 0 = 1 juste faux.

Et alors? Peut-être que nous pouvons survivre jusquà un (limité?) quantité dincohérence .

Mais considérez ceci h-experience, basée sur un exemple intuitif dérivé de lanalyse de Graham Priest de la structure générale des modèles darithmétique incohérente:

imaginez le modèle standard de larithmétique, jusquà un élément incohérent

n = n + 1 .

Ce n est soupçonné dêtre un très , très grand nombre [ emphase ajoutée ], " sans réalité physique ni signification psychologique. " Selon vos goûts, cest le plus grand nombre fini ou le moins incohérent. On imagine en outre que pour j, k > n , nous avons j = k .

Si dans le modèle classique j ≠ k , alors cest vrai aussi; par conséquent, nous avons une incohérence, j = k et j ≠ k . Tout fait vrai des nombres supérieurs à n est vrai de n aussi, car après n , tous les nombres sont identiques à n .

Aucun fait du modèle cohérent nest perdu.

Mais considérons maintenant le cas où n est très très grand mais pas " sans signification psychologique " et imaginez votre compte bancaire sajoutant à un montant de n USD (ou GBP ou autre).

À partir de ce moment, le compte bancaire ne croîtra plus, sans " interruption " dans les lois usuelles de larithmétique.

Sommes-nous autorisés à le considérer comme un cas de " lunivers soit jeté dans le chaos " ?

Les mathématiques et / ou la science samélioreraient.

Les mathématiciens recherchent et utilisent des modèles pour formuler de nouvelles conjectures; ils résolvent la vérité ou la fausseté des conjectures par des preuves mathématiques ( de wikipedia ). Nous pourrions soutenir que 1 + 1 = 2 découle de la définition et non de la preuve qui rend la question théorique ou mal formulée. Mais votre question est toujours valable dans un sens plus large. Une preuve mathématique peut être fausse. Cela sest déjà produit. Cette question mathoverflow est pleine de preuves historiques et de conjetures qui ne sont pas correctes. Lorsquune telle erreur est découverte, non chose qui bouleverse lunivers se produit. Nous arrêtons simplement de nous tromper et nous avons raison, nous avons amélioré nos connaissances en mathématiques.

Alors, disons que nous travaillons avec des axiomes qui nincluent pas 1 + 1 = 2. Et que nous arrivons à 1 + 1 = 2 par un raisonnement mathématique et en établissons une preuve mathématique. Et disons, pour des raisons dargumentation, nous découvrons plus tard quune telle preuve est fausse, en fait 1 + 1 = 3. Non, cela ne jetterait pas lunivers dans le chaos. Lunivers était ce quil était avant que les humains narrivent à le concept de 1 + 1 = 2 (ou du moins je suppose, je nétais pas vraiment là pour lobserver mais nous avons beaucoup de bonnes preuves qui nous aident à savoir comment cétait). Et chaque fois quune preuve mathématique sest avérée incorrecte, lunivers a na pas été jeté dans le chaos. Ce qui a changé, cest notre compréhension des mathématiques. Il est raisonnable de supposer que ce serait la même chose pour 1 + 1 = 3.

Il y a une chose qui serait jeté dans le chaos. Mathématiciens . Maintenant que nous savons que 1 + 1 = 2 est faux, toute preuve qui en dépend est imparfaite. Imparfaite, pas exactement fausse. Les affirmations validées par des preuves qui dépendent de 1 + 1 = 2 peuvent toujours être vraies, mais les anciennes preuves ne servirait pas à établir cette vérité. Beaucoup de matériel aurait besoin dêtre révisé et réécrit, beaucoup de discussions sensuivraient. Mais nous sortirions plus sages de la th au chaos.

Quen est-il des théories scientifiques qui dépendent de 1 + 1 = 2 ?. Comme ce qui est décrit dans une autre réponse à cette question. Non, cela ne réduirait pas lunivers entier en une pâte subatomique en un temps assez court. Lunivers était ce quil était avant que nous découvrions 1 + 1 = 3 et continuerait de lêtre (je suppose que cela sest produit pour dautres preuves réfutées). Puisque nous aurions découvert que les anciennes théories scientifiques nexpliquent pas correctement lunivers, de meilleurs modèles seraient développés.

Si de telles choses élémentaires sont mises en doute, alors a fortiori sont des choses beaucoup moins élémentaires, telles que les étapes de raisonnement nécessaires pour prouver que un et un ne sajoutent pas à deux. Il serait donc raisonnable de douter dune telle preuve. En fait, jignorerais la preuve – ainsi que la douzaine dautres affirmations incroyables que je rencontre chaque jour – comme (je suppose) la plupart des autres personnes.

En conséquence, je mattendrais à ce que la preuve ont autant deffet sur le monde quune nouvelle démonstration dangle-trisection euclidienne (telle quelle a été soumise à maintes reprises). Autrement dit, il occuperait temporairement le nombre relativement restreint de personnes qui choisiraient de le regarder.

Réponse courte: Oui. Si vous pouviez prouver quune telle déclaration élémentaire et apparemment évidente est fausse, cela remettrait en question une grande partie de ce que nous pensons savoir sur les mathématiques, et probablement beaucoup dautres choses sur lunivers.

Et alors? À moins que vous nayez des preuves que cette déclaration est fausse, cest « une hypothèse inutile. En effet, jai eu beaucoup de conversations où quelquun ma présenté des hypothèses sur un sujet complexe, comme: » Et sil était prouvé que cette politique politique que vous soutenez ne «t fonctionne» pas?, ou «Et si Dieu vous commandait de faire quelque chose de mal?», etc. Et ma réponse est généralement de dire: «Je ne pense pas que la situation hypothétique que vous décrivez est susceptible de se produire. Et si quelquun prouvait que 1 + 1 = 2 est faux? « 

Au sens mathématique strict, je ne vois pas comment vous pourriez prouver 1 + 1 = 2 faux parce que cest vrai par définition. définition de « 2 » est « 1 + 1 ». Au moins cest ce que jai appris en classe de théorie des nombres. Compte tenu de la complexité des mathématiques modernes, il existe probablement dautres définitions dans dautres branches. Mais vous ne pouvez pas prouver une définition fausse. Cest vrai par … définition.

Rien narriverait à la réalité – elle resterait telle quelle. Cependant, nous aurions alors besoin dun changement dans notre théorie du comptage, qui se répercuterait sur dautres théories mathématiques fondées sur le comptage. Puisque cette équation darithmétique est effectivement une définition de deux (voir par exemple, la construction de larithmétique dans les systèmes daxiomes mathématiques), une preuve que cette équation est fausse signifierait que nous ne pouvons pas valablement ajouter un et un ( ou plus précisément, tout système daxiomes permettant den ajouter un et un est logiquement incohérent). Cela nous obligerait à formuler des systèmes daxiomes alternatifs de mathématiques qui évitent lincohérence. La réalité continuerait à avancer tout comme dhabitude pendant que nous essayions de comprendre cela.

Vous ne pouvez pas réfuter un axiome et les axiomes de Peano indiquent que 1 + 1 = 2.

Changement de contexte, en logique booléenne + signifie autre chose et 1 + 1 = 1.

Commentaires

• Je ' suis assez sûr que ' s. vous avez essentiellement dit quil ' est un axiome parce quil ' est dans une liste daxiomes.
• @ Ruadhan2300 Les axiomes Peano sont les axiomes habituels de la logique. Vous pourriez le considérer comme dogmatique, mais cest aussi trivial que " Chaque nombre a un successeur. "
• Non nier que les axiomes Peano sont définitivement une source hautement crédible, mais " ' est vrai parce que ' s true " est toujours un argument étrange à faire.