Permettez-moi dabord de vous rappeler (ou peut-être de vous présenter) quelques aspects de la mécanique quantique en général en tant que modèle f ou des systèmes physiques. Il me semble que lon peut répondre à beaucoup de vos questions par une meilleure compréhension de ces aspects généraux, suivie dun appel à la façon dont les systèmes de spin apparaissent comme un cas particulier.

Remarques générales sur les états quantiques et la mesure.

Létat dun système quantique est modélisé comme un élément de longueur unitaire $ | \ psi \ rangle $ dun espace de Hilbert complexe $ \ mathcal H $, un type spécial despace vectoriel avec un produit interne. Toute quantité observable (comme limpulsion ou le spin) associée à un tel système dont on pourrait vouloir mesurer la valeur est représentée par un opérateur auto-adjoint $ O $ sur cet espace. Si lon construit un appareil pour mesurer une telle observable, et si lon utilise cet appareil pour faire une mesure de cette observable sur le système, alors la machine produira une valeur propre $ \ lambda $ de cette observable. De plus, si le système est dans un état $ | \ psi \ rangle $, alors la probabilité que le résultat de la mesure de cette quantité soit la valeur propre de lobservable est \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} où $ | \ lambda \ rangle $ est le vecteur propre normalisé correspondant à la valeur propre $ \ lambda $.

Spécialisation aux systèmes de spin.

Supposons, maintenant, que le système que nous considérons est constitué du spin dune particule. Lespace de Hilbert qui modélise létat de spin dun système avec spin $ s $ est un espace de Hilbert dimensionnel $ 2s + 1 $. Les éléments de cet espace vectoriel sont souvent appelés « spineurs », mais ne vous laissez pas distraire, ils sont comme nimporte quel autre vecteur dans un espace de Hilbert dont le travail est de modéliser létat quantique du système.

Les observables primaires dont on parle habituellement de mesure pour les systèmes de spin sont les composantes cartésiennes du spin du système. Autrement dit, il existe trois opérateurs auto-adjoints conventionnellement appelés $ S_x, S_y, S_z $ dont les valeurs propres sont les valeurs possibles on pourrait obtenir si l on mesure l un de ces composants du spin du système. Le spectre (ensemble de valeurs propres) de chacun de ces opérateurs est le même.Pour un système de spin $ s $, chacun de leurs spectres est constitué des valeurs suivantes: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} où dans ma notation $ i = x, y, z $. Ainsi, par exemple, si vous construisez une machine pour mesurer la composante $ z $ du spin dun système spin- $ 1 $, alors la machine donnera lune des valeurs de lensemble $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ à chaque fois. Correspondant à chacune de ces valeurs propres, chaque opérateur de composante de spin a un vecteur propre normalisé $ | S_i, m_i \ rangle $. Comme indiqué par les remarques générales ci-dessus, si létat du système est $ | \ psi \ rangle $, et que lon veut connaître la probabilité que la mesure de la composante de spin $ S_i $ donne une certaine valeur $ m_i \ hbar $ , alors on calcule simplement \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Par exemple, si le système a spin- $ 1 $, et si lon veut connaître la probabilité quune mesure de $ S_y $ produise la valeur propre $ – \ hbar $, alors on calcule \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinors.

Dans le contexte ci-dessus, les spineurs sont simplement les représentations matricielles des états dun système de spin particulier dans une certaine base ordonnée, et les matrices de spin de Pauli sont, jusquà une normalisation, les représentations matricielles de les opérateurs de composants de spin dans cette base spécifiquement pour un système avec spin- $ 1/2 $. Les représentations matricielles facilitent souvent le calcul et la compréhension conceptuelle, cest pourquoi nous les utilisons.

Plus explicitement, supposons que lon considère un système spin- $ 1/2 $, et que lon choisisse de représenter des états et des observables dans la base $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ constitué des vecteurs propres normalisés de la composante $ z $ de spin, alors on trouverait les représentations matricielles suivantes dans cette base \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Remarquerez que ces représentations sont précisément les matrices de Pauli jusquau facteur supplémentaire $ \ hbar / 2 $. De plus, chaque état du système serait représenté par une matrice $ 2 \ times 1 $, ou « spinor » \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Et on pourrait utiliser ces représentations pour effectuer les calculs mentionnés ci-dessus.

Commentaires

• Merci beaucoup; cela ma beaucoup aidé à comprendre. Est-ce simplement une convention que les états propres renvoyant des valeurs propres négatives sont spin ‘ down ‘ et spin positif ‘ up ‘? Pour vérifier ma compréhension, jai ‘ essayé de calculer lexemple que jai utilisé ci-dessus: est-il vrai quune particule de spin-1 mesurée pour être dans la dimension x (valeur propre hbar) sera être dans létat normalisé < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 >, et la probabilité de la dimension az la mesure retournant en haut sera alors 1/4, le spin zéro retournant à 1/2 et en bas 1/4?
• +1 Jaime particulièrement vos machines  »  » dans le premier paragraphe – très Feynmanian dans la saveur. Jai lutté pendant de nombreuses années pour  » comprendre  » QM: les mathématiques et la théorie du mensonge métaient habituées, mais cela ma pris beaucoup de temps pour comprendre que les  » opérateurs  » non seulement des opérateurs, mais aussi une recette spéciale pour les interpréter comme des modèles de  » machines de mesure « . Malheureusement, je ne peux ‘ t me rappeler si ce sont les conférences Feynman ou Sakurai qui ont fait passer le message, ou si en fait cétait un mélange des deux dans mes pensées sous la douche ou pendant marcher, mais cest ce que je recommande aux gens maintenant.

Les groupes sont des structures mathématiques abstraites, définies par leur topologie (en cas de groupes continus (Lie)) et lopération de multiplication.

Mais il est presque impossible de parler de groupes abstraits. Cest pourquoi les éléments de groupes sont généralement mappés sur des opérateurs linéaires agissant sur un espace vectoriel $ V $:

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

où G est le groupe, $ \ text {End} (V) $ représente les endomorphismes (opérateurs linéaires) sur $ V $, et $ \ rho (g) $ est le mappage .Pour que ce mappage soit significatif, nous devons mapper correctement la multiplication de groupe:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Linverse est également mappé à

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

et lidentité du groupe est simplement

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Cest ce quon appelle la représentation du groupe $ G $. $ V $ se transforme sous la représentation $ \ rho $ du groupe $ G $.

Dans votre cas, le groupe dintérêt est le groupe de rotations en 3 dimensions qui est généralement noté SO (3). Notre objectif est de trouver différents objets qui peuvent être tournés, cest-à-dire des représentations (et des espaces de représentation) de SO (3).

Une de ces représentations est la représentation de définition (qui est utilisée pour définir SO (3)) , ou la représentation vectorielle. Dans ce cas, $ V $ est juste $ R ^ 3 $ et les matrices de $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ sont orthogonales $ 3 \ times 3 $ matrices avec un déterminant dunité:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Ainsi, les vecteurs peuvent être tournés en 3 dimensions. Le résultat dune telle rotation par $ g \ in \ text {SO (3)} $ est déterminé en agissant sur le vecteur initial avec lopérateur $ \ rho (g) $.

Une autre représentation est le spineur représentation. Lespace vectoriel est maintenant bidimensionnel et complexe . Limage de cette représentation est constituée de $ 2 unitaire \ fois 2 $ avec un déterminant dunité:

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Cette représentation nest pas aussi évidente que la précédente, car les spineurs sont quelque chose que nous ne voyons généralement pas dans la vie quotidienne. Mais il peut être prouvé mathématiquement que ces représentations sont isomorphes et sont donc deux représentations différentes du même groupe (en fait, ils sont homomorphes et la représentation en spin est la double couverture de la représentation vectorielle).

Passons maintenant aux matrices de Pauli. Il y a un principe général: pour chaque groupe de Lie $ G $ il existe un linéaire correspondant espace (algèbre de Lie) avec un crochet de Lie (une opération anti-commutative satisfaisant lidentité de Jacobi) qui correspond uniquement à un voisinage de lunité de groupe de $ G $. Cette application est appelée lexponentielle.

Donc vous pouvez écrire une arbitraire (suffisamment proche de lunité pour éviter les problèmes topologiques globaux) $ 2 \ times 2 $ matrice complexe fr om la représentation spinor sous forme

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

où $ \ alpha ^ a $ sont trois nombres qui paramétrent lélément de groupe dont la représentation est $ A $, et $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ sont la base de lalgèbre de Lie, avec $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ times 2 matrices $ Pauli. Cette équation spécifie à peu près comment un spineur est transformé sous une rotation arbitraire.

Dans la représentation vectorielle, il y a aussi une base dalgèbre de Lie, qui se compose de 3 $ 3 \ fois 3 $ matrices.

Il existe deux autres interprétations des matrices de Pauli que vous pourriez trouver utiles, mais seulement après avoir compris Lexcellente description physique de JoshPhysics . Ce qui suit peut être considéré comme  » trivia funky  » (à au moins je les trouve intéressants) sur les matrices de Pauli plutôt que sur une interprétation physique.

1. Comme base pour $ \ mathfrak {su} (2) $

La première interprétation est diversement vue comme (i) ce sont des quaternions unitaires , modulo un changement de signe et une réorganisation de la définition du mathématicien de ces bêtes , (ii) comme base de lalgèbre de Lie $ \ mathfrak {su} (2) $ de $ SU (2) $ lorsque nous utilisons la matrice exponentielle pour récupérer le groupe $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ à (iii) une généralisation en trois dimensions de Théorème de De Moivre .

Une matrice hermitienne générale, sans trace, $ 2 \ times2 $ skew $ H $ peut être décomposé de façon unique comme:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

avec $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Cette matrice remplit léquation caractéristique $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , où $ \ mathrm {id} $ est lidentité $ 2 \ times2 $ et $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Ainsi, si nous déployons la série exponentielle de Taylor à matrice universellement convergente, puis réduisons toutes les puissances de $ H $ plus élevées que le terme linéaire avec léquation caractéristique, nous obtenons:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

qui est considéré comme une généralisation de De Formule de Moivre « pour lunité  » pure imaginaire  »

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

et tous les membres de $ SU (2) $ peuvent être réalisés par un exponentiel tel que dans (2) (mais sachez que lexponentielle dune algèbre de Lie, bien que lensemble de $ SU (2) $ dans ce cas, ne soit pas toujours le groupe de Lie entier à moins que le lat ter est (i) connecté et (ii) compact). Ainsi, chaque membre de $ SU (2) $ peut être décomposé en un superpositon de longueur unitaire  » des matrices de Pauli et du matrice didentité.

La raison du facteur 2 dans la définition $ \ theta / 2 $ est jusquici mystérieuse: témoignez que pour les besoins de ci-dessus, nous aurions pu tout aussi bien remplacer $ \ theta / 2 $ par $ \ theta $ . La raison est liée à la relation entre les matrices de Pauli et la sphère céleste, dont je parlerai plus tard. Les quaternions représentent des rotations à travers une carte de spineurs ( MAIS , comme le conseille Joshphysics, ne soyez pas trop distrait par ce mot); si un vecteur en 3 espaces est représenté par un quaternion purement imaginaire de la forme $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , puis son image sous une rotation dangle $ \ theta $ autour dun axe avec des cosinus directeurs $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ est donné par:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Cette carte de spineurs est un exemple du groupe $ SU (2) $ agissant sur sa propre algèbre de Lie via la représentation adjointe. Il peut être intuitivement compris en termes de une règle de triangle pour élaborer les compositions de deux rotations, comme esquissé dans mon diagramme ci-dessous. Les arcs sur la sphère unitaire représentent une rotation dun angle deux fois celui donné par langle sous-tendu par larc à lorigine.

Jexplique cela en détail dans Exemple 1.4  » $ 2 \ times2 $ Groupe unitaire $ SU (2) $  » sur ma page Web  » Quelques exemples de groupes de mensonges connectés  » ici .

Il y a aussi ma démonstration interactive Mathematica  » La $ SU (2) $ Spinor Map: Composition de la rotation par triangles quaternions graphiques  » sur le site Wolfram Demonstrations .

2. La sphère céleste

En développant lespace linéaire en 3 dimensions des superpositions de matrices de Pauli (qui est le même que lespace linéaire de sans trace $ 2 \ times2 $ matrices skew-hermitiennes) à lespace à 4 dimensions couvert par les matrices de Pauli et les matrices didentité, puis toute transformation du groupe $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ agit sur des vecteurs de la forme $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ par la même carte de spineurs que dans (4). Si nous nous limitons aux rayons projectifs dans cet espace, le groupe $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ , isomorphe au groupe Moebius de Les transformations de Möbius agissent sur cet espace de rayons exactement de la même manière que les transformations de Möbius (linéaires fractionnaires) agissent sur la sphère de Riemann. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ est une double couverture du groupe de Lorentz, et vous pouvez calculer comment la vue dun spacefarer change à mesure quil subissent des transformations de Lorentz. Voir la section  » Transformations de Lorentz  » sur Wikipédia  » Transformation Möbius  » page pour plus de détails.

Une explication mécanique générale. Les champs et les ondes suivent des équations hyperboliques (équations donde). Celles-ci représentent une avance dans l’espace et le temps et, en tant que telles, ne peuvent « t représenter une masse qui doit être stationnaire, mais qui pourraient également tourner. Un tel mouvement nécessite une équation elliptique. Par exemple, l’équation de Kline-Gordon est hyperbolique, alors que l’équation de Dirac est elliptique. Dans un fluide en écoulement, il y a un exemple parallèle. Les tourbillons et la turbulence ne peuvent pas se former sans laide dune frontière – pour faire dévier lécoulement de lavancement à létat de circulation. La première région est hyperbolique et la seconde est elliptique.

Maintenant, pour créer une particule (énergie de rotation) à partir dun champ (se déplaçant en position), nous devons dévier / faire pivoter la direction du champ. Cest là que les matrices de Pauli viennent chercher de laide et donnent lellipticité requise. Cest pourquoi les nombres / rotations imaginaires sont utilisés. Multiplier une quantité par i la fait pivoter de 90 degrés, pour un angle général, nous utilisons lexponentielle dune quantité imaginaire.

Plus tard, lorsque nous mélangeons les lagrangiens des ondes et des particules dans un modèle plus général, nous inversons dutiliser les Higgs pour faire le même travail de transformation dun type dénergie à lautre – cest-à-dire des champs aux particules et vice-versa.