Quelle est la définition dune distribution symétrique? Quelquun ma dit quune variable aléatoire $ X $ provenait dune distribution symétrique si et seulement si $ X $ et $ -X $ a la même distribution. Mais je pense que cette définition est en partie vraie. Parce que je peux présenter un contre-exemple $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ et $ \ mu \ neq0 $. Évidemment, il a une distribution symétrique, mais $ X $ et $ -X $ ont une distribution différente! Ai-je raison? Avez-vous déjà pensé à cette question? Quelle est la définition exacte de la distribution symétrique?
Commentaires
- Quand vous dites quune distribution » est symétrique « , vous devez spécifier par rapport à quel point est symétrique. Dans le cas de la distribution normale que vous présentez, la symétrie est donnée autour de $ \ mu $. Dans ce cas, $ X- \ mu $ et $ – (X- \ mu) $ ont la même distribution. En termes de densité, cela peut être exprimé comme suit: $ f $ est symétrique denviron $ \ mu $ si $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. Dailleurs, il est judicieux daccepter des réponses lorsque vous êtes satisfait de lune dentre elles.
- Oui, nous avons pensé à cette question. Symétrique signifie généralement symétrique denviron $ 0 $, et, pour éviter dautres contre-exemples, laffirmation selon laquelle les distributions sont symétriques nest pas quelque chose qui est vrai pour la fonction de distribution de probabilité cumulative . Votre » contre-exemple » a une symétrie autour du point $ \ mu \ neq 0 $, pas sur le point $ 0 $.
- @Dilip Lorsquune définition dépend dune manière de décrire quelque chose, mais que cette définition peut être montrée comme étant une propriété intrinsèque de ce quelque chose, alors cela na aucun sens dappliquer la définition à un différent forme de description. Dans ce cas, la symétrie est une propriété dune distribution , mais cela nimplique pas que toutes les descriptions de cette distribution (y compris le PDF et le CDF) doivent être » symétrique » de la même manière. En appliquant la symétrie du PDF au CDF, votre commentaire confond la question au lieu de la clarifier.
- shijing, @Procrastinator a observé que vous avez posé de nombreuses questions sans accepter aucune réponse. Cela suggère que vous nêtes peut-être pas familier avec le fonctionnement de ce site. Pour résoudre tout malentendu, veuillez lire la partie pertinente de notre FAQ tout au long ? Cela ne prendra que quelques minutes et suivre ses conseils améliorera la valeur de notre site pour vous.
- @whuber Le CDF est lune des rares descriptions dans lesquelles le mot distribution apparaît en fait dans le nom, et jessayais de préciser que la propriété de symétrie ne tenait pas pour le CDF.
Answer
En bref: $ X $ est symétrique lorsque $ X $ et $ 2aX $ ont la même distribution pour un nombre réel $ a $. Mais y arriver de manière pleinement justifiée nécessite quelques digressions et généralisations, car cela soulève de nombreuses questions implicites: pourquoi cette définition de » symétrique « ? Peut-il y avoir dautres types de symétries? Quelle est la relation entre une distribution et ses symétries, et inversement, quelle est la relation entre une «symétrie» et ces distributions qui pourraient avoir cette symétrie?
Les symétries en question sont des reflets de la vraie ligne. Tous sont de la forme
$$ x \ à 2a-x $$
pour une constante $ a $.
Donc, supposons que $ X $ ait cette symétrie pour au moins un $ a $. Alors la symétrie implique
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
montrant que $ a $ est une médiane de $ X $. De même, si $ X $ a une attente, alors il suit immédiatement que $ a = E [X] $. Ainsi, nous pouvons généralement épingler $ a $ facilement. Même si ce nest pas le cas, $ a $ (et donc la symétrie elle-même) est toujours déterminée de manière unique (si elle existe).
Pour voir ceci, soit $ b $ nimporte quel centre de symétrie. Ensuite, en appliquant les deux symétries, nous voyons que $ X $ est invariant sous la traduction $ x \ en x + 2 (b-a) $. Si $ b-a \ ne 0 $, la distribution de $ X $ doit avoir une période de $ b-a $, ce qui est impossible car la probabilité totale dune distribution périodique est soit 0 $ soit infinie. Ainsi $ ba = 0 $, montrant que $ a $ est unique.
Plus généralement, quand $ G $ est un groupe agissant fidèlement sur la ligne réelle (et par extension sur tous ses sous-ensembles Borel), on pourrait dire quune distribution $ X $ est « symétrique » (par rapport à $ G $) lorsque
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
pour tous les ensembles mesurables $ E $ et les éléments $ g \ dans G $, où $ E ^ g $ désigne limage de $ E $ sous laction de $ g $.
Par exemple, soit $ G $ toujours un groupe de commande $ 2 $, mais maintenant que son action soit de prendre la réciproque dun nombre réel (et de fixer $ 0 $). La distribution standard lognormale est symétrique par rapport à ce groupe. Cet exemple peut être compris comme une instance de symétrie de réflexion où une ré-expression non linéaire des coordonnées a eu lieu. Cela suggère de se concentrer sur les transformations qui respectent la «structure» de la ligne réelle. La structure essentielle à la probabilité doit être liée aux ensembles de Borel et à la mesure de Lebesgue, qui peuvent tous deux être définis en termes de distance (euclidienne) entre deux points.
Une distance préservant la distance map est, par définition, une isométrie. Il est bien connu (et facile, quoique un peu compliqué, à démontrer) que toutes les isométries de la droite réelle sont générées par des réflexions. Doù, quand on comprend que « symétrique » signifie symétrique par rapport à un groupe disométries , le groupe doit être généré par au plus une réflexion et nous avons vu que la réflexion est uniquement déterminée par toute distribution symétrique par rapport à elle. En ce sens, lanalyse précédente est exhaustive et justifie la terminologie habituelle des distributions « symétriques ».
Soit dit en passant, une multitude dexemples multivariés des distributions invariantes sous des groupes disométries est obtenue en considérant des distributions « sphériques ». Celles-ci sont invariantes sous toutes les rotations (par rapport à un centre fixe). Celles-ci généralisent le cas unidimensionnel: les « rotations » de la droite réelle ne sont que les reflets.
Enfin, il convient de souligner quune construction standard – moyennage sur le groupe – donne un chemin pour produire des charges de distributions symétriques. Dans le cas de la ligne réelle, soit $ G $ généré par la réflexion sur un point $ a $, de sorte quil se compose de lélément didentité $ e $ et de cette réflexion, $ g $. Soit $ X $ nimporte quelle distribution. Définissez la distribution $ Y $ en définissant
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
pour tous les ensembles Borel $ E $. Ceci est manifestement symétrique et il est facile de vérifier quil reste une distribution (toutes les probabilités restent non négatives et la probabilité totale est de 1 $).
Illustrant le processus de calcul de la moyenne de groupe, le PDF dune distribution Gamma symétrisée (centrée à $ a = 2 $) est affiché en or. Le Gamma dorigine est en bleu et son reflet est en rouge.
Commentaires
- (+1) Je voudrais ajouter que, dans le cadre multivarié, la définition de la symétrie nest pas unique. Dans ce livre , il y a 8 définitions possibles des distributions symétriques multivariées.
- @Procrastinator I ‘ je suis curieux de savoir ce que vous pourriez vouloir dire par » pas unique. » AFAIK, tout ce qui justifie le nom » symétrie » fait finalement référence à une action de groupe sur un espace. Ce serait intéressant pour voir quels types dactions les statisticiens ont trouvé utiles. Parce que ce livre est épuisé et nest pas disponible sur le Web, pourriez-vous donner un exemple rapide de deux types de symétrie vraiment différents considérés dans ce livre?
- Votre intuition est correcte, cela est lié à des caractéristiques statistiques : Symétrie centrale $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Symétrie sphérique $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ pour toute matrice orthogonale $ {\ bf O} $. Je ne me souviens pas du reste, mais jessaierai demprunter le livre ces jours-ci. Dans ce lien , vous pouvez en trouver quelques-uns.
- @Procrastinator Merci. Notez que les deux exemples que vous proposez sont tous deux des cas particuliers de la définition générale que jai fournie: la symétrie centrale génère un groupe disométries à deux éléments et les symétries sphériques sont également un sous-groupe de toutes les isométries. La » symétrie elliptique » dans le lien est une symétrie sphérique après une transformation affine, et illustre ainsi le phénomène que jai signalé avec le log-normal Exemple. Les » symétries angulaires » forment à nouveau un groupe disométries. La » symétrie demi-espace » [sic] nest pas une symétrie, mais permet des écarts discrets à partir de celle-ci: ‘ s nouveau.
Réponse
La réponse dépendra de ce que vous entendez par symétrie. En physique, la notion de symétrie est fondamentale et est devenue très générale. La symétrie est toute opération qui laisse le système inchangé.Dans le cas dune distribution de probabilité, cela pourrait être traduit en nimporte quelle opération $ X \ en X « $ qui renvoie la même probabilité $ P (X) = P (X ») $.
Dans le cas simple du premier exemple, vous faites référence à la symétrie de réflexion par rapport au maximum. Si la distribution était sinusoïdale, vous pourriez avoir la condition $ X \ à X + \ lambda $, où $ \ lambda $ est la longueur donde ou la période. Alors $ P (X) = P (X + \ lambda) $ et correspondrait toujours à une définition plus générale de la symétrie.