Dans de nombreux endroits de la physique statistique, nous utilisons la fonction de partition . Pour moi, les explications de leur utilisation sont claires, mais je me demande quelle est leur signification physique. Quelquun peut-il expliquer avec un bon exemple sans trop de complications mathématiques?
Commentaires
- En plus dêtre un facteur de normalisation, bon nombre de ses caractéristiques importantes pour les calculs proviennent de sa ressemblance avec les transformées de Z et de Laplace, grâce à la distribution exponentielle de Boltzmann, qui est une sorte de " co-indidence " en ce quils ne ' t fonctionneraient pas avec une distribution différente.
- Avez-vous lu le " signifiant la section " de larticle Wikipédia ? Si oui, quest-ce qui ne vous satisfait pas ' sur " il encode la manière dont les probabilités sont réparties entre les différents micro-états " ?
- Double-possible de Lefficacité déraisonnable de la fonction de partition
Réponse
La fonction de partition est une mesure du volume occupé par le système dans lespace des phases. Fondamentalement, il vous indique combien de micro-états sont accessibles à votre système dans un ensemble donné. Cela peut être facilement vu à partir de l ensemble microcanonique .
Dans lensemble microcanonique, où chaque micro-état avec une énergie entre $ E $ et $ E + \ Delta E $ est également probable, la fonction de partition est
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
où lintégrale est juste lhypervolume de la région de lespace des phases où lénergie (hamiltonienne) $ \ mathcal H $ du système est compris entre $ E $ et $ E + \ Delta E $, normalisé par $ h ^ {3N} $ pour le rendre sans dimension. Le facteur $ N! ^ {- 1} $ prend en compte le fait quen échangeant le « label » sur deux particules le micro-état ne change pas.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
vous indique que lentropie est proportionnelle à le logarithme du nombre total de micro-états correspondant au macro-état de votre système, et ce nombre est juste $ Z_ {mc} $.
Dans les ensembles canonique et grand-canonique, la signification de la fonction de partition reste pareil, mais comme lénergie nest plus fixe, lexpression va changer.
La fonction de partition canonique est
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
Dans ce cas, nous intégrons sur tout lespace des phases, mais nous affectons à chaque point $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a poids $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, où $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, de sorte que les états avec une énergie bien supérieure à $ k_B T $ sont moins probables. Dans ce cas, le lien avec la thermodynamique est donné par
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
où $ F $ est l énergie libre de Helmholtz .
La grande fonction de partition canonique est
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
où cette fois on additionne également toutes les valeurs possibles du nombre de particules $ N $, en pondérant chaque terme par $ \ exp (\ beta \ mu N) $, où $ \ mu $ est le potentiel chimique .
Le lien avec la thermodynamique est donné par
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Réponse
Cest $ e ^ {- F / T} $, où $ F / T $ est lénergie libre normalisée par léchelle dénergie thermodynamique pertinente, la température. Lexponentielle est juste une reparamétrie monotone, donc moralement, la fonction de partition est juste lénergie libre disponible pour faire un travail utile.
Autre interprétation: si vous le normalisez pour que $ E = 0 $ soit létat fondamental, alors en gros, cest linverse de la «fraction du système qui« est dans létat fondamental ». De manière extrêmement heuristique, soit $ g $ le montant total du système qui « est dans létat fondamental, $ e $ le montant total du système qui » est dans un état sorti, et $ s = g + e $ le montant total du système. Alors $ g / s $ est la fraction du système qui « est dans létat fondamental, et son réciproque est $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Le poids de Boltzmann donne que le le poids relatif (ou « montant ») de chaque état excité $ i $ avec lénergie $ E_i $ par rapport au poids de létat fondamental est $ e ^ {- \ beta E_i} $.En additionnant tous les états excités $ i $, nous obtenons la fonction de partition $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Réponse
La signification physique de la fonction de partition est la suivante: Elle exprime le nombre détats thermiquement accessibles quun système fournit aux porteurs (par exemple les électrons).