Quentend-on par le terme “ Nombre de choses ”?

Le livre est très ancien: 2e éd. 1903; 1ère éd 1890.

Comme vous pouvez le voir à la page 131 de la note de bas de page, Cantor et Dedekind sont mentionnés comme « des contributions intéressantes à la littérature sur le sujet » …

Ainsi, vous ne pouvez pas sattendent à ce que les concepts introduits au début sans définition, utilisés comme primitifs pour «élucider» le traitement suivant, puissent être exactement traduits en notions modernes (cest-à-dire post-1930) de la théorie des ensembles.

Je pense que:

groupe doit signifier une collection dobjets finie (choses)

et que:

nombre de choses dans un groupe est « clairement » (daprès la discussion) léquivalent de la cardinalité moderne (restreinte aux collections finies ) et on lappelle une « propriété » de la collection (groupe).

Mon interprétation est que les choses sont « individuelles », concrètes ou abstraites (le cas échéant). Bien sûr, il est facile de les considérer comme des objets concrets, comme des cailloux dans une poche ou un soldat dans un peloton.

Un peloton est un groupe de soldats et les le nombre de choses dans le peloton est le nombre de soldats individuels qui le forment.

Cette interprétation a également un sens en ce qui concerne la définition qui en découle de l addition (voir CoolHandLouis « s réponse).

Veuillez noter quici groupe a le sens » générique « de collection ou dagrégat; il na rien à voir avec le terme technique » groupe « de théorie des groupes .

Lorsque nous « abstenons » des « caractères » des choses individuelles (cest-à-dire formons leurs propriétés individuelles, comme la couleur, la taille, la forme dune colelction de boules) et de lordre des objets dans la collection (il en est de même pour le concept ensemble « moderne »: {A, B, C} est « le même » ensemble que {C, B, A} ) ce que nous obtenons est le « nombre » des choses dans le groupe (le nombre des membres de la collection).

Se souvenir r que la notation originale de Cantor pour représenter le nombre cardinal de lensemble A était un « double overbar » sur A:

le symbole dun ensemble annoté dun seul overbar sur A indiqué A dépouillé de toute structure en plus ordre, il représentait donc le type de commande de lensemble. Un double overbar sur A indiquait alors le retrait de lordre de lensemble et indiquait ainsi le nombre cardinal de lensemble.

Commentaires

• Quentend-on par Nombre de choses en anglais général?
• @Anupam – désolé, mais je ‘ ne suis pas un anglophone natif . Jai ‘ recherché sur Dictionnaire Cambridge en ligne : il ny a pas de paraphrase directe: la locution la plus similaire I ‘ jai trouvé  » plusieurs objets dun type particulier: jai décidé de ne pas y aller, pour plusieurs raisons.  » Nous devons utiliser la localisation de Fine ‘ en tant que  » terme technique « .
• Je pense que  » group  » nest pas le  » set  » de nos mathématiques modernes. Un ensemble est une collection d objets abstraits dautre part  » groupe  » est une collection de choses (qui ne sont pas abstraites). La théorie des ensembles na rien à voir avec ma question.
• Je nai ‘ pas lu ce travail, mais en tant que personne ayant plus de connaissances en mathématiques, la phrase  » groupe doit signifier une collection finie dobjets (choses)  » me fait grincer des dents.
• @JamesKingsbery – mais  » group  » ici nest pas conçu comme dans la théorie des groupes ; la signification est  » colelction  » ou  » aggregate  » dobjets individuels.

Préface

Jen ai fourni deux réponses à cette question:

• Lautre réponse est la meilleure réponse et est ma réponse principale. Cela suggère que M. Fine se réfère à la théorie naïve des ensembles.

• Jai fourni cette réponse car lOP a insisté en pensant à {A, A, A} comme contenant « trois éléments distincts « et a publié une prime. Il ny avait absolument aucun OP convaincant autrement, alors pourquoi ne pas simplement être daccord et obtenir la prime? 🙂

  Les deux réponses se complètent en fait puisquelles montrent comment on peut décrire les mêmes phénomènes mathématiques en changeant les axiomes, les définitions et les règles à des endroits différents. Vous dites TOE MAY TOE Je dis TOE MAH TOE. En fait, cette réponse contient une jolie » preuve mathématique « que M. Fine pensait que {A, A, A} représente trois éléments distincts ». Mais nhésitez pas à lire une attitude ironique dans ce réponse.

Anupam,

Vous avez raison M. Bien considère {A, A, A} = 3.

Je soumets une autre réponse parce que jai compris cela, mais je voulais laisser mon ancienne réponse pour le bien de lhistoire. Vous avez raison! Henry Burchard Fine voulait dire trois choses concrètes donc {A, A, A} compte pour trois. Sa déclaration ne peut pas être une erreur car cest sa prémisse principale pour justifier toute son arithmétique numérique – la base de tout son livre – en commençant par laddition:

Ajout: Si deux ou plusieurs groupes déléments sont réunis de manière à former un seul groupe, le symbole numérique de ce groupe est appelé la somme des nombres des groupes séparés.

Si la somme est s et le numéros des groupes séparés abc etc. respectivement la relation entre eux est symboliquement exprimée par léquation s = a + b + c + etc où le groupe de somme est supposé être formé en joignant le deuxième groupe auquel b appartient au dabord le troisième groupe auquel c appartient au groupe résultant et ainsi de suite

Lopération de recherche de s lorsque abc etc sont connus est laddition. Laddition est un comptage abrégé.

6 Addition Si deux groupes ou plus des choses être rassemblées de manière à former un seul groupe le symbole numérique de ce groupe est appelé la somme des nombres des groupes séparés Si la somme est s et les nombres des groupes séparés abc etc. respectivement la relation entre eux est symboliquement exprimé par léquation sab c + etc. où le groupe somme est supposé être formé en joignant le deuxième groupe auquel b appartient au premier le troisième groupe auquel c appartient au groupe résultant et ainsi de suite Lopération de trouver s lorsque abc etc. sont connus est laddition Laddition est le comptage abrégé

• Étant donné que a, b, c sont des « groupes / ensembles »,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Soit d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum (d) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c)

• Définissez maintenant les groupes / ensembles comme suit:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Somme (d ) = Somme (a) + Somme (b) + Somme (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Par conséquent, lopérateur dunion « de M. Fine » doit créer d = {A, A, A} et sum ({A, A, A}) = 3.

• Si « lopérateur dunion » de M. Fine était une notation densemble normale, alors d = {A} et il ny a aucun moyen dobtenir « 3 » à partir de cela.

Par conséquent, M. Fine considère {A, A, A} = 3.

Cest le cas quand A représente des objets concrets distincts, comme 3 pièces dans une poche.

Commentaires

• Je ne ‘ Je pense que cest la bonne conclusion. Je pense que Fine suppose simplement que lorsque  » rassemblant les groupes  » aux fins de sommation, le  » les groupes  » sont disjoints.
• Supposez-vous que la lettre $ A $ soit un objet abstrait  »  » ou  » objet concret « . Si $ A $ est supposé comme un  » objet abstrait  » alors $ a $, $ b $ et $ c $ auront tous 1 $ , 1,1 $ nombre de choses mais $ d $ naura pas $ 3 $ nombre de choses car le terme Nombre de choses nest défini que pour  » groupes  » ayant des éléments distincts . Si vous supposez $  » A  » $ comme  » objet concret  » alors tout va bien.
• +1 À votre commentaire ci-dessus Anupam!Anupam, cest probablement la meilleure question que vous ‘ avez posée dans les commentaires! Bravo et +1 à cette question! Toute cette réponse dépend de ce que je voulais dire! Cela signifie que vous ne pouvez pas être sûr que ce soit correct ou non, sauf si je vous dis si je veux dire  » abstract  » ou  » béton « . Excellent! Jadore! Je pense que cela correspond à la question initiale concernant lintention de ce que voulait dire M. Fine.
•  » A  » est un objet concret.

Le travail qui La première vient à l’esprit de la Philosophie de l’arithmétique d’Edmund Husserl. Il aborde en détail la difficulté évidente avec le nombre: que pour compter les choses comptées doivent être toutes les deux différentes (il peut donc y en avoir plusieurs) et le même (vous comptez certaines choses). Quand je dis « trois pommes », elles sont toutes identiques dans un sens (ce sont des pommes) et elles sont toutes différentes dans un autre (il y en a trois, distinguées par leur relation si rien dautre)

Il y a « multiplicité » et « unité » simultanées. Cela conduit à la question « la même chose de quelle manière et différente de quelle manière ».

La chose dont je me souviens le plus dans ce livre est la discussion sur la différence et la distinction. Cest quelque chose qui vaut la peine dêtre discuté. Il y a deux termes qui peuvent être opposés, «différent», «distingué».

• Pour distinguer deux choses nous devons faire un jugement
• Différent est une condition nécessaire mais non suffisante pour que les choses se distinguent

En mathématiques, tout ce qui est différent se distingue et on considère une totalité de choses distinctes. Cela évite la partie délicate: le jugement humain.

Ce jugement est souvent facile pour nous. Il est clair que nous percevons beaucoup de choses comme distinctes et que le monde se « cristallise » en objets. Bien que cette perception ne soit pas toujours tout ce qui est nécessaire pour faire la distinction entre les choses, dans la plupart des situations quotidiennes, cela suffit, ce nest que dans les cas extrêmes où nous devons dépasser notre apparence dobjets séparés dans lespace et utiliser un autre mode de jugement.

La capacité à distinguer les choses est le thème principal du champ scientifique de la psychophysique, qui a commencé dans les années 1890 et continue à ce jour. Il y a eu beaucoup décrits philosophiques sur cette capacité humaine aussi, en fait je suis davis que cest la principale question de philosophie (dautres peuvent ne pas être daccord).

Pour répondre directement à votre question: les mathématiques excluent le jugement humain, donc lors de la construction dun système formel, nous devons commencer après le jugement – nous le faisons en supposant que ses objets se distinguent tous les uns des autres. Si les objets en mathématiques ne se distinguent pas, ils sont considérés comme identiques. Ce nest pas le cas des choses réelles, qui peuvent être différentes mais pas distinguées.

Remarque: Les détails sur la façon dont larithmétique devient abstraite des jugements humains sont traités dans le reste du livre de Husserl. Je ne suis pas vraiment capable de l’articuler ici. Je pense qu’il pourrait y avoir quelques problèmes à la lumière des récentes recherches scientifiques « manyity » . Je « ne suis pas encore sûr.

Commentaires

• Le problème de  » Un-sur-plusieurs  » remonte à Platon; voir Argument du troisième homme mais cela nous donne peu dinformations sur ce que sont les nombres et comment ils prennent en charge le  » processus humain  » de comptage. Les mathématiques peuvent énoncer les nombres comme primitifs ou essayer de  » les expliquer  » par la théorie des ensembles, en utilisant les concepts de correspondance (nombres cardinaux) et ordre (nombres ordinaux). Mais le problème est toujours là: que sont les nombres et pourquoi pouvons-nous  » les appliquer  » à la réalité externe?
• @MauroALLEGRANZA Oui, il ‘ est vieux, cest ‘ est la question principale;) Le reste de Husserl ‘ traite de la relation entre larithmétique abstraite et le monde, cest pourquoi je ‘ le mentionne plutôt quautre chose. Je nai ‘ t le détailler parce que cest 1) assez technique (raison principale) 2) peut-être faux, et 3) pas besoin dexpliquer  » Pourquoi M. Fine a limité ce terme uniquement aux groupes qui ont tous les éléments distincts.  »
• I ‘ je ne dis pas que Husserl avait tort … Ma compréhension personnelle est que Fine (1890!) essayait de  » élucider  » le concept de nombre en évitant  » platoniste  » saveur, afin déviter toute référence aux objets  » abstract « . Je ‘ ne suis pas convaincu que Platon avait raison … mais je ‘ suis convaincu que jusquà présent non argument sonore pour  » expliquant  » quels nombres ont été trouvés qui évitent toute référence à  » abstract  » objets ou concepts.
• @MauroALLEGRANZA Je nai ‘ voulu dire que vous létiez. Husserl critique plutôt lidée que les nombres devraient être limités aux objets physiques (spécifiquement Mill), dit-il  » La simple allusion à des actes ou états psychiques, qui peut sûrement être compté aussi bien que le contenu physique, réfute [this] « . Si lon peut compter les objets abstraits, une théorie qui omet les objets abstraits de référence serait incomplète. Mais peut-être que ‘ ne vous comprends pas tout à fait.
• Encore une fois, je suis d’accord avec vous; Jadore  »  » G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik ( » Les fondements de larithmétique: une enquête logico-mathématique sur le concept de nombre « ), Breslau, 1884 où il  » démoli la théorie empiriste des nombres de  » Mill ‘. Il y avait des connexions (et des contacts) entre H et F; voir par Claire Ortiz Hill, Husserl ou Frege? Signification, objectivité et mathématiques .

Préface

Jai fourni deux réponses à cette question:

• Cette réponse est la meilleure réponse et cela suggère que M. Fine se réfère à la théorie naïve des ensembles. De plus, il ny a pas ici de grande tentative de rigueur, et M. Fine saute simplement sur son sujet dintérêt. Cette réponse est ma réponse principale.

• Jai fourni une autre réponse dans ce même fil parce que lOP a insisté en pensant à {A, A, A} comme contenant « trois éléments distincts » et a affiché une prime. Il ny avait absolument aucun OP convaincant autrement, alors pourquoi ne pas simplement être daccord et obtenir la prime? 🙂

  Les deux réponses se complètent en fait puisquelles montrent comment on peut décrire les mêmes phénomènes mathématiques en changeant les axiomes, les définitions et les règles à des endroits différents. Vous dites TOE MAY TOE Je dis TOE MAH TOE. En fait, lautre réponse contient une jolie « preuve mathématique » qui M. Fine pense que {A, A, A} représente trois éléments distincts. Il peut être intéressant de voir comment jai défendu une telle proposition.

1. Le livre fait référence à la théorie des ensembles naïfs

Le lien Google Livres suivant est plus facile à référencer: Le système numérique de lalgèbre: traité théoriquement et historiquement «  (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, publié en 1907). Voici lextrait en question de ce livre de 1907:

I. LE NOMBRE POSITIF ET LES LOIS QUI REGULENT LADDITION ET LA MULTIPLICATION DES INTEGREES POSITIFS

1 Nombre. Nous disons de certaines choses distinctes quelles forment un groupe (par groupe, nous entendons un groupe fini qui est un groupe qui ne peut pas être mis en correspondance une à une 2 avec nimporte quelle partie de lui-même) lorsque nous en faisons collectivement un objet unique de notre attention.

Le nombre de choses dans un groupe est cette propriété du groupe qui reste inchangée à chaque changement dans le groupe qui ne pas détruire les séparatènes s des choses les unes des autres ou leur séparation commune de toutes les autres choses.

De tels changements peuvent être des changements dans les caractéristiques des choses ou dans leur disposition au sein du groupe. Là encore, les changements dagencement peuvent être des changements soit dans lordre des choses, soit dans la manière dont ils sont associés les uns aux autres en petits groupes.

On peut donc dire: Le nombre de choses dans tout groupe dobjets distincts est indépendant des caractères de ces objets, de lordre dans lequel ils peuvent être disposés dans le groupe et de la manière dont ils peuvent être associés les uns aux autres en petits groupes.

2 Égalité numérique. Le nombre de choses dans deux groupes de choses distinctes est le même lorsque pour chaque chose du premier groupe il y en a un dans le second et réciproquement pour chaque chose du second groupe un en premier. Ainsi le nombre de lettres dans les deux groupes A, B, C; D, E, F, cest pareil … [M. Fine continue de parler de correspondance 1-à-1 – CoolHandLouis] …

Cest il est clair pour quiconque suit un cours de « Théorie des ensembles 101 » de niveau débutant que ce livre décrit les fondements de la théorie des ensembles. Nous pouvons affirmer avec certitude que les références de M. Fine à un « groupe » sont exactement et précisément ce que lon appelle maintenant un « ensemble », et à des « éléments » lorsquil décrivait des « choses distinctes ». (En passant, ceci tout le message fait en fait référence à ce que lon appelle la «théorie des ensembles naïfs», mais cela na aucune importance pour cette question / réponse.)

Étant donné que M. Fine fait référence à la théorie des ensembles, et que son livre a été écrit en 1907 , ma première suggestion est que vous oubliez complètement M. Fine et google pour quelques bonnes références pour  » théorie des ensembles « pour débutants et regardez également quelques-unes des courtes vidéos sur le même sujet.

Note de bas de page de M. Fine » Par groupe, nous entendons un groupe fini qui est celui qui ne peut pas être mis en correspondance un à un avec une partie de lui-même « est une preuve très forte quil » parle de théorie des ensembles (naïve). Il évite évidemment les ensembles infinis, et basé sur lhistoire de la théorie des ensembles, que peut-être pour pol raisons itiques. Il ny a aucune raison pour quil soit controversé à ce stade de sa carrière, et toutes les raisons de jouer la prudence, surtout avec ce livre.

Mais cest une méta-réponse. Voici « une vraie réponse:

2. Réponse à la question – Intro

Commençons par normaliser le reste du langage de cet article au 21e siècle: Un ensemble est une collection déléments distincts. Alors ne parlons plus de « choses » ou de « groupes ». Et peu importe si ils sont concrets ou abstraits, réels ou imaginaires.

Changer les noms de ces termes ne en de toute façon changer les problèmes que vous rencontrez. Les nouveaux mots renvoient exactement à la même chose que M. Fine disait. Tout est une question de définition, et je définirai tout au fur et à mesure que nous allons vous montrer la différence. est source de confusion.

3. Comment vous considérez «Distinct» et «Compter»

Premièrement, dune certaine manière, vous avez raison. Dans votre propre compréhension personnelle / système de croyance / définitions de « distinct », « collection », « ensemble de choses » et « groupe », et comment on les gère, vous êtes « concludi ng « que » vous avez raison « . Et ni moi ni aucun mathématicien ne pouvons argumenter contre votre « justesse » dans ce sens. Sur la base de vos définitions et méthodes de réflexion, vous avez tout à fait raison. Mais ce n’est qu’un début, cela ne résout pas la confusion.

Créons / inventons un système dans lequel vous avez « raison ». (Rappelez-vous que nous pourrions tout aussi bien dire « groupes » et « choses » mais je « standardise en » ensembles  » et « elements ». Les mots utilisés ne font « aucune différence tant que nous les définissons.)

Règles de théorie des ensembles non standard selon laffiche originale

• Un ensemble est une collection déléments.
• Chaque élément est représenté par un ou plusieurs symboles (alphanumériques).
• La taille de lensemble est le nombre total déléments.
• OP « Définition de Distinct: Chaque élément est considéré comme » distinct « sil apparaît dans une position différente, donc {A , A} contient deux éléments distincts car ils sont dans des positions différentes (position un et position deux).

Question: Combien déléments y a-t-il dans {A, A, A} selon le au-dessus des règles non standard par Ori affiche ginal? Réponse: 3.

4. Comment la théorie mathématique des ensembles (livre de M. Fine) définit «distinct» et «comptage»

Maintenant, considérons cela davantage à partir de la définition mathématique standard.

Règles de la théorie mathématique standard des ensembles

• Un ensemble est un collection déléments distincts.
• Chaque élément est représenté par un ou plusieurs symboles.
• La taille dun ensemble est le nombre total déléments.
• Définir la théorie Définition de Distinct: Chaque élément est considéré comme « distinct » sil peut être déterminé comme étant différent de tous les autres éléments. Lorsquils sont représentés par des lettres et des mots, les ne concernent que car la distinction est de savoir si les éléments ont ou non des noms différents. En mathématiques écrites, distinct = noms différents.

Pour les besoins de cette réponse, quelque chose qui porte le même nom nest pas distinct – il fait référence à la même chose. Donc {A, A}, cest comme dire {Inde, Inde}. Il ne fait référence quà un pays, pas à deux pays. Il fait référence au même pays deux fois. Alors, quel est le décompte? Le seul pays, ou les deux fois où il est mentionné? Dans la théorie des ensembles, cest le premier.

« Mais pourquoi? » vous pourriez demander. Dune certaine manière, vous pouvez considérer cela comme complètement arbitraire. « Cest par définition. » (Mais cest comme ça pour une bonne raison; cela permet à beaucoup dautres choses de la théorie des ensembles de bien fonctionner, mais cest au-delà de cette discussion). Il suffit donc de laccepter , tout comme « nous devons accepter que vous ayez raison avec votre définition ».

Question: Combien de pays distincts existe-t-il en {France, France, France, France, Inde, Inde, Inde, Brésil, Brésil}? Réponse: 3 parce que lensemble fait simplement référence à trois endroits distincts = {France, Inde, Brésil}.

5. Des pièces dans votre poche

Cest pour cette raison et dans un souci de simplicité, nous ajoutons simplement une autre règle à la théorie des ensembles:

• Aucun doublon nest autorisé dans les ensembles.

Pourquoi? Parce quun ensemble est un peu comme un « sac de choses » (concret ou abstrait). Par exemple, considérons quatre pièces de monnaie dans votre poche gauche lundi. Disons que nous ne savons pas ce quils sont. Nous les appelons donc C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Compte tenu de cette idée, cela fait cela na aucun sens de se référer à cela comme {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Pourquoi se référer trois fois à la première pièce? Il est déjà dans votre poche. Il ne doit être mentionné quune seule fois. Maintenant, attribuons quelques attributs aux pièces:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Date = 1999; Poids = 2,4993399494 g; Condition = Menthe
• C2 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Date = 1999; Poids = 2,4990044384 g; Condition = Bon
• C3 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Date = 2002; Poids = 5 0002292833 g; Condition = Très bonne
• C4 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Date = 2003; Poids = 5,0010022229 g; Condition = Très bonne

Maintenant que nous savons que deux dentre elles sont des centimes, le jeu de pièces dans votre poche est toujours le même:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Mais maintenant, nous pouvons vous demander combien de types différents (distincts) de pièces se trouvent dans votre poche:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Déplaçons les pièces C2, C3 et C4 dans votre poche droite mardi. Quy a-t-il dans vos poches mercredi?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Commentaires

• Après avoir étudié le concept de type-token Je doute de la précision logique du livre de Fine ‘. Je construis une nouvelle question liée à la note de bas de page donnée sur  » group $ {} ^ 1 $ « .
• Non, sil vous plaît, pour tout le monde ‘ saké …. attendez un peu. pas une autre question, cest juste à peu près cloué. Donnez aux répondants un peu de temps pour répondre à ma réponse et à vos préoccupations.  » Group  » in Fine ‘ livre est exactement lensemble des mathématiques modernes. Vous ‘ partirez complètement sur une autre tangente si vous passez à une autre question.
•  » Groupe  » in fine Le livre de ‘ nest pas exactement celui des mathématiques modernes. Cette fois, jai raison.
• Ok quoi est votre preuve à ce sujet. Jai donné beaucoup de temps sur cette réponse, alors sil vous plaît, restez un peu avec moi là-dessus, daccord?
• Mon point de vue personnel est que les demandeurs de questions, étant donné le service gratuit dun répondeur, devraient voter pour toutes les réponses qui fournissez une valeur, même si ‘ nest pas la bonne réponse. Cest ‘ une façon de dire,  » Merci davoir contribué au processus de recherche de la réponse.  » De même, je crois que quiconque répond à une question devrait voter pour la question; sûrement sils passaient du temps à répondre, cela devait avoir une certaine valeur. Soyez généreux avec les votes. Ce sont des jetons gratuits et abstraits dappréciation / valeur. Laissez les autres voter pour un mérite plus strict. Cest ‘ que vous choisissez, mais je ne voterais pas ‘ sur une telle technicité.

Q1: Puisque $ A $ et $ A $ ne sont pas distincts, seuls $ A $ et Les $ B $ sont distincts (sauf si vous êtes rabuliste et distinguez « la première goutte dencre formant un $ A $ » de « la deuxième goutte dencre formant un $ A $ », mais cela rend impossible de mentionner correctement lun de ces $ A $ s comme la lettre concrète (goutte dencre) $ A $ utilisée pour mentionner une lettre spécifique (goutte dencre) $ A $ est automatiquement différente de cette goutte dencre, contrairement à lintention. dans tous ces cas on parle de « lidée » de $ A $, cest-à-dire que toute instance de « $ A $ » dans le texte se réfère au même objet, qui lui-même est à penser en dehors du texte (pour le rendre possible dans le premier endroit pour utiliser « $ A $ » pour parler de $ A $). Seulement dans ce sens $ A = A $ (car en tant que gouttes dencres concrètes sur le papier, ils ont des positions différentes, ce qui les rend différents) et les deux $ A $ s dans « $ A, B, A $ » manquent de distinction. Votre groupe est donc le même que celui ayant les éléments $ A, B $ (ou $ B, A $ si vous voulez), cest-à-dire le nombre est $ 2 $.

Q2: Ils ne sont toujours pas identiques aux objets. Par exemple. Vous pouvez mettre le premier et mettre le second dans votre armoire tout en repassant à chaud le troisième; vous le remarqueriez à coup sûr si vous repassiez à chaud la même chemise que celle que vous portez. Les chemises sont indiustesible par la propriété « couleur » (comme elles létaient avant cela déjà impossible à distinguer par exemple par la propriété « taille », je suppose), mais elles sont toujours distinguables par la propriété « position spatiale ». Curieusement, cela nous laisse avec le problème que nous rencontrons des difficultés pour identifier les chemises daujourdhui avec celles dhier. Il faut réfléchir pendant un certain temps à ce que signifient «distinct» (par opposition à «distinct») et «même chose».

Q3: La distinction des éléments (qui peut permettre des chemises de couleur identique) est essentielle, car vous ne voulez pas compter à nouveau le même objet (cela vous ferait devenir un homme riche avec une seule pièce dans votre poche). Une approche totalement (?) Différente consiste à définir le « nombre » comme la classe déquivalence des ensembles (et il semble que le « groupe » de Fine est ce que nous appellerions « ensemble » aujourdhui) sous « équinumérabilité » (cest-à-dire lexistence dune bijection De cette façon, le concept de 2 ou Deux-ness correspond (ou est en fait) à la classe de tous les ensembles $ X $ telle quil existe une forme de bijection $ X $ à tout ensemble spécifique de (ce que nous appelons ) deux éléments, tels que $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Si vous avez une horreur sur les classes (propres), on peut remarquer que chacune de ces classes déquivalence contient un ensemble « simple » spécial, un ordinal (au moins dans le cas fini, et en général sous lhypothèse de laxiome de choix).

Commentaires

• Quentend-on par nombre de choses ? pourquoi nous disons à Q1 que le groupe G: {A, A, B} a 2 nombres de choses, pourquoi pas 3 comme il se doit car il y a 3 nombres de choses dans le groupe G , même les deux choses du groupe G sont identiques mais elles existent et nous devrions les compter pour o. Utilisons-nous le terme nombre de choses différemment en mathématiques de la vie habituelle. le concept primitif de compter ne se soucie pas de la distinction des différentes choses dans un groupe lors du calcul du nombre de choses dans un groupe. Pourquoi en mathématiques nous avons fait ce type de définition inhabituelle du terme non. des choses .
• Monsieur, jai édité ma question pour être plus directe. Pourriez-vous au moins expliquer ce que nous entendons par Nombre de choses .

« Nombre de choses » en anglais général: Il ny a pas assez dinformations dans le terme seul pour donner une réponse.

Le problème est le terme « choses ». En anglais général, cela renvoie à certaines arrangement déjà défini, par exemple le nombre darticles de la même couleur ou le nombre dœufs dans une boîte, ou le nombre de chiffres « 3 » quil y a dans un numéro de téléphone.

Sans cela, la signification de « nombre des choses « est multiple – cest le nombre dobjets dans un conteneur de nimporte quel type / taille, classés par nimporte quelle méthode que vous voulez imaginer.

Commentaires

• Supposons quun groupe {A, A, A} soit là. Je demande combien de lettres ce groupe contient ? Quelle devrait être la réponse.
• Veuillez vous référer à Types et jetons
• @MauroALLEGRANZA le lien que vous avez donné est assez intéressant. Ils semblent impliquer que  » Type  » =  » Objet abstrait  » et  » Jeton  » =  » Béton « . Dans le livre Me.Fine at the outsaet dit:  » Nous disons de certaines choses distinctes qu’elles forment un groupe  »  » Thing  » =  » béton  » =  » Jeton  » ai-je raison?
• @Mauro, désolé mais vous lavez à lenvers. Le mot  » chose  » ne dérive pas sa signification ‘ de  » Type / Philosophie du jeton « . La définition de google.com/search?q=definition+thing inclut  » une entité ou un concept abstrait: ‘ le deuil et la dépression ne sont pas la même chose ‘. synonymes: caractéristique, qualité, attribut, propriété, trait, caractéristique, point, aspect, facette, bizarrerie …
• @Mauro, aussi,  » un fini la collection  » nimplique pas de choses concrètes. Voici quelques collections finies de choses / éléments abstraits: {1,2,3,4,5}, {love, war, peace}. Plus que probablement, il a évité les ensembles infinis car ils étaient très controversés à lépoque: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Je vous suggère de comparer la définition de lamende avec la suivante discussion, de RL Goodstein, Théorie des nombres récursifs (1957) :

La question « Quelle est la nature dune entité mathématique? » est une question qui intéresse les penseurs depuis plus de deux mille ans et qui sest avérée très difficile à répondre. Même la première de ces entités, la nombre, a le caractère insaisissable dune volonté du feu lorsque wc essaie de le définir.

Lune des sources de la difficulté à dire ce que sont les nombres est quil ny a rien sur lequel nous pouvons pointer dans le monde qui nous entoure lorsque nous cherchons une définition du nombre. Le nombre sept, par exemple, nest pas une collection particulière de sept objets, car si cétait le cas, aucune autre collection ne pourrait être considérée comme ayant sept membres; car si nous identifions la propriété dêtre sept à la propriété dêtre une collection particulière, alors être sept est une propriété quaucune autre collection ne peut avoir. Une tentative plus raisonnable pour définir le nombre sept serait de dire que la propriété dêtre sept est la propriété que toutes les collections de sept objets ont en commun. La difficulté de cette définition, cependant, est de dire exactement ce que toutes les collections de sept objets ont vraiment en commun (même si nous prétendons pouvoir un jour connaître toutes les collections de sept objets). Certes le numéro dune collection nen est pas une propriété dans le sens que la couleur dune porte est une propriété de la porte, car on peut changer la couleur dune porte mais on ne peut pas changer le numéro dune collection sans changer la collection lui-même. Il est parfaitement logique de dire quune porte qui était autrefois rouge, et qui est maintenant verte, est la même porte, mais il est absurde de dire dune collection de sept perles quil sagit de la même collection quune collection de huit perles. Si le numéro dune collection est une propriété dune collection alors cest une propriété déterminante de la collection, une caractéristique essentielle.

Ceci, cependant, ne nous rapproche pas dune réponse à notre question « Quest-ce que toutes les collections de sept objets ont en commun? » Une bonne manière davancer sur une question de ce genre est de se demander « Comment savons-nous quune collection compte sept membres? » car la réponse à cette question doit certainement mettre en lumière quelque chose que les collections de sept objets ont en commun. Une réponse évidente est que nous découvrons le numéro dune collection en comptant la collection mais cette réponse ne semble pas nous aider car, lorsque nous comptons une collection, nous semblons faire plus que « étiqueter » chaque membre de la collection avec un numéro. (Pensez à une ligne de soldats numérotés.) Il ne fournit clairement pas de définition du nombre pour dire que le nombre est une propriété dune collection qui se trouve en attribuant des numéros aux membres de la collection.

Marquer chaque membre dune collection avec un nombre, comme on semble le faire en comptage, cest en effet mettre en place une correspondance entre les membres de deux collections, les objets à compter et les nombres naturels . En comptant, par exemple, une collection de sept objets, nous établissons une correspondance entre les objets comptés et les nombres de un à sept. Chaque objet se voit attribuer un numéro unique et chaque numéro (de un à sept) est attribué à un objet de la collection. Si nous disons que deux collections sont similaires lorsque chacune a un associé unique dans lautre, alors le comptage dune collection peut être considéré comme déterminant une collection de nombres similaire à la collection comptée.

La faiblesse de la définition réside dans cette notion de correspondance. Comment savoir si deux éléments correspondent?Les tasses et soucoupes dune collection de tasses placées dans leurs soucoupes ont une correspondance évidente, mais quelle est la correspondance entre, disons, les planètes et les Muses? Il ne sert à rien de dire que même sil ny a pas de correspondance patente entre les planètes et les Muses, nous pouvons facilement en établir une, car comment le savons-nous et, ce qui est plus important, quelle sorte de correspondance autorisons-nous? En définissant le nombre en termes de similitude, nous avons simplement remplacé le concept insaisissable de nombre par le concept également insaisissable de correspondance.

Certains mathématiciens ont tenté déchapper à la difficulté de définir des nombres, en identifiant les nombres avec des chiffres. Le numéro un est identifié par le chiffre 1, le numéro deux par le chiffre 11, le numéro trois par 111, et ainsi de suite. Mais cette tentative échoue dès que lon saperçoit que les propriétés des nombres ne sont pas les propriétés des nombres. Les chiffres peuvent être bleus ou rouges, imprimés ou manuscrits, perdus et trouvés, mais cela na aucun sens dattribuer ces propriétés à des nombres et, inversement, les nombres peuvent être pairs ou impairs, premiers ou composites, mais ce ne sont pas des propriétés de chiffres.

Lantithèse de « nombre » et « numéral » est celle qui est courante dans le langage, et peut-être son exemple le plus familier se trouve dans la paire de termes « proposition » et « phrase ». La phrase est une représentation physique de la proposition, mais ne peut pas être identifiée avec la proposition car différentes phrases (dans différentes langues, par exemple) peuvent exprimer la même proposition. [voir types et jetons ]

Le jeu déchecs, comme on la souvent observé, offre un excellent parallèle avec les mathématiques (ou, dailleurs, avec le langage lui-même). Aux chiffres correspondent les pièces déchecs, et aux opérations darithmétique, les coups du jeu.

Nous trouvons enfin ici la réponse au problème de la nature des nombres. Nous voyons dabord que pour comprendre la signification des nombres, nous devons nous tourner vers le «jeu» auquel jouent les nombres, cest-à-dire larithmétique. Les nombres, un, deux, trois, et ainsi de suite, sont des caractères dans le jeu de larithmétique, les pièces qui jouent ces caractères sont les chiffres et ce qui fait dun signe le chiffre dun nombre particulier est la partie quil joue, ou comme on peut dire sous une forme de mots plus adaptée au contexte, ce qui constitue un signe le signe dun nombre particulier, ce sont les règles de transformation du signe. Il sensuit donc que lobjet de notre étude est PAS LE NUMÉRO LUI-MÊME MAIS LES RÈGLES DE TRANSFORMATION DES SIGNES NUMÉRIQUES .

Intersets, mais discutables …

Plus de 60 ans auparavant, Frege avait déjà critiqué ce point de vue; voir Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), nouvelle traduction en anglais de Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, page xiii:

[il existe une] tendance généralisée à naccepter que ce qui peut être ressenti comme étant. […] Or, les objets de larithmétique, les nombres, sont imperceptibles; comment accepter cela? Très simple! Déclarez que les signes numériques sont des nombres. […] À loccasion, il semble que les signes numériques soient considérés comme des pièces déchecs et les soi-disant définitions comme des règles du jeu. Dans ce cas, le signe ne désigne rien, mais est plutôt la chose elle-même. Un petit détail est bien entendu négligé dans tout cela; à savoir quune pensée est exprimée au moyen de « 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 », alors quune configuration de pièces déchecs ne dit rien.

Commentaires

• Je me souviens de lexcitation que jai ressentie la première fois que jai lu lintroduction de Goodstein ‘. Il ‘ nest pas Frege, mais cest ‘ que cest génial dobtenir une déclaration claire dune vue, de sorte que si lon nest pas daccord, on peut dire exactement avec quoi.

Afin de clarifier la définition de Fine « de  » nombre dobjets « , qui est assez différent du  » moderne  » approche théorique des ensembles, je pense quil peut être utile de la renvoyer à la tradition philosophique de lempricisme britannique du XIXe siècle.

En particulier, le philosophe John Stuart Mill a consacré une partie de son travail A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) à la discussion des fondements de larithmétique.

Voici quelques passages qui – je lespère – peuvent clarifier la définition de Fine:

Trois cailloux dans deux parcelles séparées, et trois cailloux dans une parcelle, ne font pas la même impression sur nos sens, – et laffirmation que les mêmes cailloux peuvent, par une modification de lieu et darrangement, être amenés à produire lun ou lautre ensemble de sensations, bien quun très proposition familière, nest pas identique. […]

Les vérités fondamentales de cette science [la science des nombres] reposent toutes sur lévidence du sens, – elles sont prouvées en montrant à nos yeux et nos doigts que nimporte quel nombre dobjets, dix boules, par exemple, peuvent, par séparation et réarrangement, présenter à nos sens tous les différents ensembles de nombres dont la somme est égale à dix. ( CW VII, 256-57)

Ainsi, quand on dit que le cube de 12 est 1782, ce que lon affirme est ceci: que si, ayant un nombre suffisant de cailloux ou de tout autre objet, on les met ensemble en e e type particulier de colis ou de granulats appelés douze; et les rassembler eux-mêmes en collections semblables, – et, enfin, constituer douze de ces plus grandes parcelles: lagrégat ainsi formé sera celui que nous appelons 1728; à savoir, ce qui (pour prendre le plus familier de ses modes de formation) peut être fait en joignant la parcelle appelée mille cailloux, la parcelle appelée sept cents cailloux, la parcelle appelée vingt cailloux et la parcelle appelée huit cailloux. ( CW VII: 611-12)

Mill « approche naturaliste des fondements de larithmétique est basée sur les processus  » basiques  » de jonction et de séparation qui donnent naissance et décomposent  » regroupe  » des objets physiques.

La vision empiriste de Mill a été vivement critiquée par Gottlob Frege dans son élément fondamental Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

Pour une exposition de la philosophie des mathématiques de Mill, voir Philip Kitcher, Mill, les mathématiques et la tradition naturaliste , dans John Skorupski (éditeur), The Cambridge Companion to Mill (1998), page 57-on.

Commentaires

• Monsieur, merci pour cette autre réponse très utile . Il me faudra du temps pour lire autant de textes connexes (je suis actuellement à la recherche des livres que vous et dautres avez mentionnés plus tôt). Existe-t-il un livre définitif entièrement consacré à l histoire de larithmétique ? Un livre qui pourrait expliquer les choses à partir de lhistoire et ensuite passer enfin pour expliquer comment larithmétique moderne sest établie. Un livre qui expliquerait toutes les choses liées, cest-à-dire qui, comment, quand, pourquoi de larithmétique. Dans un mois, je poserai deux questions très philosophiques (et techniques) sur l’arithmétique. Dois-je vous pinguer.
• À propos de l’histoire de  » moderne  » philosophie de larithmétique , à partir de Kant (mais JSMill nest pas discuté), vous pouvez voir Michael Potter, Raison ‘ s Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap (2002).

Dans le livre, le « nombre de choses » est effectivement distinct de leur représentation. Supposons que vous souhaitiez inviter des invités à une fête. Quel est le nombre dinvités-choses que vous invitez?

Si vous invitez 5 amis, nous les appellerons John, Fred, Mary, Jill et Barney. Il y a 5 amis invités- les choses que vous invitez à la fête.

Mais maintenant, que se passe-t-il si la fête est un bal masqué, et quelles « sont toutes déguisées. John est habillé en fantôme, Fred en gobelin, Mary en sorcière, Jill en citrouille et Barney en dinosaure. Ce nest pas parce quils sont maintenant des fantômes, des gobelins, des sorcières, des citrouilles et des dinosaures que vous avez invité à la fête. Leurs caractéristiques ont changé – ils ne ressemblent plus à vos amis, ils ont lair comme leurs déguisements.

Et si les 5 dentre eux venaient tous habillés comme des fantômes indiscernables. Cela signifie-t-il que nous disons quun seul fantôme est venu à votre fête? Non, car ils peuvent encore être distingués par leur espace localité, heure darrivée, taille, poids, couleur de la feuille, etc.

Et sils portaient exactement le même costume et que vous nen voyiez jamais plus dun à la fois – de sorte quil ny avait pas de caractéristiques déterminantes en séparant un Vous nêtes peut-être pas sûr du nombre dobjets invités-amis que vous aviez à votre fête. Cette transformation a détruit la distinction qui les séparait auparavant, ce nest donc pas une transformation valide pour énumérer le nombre de choses.

Lidée de « nombre de choses » par rapport à vos invitations est spécifiquement la propriété du groupe de telle sorte que tout changement (relâcher, renuméroter, réorganiser, mais PAS dupliquer, éliminer , ou sous-ensembles de comptage) qui préservent la distinction des éléments maintient cette propriété. Il ne sagit pas de savoir si la valeur de cette propriété est ou non de 1, 5 ou dun million de milliards, mais seulement que le « nombre de choses » est une valeur finie qui conserve cette propriété.

En ce qui concerne pour un anglais simple, le nombre de choses est juste … le nombre déléments dintérêt. Cela ne devient pas plus simple que cela, et comme cest un concept si simple, il est très difficile décrire une définition précise qui ne cause pas de problèmes dans déventuelles expressions familières.

Cette question (et de nombreuses réponses, dailleurs) néglige le but de la théorie mathématique, qui est de traiter les axiomes comme quelque chose de donné. Nous supposons que nous avons une notion de (par exemple) de distinction, puis explorons les conséquences davoir cette notion.

En dautres termes, il est impossible de se poser la question « Combien déléments y a-t-il dans lensemble $ \ { A, A, B \} $? « Sans donner dabord des axiomes sur $ A $ et $ B $. Selon la syntaxe mathématique standard, nous ne devrions vraiment poser cette question quaprès avoir réétiqueté en $ \ {A, A », B \} $ pour éviter toute confusion, mais cest une question de communication et de praticité, pas de dogme et certainement pas une sorte de vérité sur les ensembles.

Les mathématiques, selon les mots de Roberto Unger, sont une « exploration visionnairedun simulacre du monde « . Si vous nêtes pas daccord avec la vision de quelquun dautre, cest parfaitement normal. Mais si vous pensez avoir un problème avec les mathématiques elles-mêmes, il y a de fortes chances que vous génériez vos propres contradictions en abusant du langage. Si vous êtes clair sur les propriétés que votre notion de distinction est censée avoir, alors la théorie des ensembles sapplique , il ne sagit que de savoir comment. Il ne sagit pas de prescrire une forme particulière de distinction, mais plutôt dexplorer les points communs entre toutes les formes de distinction.

Il semble que la réponse à votre question est étroitement liée à ce quest «une chose». Vous savez peut-être que, aussi abstraite soit-elle, elle a été posée à plusieurs reprises dans la communauté de la physique dans le contexte de la théorie quantique des champs et des fondements de la mécanique quantique (voir Paul Teller et Chris Isham, par exemple). Lune des conclusions est que le concept dune chose en tant quessence à laquelle «adhèrent» les propriétés doit être rejeté. Cest ce que Teller décrit comme le problème du « formalisme despace de Hilbert produit tensoriel marqué », car il est incompatible avec les comportements physiques réellement observés. Donc, si vous voulez une définition universelle du «nombre de choses», vous ne pouvez pas éviter ces considérations sur ce quest une chose et sur ce quest la distinction dun point de vue physique (à moins que vous ne vouliez une définition qui sapplique à un univers qui nest pas la nôtre).

Juste pour vous donner un exemple, disons que vous avez un photon dans votre main droite et un dans votre gauche. Vous pouvez les distinguer en vous référant à la main dans laquelle ils se trouvent. Ainsi, le « nombre de façons de les mettre dans votre poche » est de 2 (dabord celui de votre main gauche, puis celui de votre main droite ou linverse) . Cependant, une fois dans la poche, ils deviennent physiquement impossibles à distinguer et « le nombre de façons de les éliminer » est de 1 (en sort un, puis lautre).

Commentaires

• Dans lexemple de photons en poche que vous donnez, le ‘ re me semble être deux photons. Leur identité (gauche / droite) est perdue (lun, qui sait laquelle, est le premier, lautre le second). Il y a ‘ encore deux dentre eux, même si vous ‘ avez perdu un peu dinformations. Les données perdues appartiennent à la propriété  » de la propriété  » gauche / droite, qui nest pas ‘ une propriété des photons en général. Vous semblez dire que toutes les propriétés sont inutiles de la même manière, mais je ne peux ‘ t travailler si vous dites que cest un problème insurmontable pour un  » définition universelle du ‘ nombre de choses ‘ « . Ou est-ce que les choses sont dénombrables quand même?
• Oh oui, il y a toujours 2 photons autour. Je ‘ je parle de la conséquence de la perte didentité sur notre capacité à compter, et cest une conséquence de la nature de ‘ une chose ‘ comme un photon. Le comportement inverse se produit pour les fermions, qui doivent toujours être distingués et cela vous empêche den entasser trop au même endroit (ce qui est le principe dexclusion de Pauli).Donc, compter les choses (comme dans lexemple) en comptant les façons dont vous pouvez les réorganiser ne fonctionne pas ‘ toujours. Je ne ‘ ne sais pas sil sagit dun problème insurmontable, mais une définition universelle ne peut certainement pas lignorer.