Quest-ce quun phaseur exactement?

Pensez à une combinaison du plan complexe et des vecteurs ordinaires.

Un phaseur est un nombre complexe, représentant une fonction sinusoïdale dont lamplitude (A), la fréquence angulaire (ω) et la phase initiale (θ) est invariante dans le temps.

Image et texte de Phasors Wikipedia

Supposons que vous ayez un réseau composé de plusieurs sinusoïdes (ondes). Ils ont tous la même fréquence, mais avec des amplitudes et des phases différentes. La seule différence dans leurs représentations analytiques est lamplitude complexe (phaseur). Une combinaison linéaire de ces fonctions peut être prise en compte dans le produit dune combinaison linéaire de phaseurs (appelée arithmétique des phaseurs) et du facteur dépendant du temps / fréquence quils ont tous en commun.

Lorsque la fonction $ {\ displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}} $ est représenté dans le plan complexe, le vecteur formé par ses parties imaginaire et réelle tourne autour de lorigine. Son ampleur est $ A $, et il effectue un cycle toutes les $ 2π / ω $ secondes. $ θ $ est langle quil forme avec laxe réel à $ t = n • 2π / ω $, pour les valeurs entières de n.

Commentaires

• Juste pour clarifier, le phaseur est un nombre complexe et non un vecteur. Ainsi, toute quantité physique ne peut pas être phaseur mais peut être représentée comme un phaseur. (Nest-ce pas?)
• Mathématiquement, vous pouvez considérer les nombres complexes comme des vecteurs obéissant aux lois vectorielles daddition et de soustraction en considérant les parties réelles et imaginaires . En ce qui concerne la multiplication avec des nombres réels et les lois daddition / soustraction de vecteurs, les nombres complexes forment un espace vectoriel équivalent à lespace des vecteurs de translation dans le plan 2D réel

Tous les vecteurs suivent les lois daddition vectorielle et les lois de multiplication. Donc, si vous ajoutez deux phaseurs, ils sont ajoutés comme des vecteurs, mais si vous les multipliez, ils sont multipliés comme de simples nombres. Par conséquent, les phaseurs sont comme des vecteurs mais pas des vecteurs. Tout comme les vecteurs daire qui sont multipliés comme des vecteurs mais ajoutés comme des nombres.

Les phaseurs sont des quantités complexes utilisées pour représenter partiellement des quantités réelles qui varient de manière sinusoïdale dans le temps et peut-être dans lespace. Tous les phaseurs sont indépendants du temps. Ils représentent partiellement la quantité réelle, et pas complètement, car ils ne disposent pas dinformations sur la fréquence.

Dire que les phaseurs sont comme des vecteurs, cest dire que les nombres complexes sont comme des vecteurs, ce qui est faux . Tout dabord, les similitudes concernent uniquement les vecteurs bidimensionnels . Oui, laddition et la soustraction de deux vecteurs 2D sont analogues à laddition et à la soustraction de deux nombres complexes; et la multiplication dun vecteur 2D par un scalaire est analogue à la multiplication dun nombre complexe par un nombre réel.Mais, la division de deux vecteurs nest même pas définie, cependant la division de deux nombres complexes est définie; aussi, vous ne pouvez « t » multiplier que deux vecteurs 2D, vous devez spécifier sil sagit dun produit scalaire ou dun produit croisé, mais vous peut « simplement » multiplier deux nombres complexes.

Pour les circuits électriques, une tension de phaseur $ \ tilde V $ est une constante complexe, et elle représente lamplitude et la phase du signal, mais pas sa fréquence. Le signal $ v (t) $ est une fonction à valeur réelle dune variable réelle (une temporelle, $ t $ ), et il représente la valeur instantanée réelle du signal. Le sinor $ v_c (t) $ est une fonction à valeur complexe dune variable réelle (une temporelle, $ t $ ), et il représente la valeur instantanée complexe du signal. Quelques relations:

$ v (t) = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} = \ Re [\ tilde V e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V = V_m e ^ { j \ phi} = V_m \ cos {(\ phi)} + j V_m \ sin {(\ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j (\ omega t + \ phi) } = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} + j V_m \ sin {(\ omega t + \ phi)} \ tag * {} $

Remarque: $ v (t) = \ Re [\ tilde V] $ uniquement lorsque $ \ omega t = \ ldots, -4 \ pi, -2 \ pi, 0, 2 \ pi, 4 \ pi, \ ldots $ ; en dautres termes, uniquement lorsque $ \ omega t = 2 \ pi k $ , où $ k $ est tout entier.

Pour les longues lignes de transmission (circuits électriques avec des paramètres distribués plutôt que concentrés), une tension de phaseur $ \ tilde V (x) $ est une fonction à valeur complexe dune variable réelle (une spatiale, $ x $ ). Le signal $ v (x, t) $ est une fonction à valeur réelle de deux variables réelles (une spatiale, $ x $ ; et un temporel, $ t $ ), et il représente la valeur instantanée réelle. Le sinor $ v_c (x, t) $ est une fonction à valeur complexe de deux variables réelles (une spatiale, $ x $ ; et un temporel, $ t $ ), et il représente la valeur instantanée complexe. Quelques relations:

$ v (x, t) = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} = \ Re [\ tilde V (x) e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (x, t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V (x) = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ beta x + \ phi)} = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (x, t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ omega t + \ beta x + \ phi)} = V_m e ^ { ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

Pour la théorie électromagnétique générale, les phaseurs sont des fonctions à valeurs complexes de trois variables réelles (trois spatiales, $ x $ , $ y $ , $ z $ ). Pour le vecteur de champ électrique instantané, $ \ mathbf E (x, y, z, t) $ , son phaseur est $ \ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) $ , et la relation $ \ mathbf E (x, y, z, t) = \ Re [\ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) e ^ {j \ omega t}] $ est satisfait.