Quest-ce quune intégrale de chemin? [fermé]

Mathématiquement, une intégrale de chemin est une généralisation dun multi-dimensionnel intégral. Dans les intégrales $ N $ -dimensionnelles habituelles, on intègre $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ sur un sous-espace de $ {\ mathbb R} ^ N $, une intégrale de $ N $ -dimensionnelle. Une intégrale de chemin est une intégrale de dimension infinie $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ sur toutes les fonctions possibles $ f (y) $ dune variable $ y $, qui peut être un nombre réel ou un vecteur. Les valeurs des fonctions $ f (0) $, $ f (0,1) $, $ f (0,2) $ etc. jouent le même rôle que les variables $ x_1 $, $ x_2 $ etc. dans lintégrale multidimensionnelle habituelle .

Puisque lindex $ i $ de $ x_i $ prenait des valeurs dans lensemble fini $ 1,2, \ dots N $, et maintenant il est remplacé par la variable continue $ y $, lintégrale de chemin est une intégrale de dimension infinie.

Les mathématiciens rigoureux voient beaucoup de problèmes qui empêchent de définir lintégrale de chemin de dimension infinie en utilisant la théorie des mesures. Mais les physiciens savent que des intégrales similaires peuvent être traitées. Il y a quelques «divergences ultraviolettes», etc. que lon éprouve en essayant de les calculer, mais elles peuvent être traitées. En substance, on veut utiliser toutes les règles naturelles qui sappliquent aux intégrales de dimension finie. Par exemple, les intégrales (de chemin) dune somme de deux fonctions est la somme de deux intégrales de (chemin), et ainsi de suite.

Deux applications les plus importantes des intégrales de chemin en physique sont dans lapproche de Feynman à la mécanique quantique, en particulier la théorie quantique des champs; et à la mécanique statistique.

En mécanique statistique (classique), on veut calculer la partition somme $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ sur toutes les configurations $ c $ du système physique. Mais comme les configurations sont souvent étiquetées par des fonctions entières $ f (y) $ – une infinité de valeurs à toutes les valeurs autorisées de largument $ y $ – la somme nest pas « t vraiment a » somme ». Ce nest même pas une intégrale de dimension finie. Cest une intégrale de chemin.

En mécanique quantique, les amplitudes de probabilité complexes, etc. sont calculées comme $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ ie comme lintégrale de chemin sur toutes les configurations des variables $ \ phi (y) $ etc. Lintégrande est une phase – un nombre dont la valeur absolue est un – et langle de phase dépend de laction classique évaluée à partir de lhistorique possible $ \ phi (y) $. Les états initial et final $ i, f $ sont incorporés en intégrant sur ces configurations dans les « temps intermédiaires » qui obéissent aux conditions aux limites appropriées.

Presque toute la théorie quantique des champs peut être exprimée comme un calcul de certaines intégrales de chemin. Donc, dans ce sens, apprendre « tout » sur une intégrale de chemin équivaut à apprendre la quasi-totalité de la mécanique quantique et de la théorie quantique des champs, ce qui peut nécessiter entre un semestre et 10 ans détudes intenses, en fonction de la profondeur que vous souhaitez atteindre. Cela ne peut sûrement pas être couvert par une seule réponse de taille autorisée sur ce serveur.

Le calcul des intégrales de chemin avec lintégrale gaussienne cest-à-dire $ \ exp ({\ rm bilinéaire}) $, peut-être avec polynôme préfacteurs dans les variables dintégration, est peut-être lexemple le plus important ou le plus « simple » dune intégrale de chemin non triviale dont nous avons réellement besoin en physique.

En mécanique quantique, lintégrale de chemin représente la formule finale explicite pour tout amplitude de probabilité. Lamplitude de toute transition de létat $ | i \ rangle $ à létat $ | f \ rangle $ peut être directement exprimée comme une intégrale de chemin, et la probabilité est la valeur absolue de lamplitude de probabilité au carré. Tout ce qui la mécanique quantique permet de calculer se résume à ces probabilités – donc lintégrale de chemin représente «tout» en mécanique quantique. (Ce paragraphe a été initialement publié comme un de mes commentaires, et lutilisateur qui a proposé cette modification avait une bonne raison de le faire.)

Commentaires

• +1, mais je ne ' t dire les valeurs des fonctions, $ f (0), f (1) $, et ainsi de suite jouent le rôle de $ x_1, x_2 $ etc. Puisque la fonction met en correspondance des fonctions entières avec des nombres, elle ' est un toute la fonction $ f $ qui remplace le rôle dune valeur de $ x_1, x_2, $ etc.
• Je ne ' comprendre, @JamalS, qui est une façon très diplomatique de dire que je pense que vous ' ne comprenez pas. 😉 Il ny a quune seule fonction entière $ f $ mais il y a beaucoup de variables $ x_1, x_2 $. La fonction contient encore plus dinformations (infiniment fois plus) que plusieurs nombres $ x_1, \ dots, x_N $. Dans votre dernière phrase, quelle est la conjonction entre $ x_1, x_2 $? Si ' s " ou ", alors il ' est faux car il faut spécifier toutes les valeurs de tous les $ x_i $ pour parler de lintégrande. Si ' s " et ", alors OK, mais vous essayez juste pour masquer le fait que le chemin dans. est un chemin multidimensionnel.
• Mon objection est seulement à lanalogie que vous énoncez entre le cas de dimension finie et lintégrale du chemin. La façon dont vous ' lavez écrit, vous ' dites les valeurs de la fonction $ f $ à différents points " jouent le même rôle que les variables $ x_1, x_2 $ etc. " Maintenant, je suis daccord, il y a ' s une seule fonction $ f $, et nous additionnons toutes les fonctions possibles. Donc mon point est, il ' est les différentes fonctions qui sont analogues à la somme sur différentes valeurs dune variable scalaire, $ x $. Je ne ' pas voir comment vous ' avez pu extrapoler Je pense que seules les fonctions fluides contribuent à partir de mon seul commentaire …
• Jai seulement écrit que $ \ int D \ phi (y) $ peut être défini comme la limite du continuum de lintégrale multidimensionnelle $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ dots $ pour 0,01 $ envoyé à zéro. Je ' ne pense pas qu’il puisse y avoir quoi que ce soit de controversé à propos de cette affirmation. Cest ' vraiment lessence de la réponse. Si vous dites seulement que " cest une intégrale sur toutes les valeurs dune fonction partout ", vous ne passez pas par un epsilon pour répondre la question posée par lOP et expliquant ce quest en réalité une " intégrale sur des fonctions ". Une intégrale, au sens de pré-intégrale de chemin, est toujours de dimension finie.
• Cher @TAbraham, elle représente la formule finale explicite pour toute amplitude de probabilité. Lamplitude de toute transition de létat " i " à létat " f " peut être directement exprimé comme une intégrale de chemin, et la probabilité est la valeur absolue de lamplitude de probabilité au carré. Tout ce que la mécanique quantique permet de calculer se résume à ces probabilités – donc lintégrale de chemin représente " tout " en mécanique quantique.