Pour commencer, cest un problème de devoir, assez long.
Une particule de masse égale à 208 fois la masse dun électron se déplace sur une orbite circulaire autour dun noyau de charge $ + 3e $. En supposant que le modèle de Bohr de latome est applicable à ce système,
- Dérivez une expression pour le rayon de $ n $ th orbite de Bohr.
- Trouvez la valeur de $ n $ dont le rayon est égal aux rayons de la première orbite de lhydrogène.
- Trouvez la longueur donde du rayonnement émis lorsque la particule en rotation saute de la troisième orbite à la première.
Maintenant, jai fait la première partie et jai trouvé la réponse correcte. Voici ce que jai fait.
Supposons que la masse de la particule en rotation est $ M $, sa vitesse est $ v $ et $ M = 208 m_ {e} $. La force électrostatique est la force centripète . Par conséquent
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
À partir du modèle de Bohr,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
où $ h $ est la constante de Planck. Par conséquent,
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
La quadrature,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Équation des deux équations qui contiennent $ v ^ 2 $ ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Après avoir résolu pour $ r $, nous obtenons quelque chose comme ceci,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Tout ce qui précède est correct. Le problème se situe dans les deuxième et troisième parties; quand je mets $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ je nobtiens PAS la réponse requise. Pour aborder la troisième partie, jai commencé avec léquation standard de Rydberg,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Jai branché chaque valeur, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; mais encore une fois, la réponse n’a pas été correcte.
La réponse à la deuxième partie est 25 $ (n = 25) $; et à la troisième est 55,2 picomètres.
Réponse
Pour répondre à la deuxième partie:
Nous savons que $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
La première partie a une erreur, car elle est
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implique & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Nous connaissons également le rayon de Bohr:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Nous pouvons donc écrire et annuler:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ donc & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ donc & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
La troisième partie:
La formule de Rydberg est donnée comme
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
avec le Constante de Rydberg $ \ mathcal {R} $ définie pour un photon émis par un électron. Nous supposerons que la masse du noyau est de 7 unités atomiques (trois protons + quatre neutrons). En tenant compte du fait que $ m_p \ approx 1836m_e $ , nous arrivons à
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Maintenant, la constante de Rydberg doit être modifiée pour inclure le masse de la particule:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Avec $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), je suis arrivé à $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Sans prendre en compte la masse réduite, cest à dire $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ je suis arrivé à $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Les deux valeurs sont raisonnablement proches de la solution donnée.
(Si la question portait vraiment sur le muon, le rapport de poids le plus précis est 206,77 et les longueurs donde correspondantes 55,1 pm et 56,0 pm.)