Cette question a déjà une réponse ici :
Commentaires
- Êtes-vous avez-vous des pensées à ce sujet vous-même? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ serait faux – considérez un $ X $ presque sûrement constant non nul
- Non monsieur. Je sais que Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 et E (XY) = E (X) E (Y) comme X, Y sont indépendants mais aucune idée de X ^ 2 et Y ^ 2 sont indépendants ou non.
- Si $ X $ et $ Y $ sont indépendants alors $ X ^ 2 $ et $ Y ^ 2 $ sont également indépendants et $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Cas général du produit ici: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (le produit de 2 est donné dans la question)
- Merci beaucoup Glen_b
Réponse
Vous pouvez suivre les commentaires dHenry pour arriver à la réponse. Cependant, une autre façon darriver à la réponse est dutiliser le fait que si $ X $ et $ Y $ sont indépendants, alors $ Y | X = Y $ et $ X | Y = X $ .
Par attentes itérées et expressions de variance
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Commentaires
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ peut être correct, mais il est étrangement non symétrique comme $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ serait. Jaurais pensé $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ serait plus naturel alors que $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ serait aussi vrai
- @Henry Eh bien, en utilisant $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, nous obtenons $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Ce ' est symétrique.