Comment puis-je calculer la variance de p dérivée dune distribution binomiale? Disons que je lance n pièces et que jobtiens k têtes. Je peux estimer p comme k / n, mais comment puis-je calculer la variance de cette estimation?
Cela mintéresse pour pouvoir contrôler la variance dans mes estimations de rapport lorsque je compare entre des points avec différents nombres dessais. Je suis plus sûr de lestimation de p lorsque n est plus grand, alors jaimerais être en mesure de modéliser la fiabilité de lestimation.
Merci davance!
exemple:
- 40/100. La MLE de p serait de 0,4, mais quelle est la variance de p?
- 4/10. La MLE serait toujours de 0,4, mais lestimation est moins fiable, il devrait donc y avoir plus de variance dans p.
Réponse
Si $ X $ est $ \ text {Binomial} (n, p) $ alors MLE de $ p $ est $ \ hat {p} = X / n $.
Une variable binomiale peut être considérée comme la somme de variables aléatoires $ n $ Bernoulli. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ où $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
afin que nous puissions calculer la variance de la MLE $ \ hat {p} $ comme
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Ainsi, vous pouvez voir que la variance du MLE diminue pour les gros $ n $, et aussi pour les $ p $ proches de 0 ou 1. En termes de $ p $ il est maximisé lorsque $ p = 0,5 $.
Pour certains intervalles de confiance, vous pouvez consulter Intervalles de confiance binomiale
Commentaires
- Je pense que le lien est similaire à ce que je ' recherche, mais je veux une valeur équivalente à la variance de p. Comment puis-je obtenir cela à partir de lintervalle de confiance?
- Jai modifié ma réponse originale pour répondre plus précisément à votre question.
- Comment gérez-vous le fait que la formule de la variance exige p mais vous avez seulement une estimation de p?
- Vous pourriez envisager dutiliser une transformée stabilisant la variance telle que $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ et alors vous obtenez que la variance de la variable transformée est $ \ tfrac {1} {4n} $