System med to legemer kan analyseres enklere ved hjelp av redusert masse, da problemet i utgangspunktet reduseres til en enkelt kropp. Den første tilnærmingen kan oppnås ved å anta at, m1 >> m2, slik som planeten som kretser rundt stjernen, fordi tyngdepunktet faller sammen med m1. Dermed kan vi anta at den tunge kroppen er i ro og lettere beveger seg rundt den.
Derivasjon: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {være en masse og posisjon for den massive kroppen og} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {den lettere.} $$
$$ \ text {Det antas at} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Kraften mellom massene (tyngdekraften) avhenger av forskjellen i posisjonsvektorer}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$
$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {er kraft på kropp 1 på grunn av kropp 2} $$ I vår tilnærming antar vi at den tunge massen er på hvile ved opprinnelsen. Dermed: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Og bevegelsesligning blir: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ som kan løses for å oppnå posisjon.
For å oppnå «ekte» bevegelse viser det seg at vår tilnærming kan gjøres nøyaktig ved å vurdere massesenter (CM). (som er en masse vektet gjennomsnitt av posisjonene til to masser i dette tilfellet) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Vi vil antall anrop} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {redusert masse} $$ $$ \ text {Dermed}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Det kan enkelt vises at netto ekstern kraft på systemet er lik total masse ganger akselerasjonen av massesenteret. Hvis du ikke er overbevist, har jeg skrevet før en slik avledning i denne POST
Siden det antas at ingen eksterne krefter er til stede (kraften tyngdekraften mellom massene «teller» som indre), massesenter beveger seg med konstant hastighet. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ innebærer \ frac {d \ vec r} {dt} = konst. $$ La CM tas som opprinnelse til et treghetskoordinatsystem. Dermed er posisjonen til de to massene gitt av: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ innebærer \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ innebærer \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Siden}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ tekst {vi får:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ innebærer \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ innebærer \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Derfor er bevegelsesligninger}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W som er vår ligning oppnådd tidligere i vår tilnærming med redusert masse. Merk at hvis m1 >> m2 redusert masse er nesten den samme som m2.
Dette bevegelsen til to kroppssystem består av dens CM og bevegelse rundt den. Bevegelsen rundt den kan beskrives i form av en enkelt, redusert masse som beveger seg rundt et fast senter.