Bekenstein på vei til elektron?

Du har funnet en forseggjort måte for å beregne $ 2 \ pi \ alpha / \ ln 2 \ ca 0,0661658 $. Her representerer $ \ alpha \ approx 1/137 $ den fine strukturkonstanten .

Poengene å merke seg er at:

A) Bekensteins begrensning definerer det maksimale antallet nats informasjon som kan være inneholdt i en sfærisk region som omkretsen av den regionen delt av den reduserte Compton-bølgelengden assosiert med den totale energien inneholdt i dette området,

og

B) er den klassiske elektronradien lik den fine strukturen konstant ganger den reduserte Compton-bølgelengden til elektron.

Vil du gjøre om beregningen din ved hjelp av elektronmassen og den reduserte Compton-bølgelengden til elektronet, vil du oppnå en verdi på $ 9,0647 $ bits. Du vil imidlertid oppnå nøyaktig samme verdi for et proton eller uansett hvilken annen elementær eller sammensatt partikkel du måtte velge. Jeg vil ikke legge noen fysisk betydning til disse resultatene.

Lagt til: Vi har foreløpig ikke en konsistent teori for kvantegravitasjon, og vi har ikke engang en ide om hva som ville være de grunnleggende gradene av frihet i en slik teori. Derfor løfter enhver uttalelse som svar på spørsmål som «hvor mange biter / netter av informasjon som kan knyttes til en elektronmasse» å føre til tull. Når det er sagt, virker det holografiske (Bekenstein-Hawking / svart hull) mer i stand til å gi rimelige ledere. Bruk av $ 4 \ pi $ ganger kvadratet av den reduserte Compton-bølgelengden til elektronet som areal i BH-bundet fører til et informasjonsinnhold på $ S / k = \ pi \ hbar c / G m ^ 2 $ nats. Her betegner $ m $ elektronmassen. Dette resultatet for «informasjonsinnholdet i et volum som er stort nok til å inneholde et elektron» er i hovedsak kvadratet av forholdet mellom Planck-massen og elektronmassen. At «så mange noter.

Kommentarer

• Jeg brukte den tredje ligningen i WP-artikkelen en.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound . Jeg forstår at ln 2 kommer fra nat / bit-konverteringen, men at ' allerede er der i WP, og kan ' t redegjøre for de to størrelsesordene mellom 9,06 bitene du beregnet og 0,066 bitene som WP-formelen gir. Når du sier " don ' t legg til noen fysisk betydning " sier du, kanskje på et mer høflig språk, det samme som @Jerry Schirmer sa, nemlig at båndet ikke er gyldig i denne skalaen?
• @StudentT – de to størrelsesordene kommer fra finstrukturkonstanten (forskjellen mellom å bruke den klassiske elektronradiusen og Compton-radiusen på bunnlinjen er: beregningen fører til en sirkulær resonnement voi d av fysikk.
• Kjære @Johannes, la meg stille spørsmålet på en ikke-sirkulær måte: gitt et fysisk system som passer inn i et elektron, og som ikke har mer masse / energi enn et elektron, hva er det maksimale antall skillbare tilstander den kan ha? Kanskje fysikk (ennå) ikke kan gi en grense. Jeg var opprinnelig interessert i et enklere spørsmål: gitt et system som tar nøyaktig 1 bit å karakterisere, hvor lite kan det være?Men så tenkte jeg at det ville være en god fornuftig sjekk å se på Bekenstein-formelen for noe eksisterende system, og fant det ganske overraskende utfallet som jeg la ut ovenfor.
• @StudentT – det ser ut til at du leter etter en estimat basert på BH-bundet. Har lagt ved litt tekst til svaret mitt ovenfor. Håper det hjelper.
• Kjære @Johannes, takk! Det hjelper selvfølgelig, men det legger også noe til min forvirring ved at svaret kommer ut som $ 2.587 \ cdot 10 ^ {45} $ bits, større enn hva wikipedia har for en sfære med en radius på 6,7 cm (se seksjonen " Den menneskelige hjerne " i no.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound). Dette er ikke å si at WP alltid er 100% nøyaktig, men i matematikkseksjonen som jeg ' er mer kjent med generelt sett mange kunnskapsrike mennesker ser på artikler og ikke ' t la opprørende ting gli forbi. Uansett, din innsats for å avklare dette er høyt verdsatt!

Man kan ikke ta slike resultater for alvorlig på skalaen som et elektron vil gjelde for. Spesielt vil den klassiske generelle relativistiske modellen, brukt naivt på et punktmasselektron, fortelle deg at elektronet har for stor ladning og vinkelmoment til å ha et svart hull horisont, og ville i stedet være den eksotiske typen objekt som kalles naken singularitet.

Kommentarer

• Før jeg stilte spørsmålet, sjekket jeg først ut Bekenstein ' sin forklaring på Scholarpedia. Hans metode for å utlede bundet er ved å slippe objektet (i dette tilfellet elektronet) i et svart hull. Det er ikke klart for en utenforstående som meg selv hvilken del av denne avledningen ikke for å ta på alvor.
• @StudentT: han ' s slipper den i et svart hull ' s horisont. Hvis du tar generell rel ativity for å være sant helt ned til et elektron ' s skala, det er ingen horisont, så ingen av Bekensteins ' ligninger gjør noe fornuft, siden de alle er basert på å krysse horisonten.
• Flott, takk! Gjelder den samme logikken for Hawking-stråling? Det ser ut til å være den samme skalaen: du ser på paropprettelse (antagelig at medlemmene i paret ikke er langt fra hverandre på kvanteskala) når det ene medlemmet er inne og det andre utenfor begivenhetshorisonten, en sfære hvis radius er målt på en kosmisk skala? Uansett er det opprinnelige spørsmålet lukket, og takk igjen.