Spørsmålet jeg har fått er:
Sølvatomer i et metallgitter fyller bare $ 88 \, \% $ av plassen ($ 12 \, \% $ er tom). Tettheten av sølv er $ 10,5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Forutsatt at sølvatomer er harde sfærer ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, når $ r $ er atomradius), hva er radiusen til et sølvatom? Gi svaret i enheter på $ 10 ^ {- 12} $ meter.
Atommassen på $ \ ce {Ag} $ er 107,8682.
Min løsning:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Så byttet jeg til $ 10 ^ {12} $ meter, resultatet var $ 4.953 \ times10 ^ {17 } $, og det er ikke riktig. Hva gjør jeg galt?
Kommentarer
- Jeg ' har lagt til informasjonen om atommassen på $ \ ce {Ag} $ i et forsøk på å avklare for deg og andre hvilken informasjon du ' trenger for å gjøre problemet.
- faktisk Ag krystalliserer seg i FCC og kulene fylles opp $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ ca. 0.74048 $$
Svar
Hvis du hadde tatt med enhetene i beregningen din, ville du ha lagt merke til hvorfor ligningen ikke er riktig.
Molmasse $ M $ er definert som $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ der $ m $ er masse og $ n $ er mengde stoff.
Siden Avogadro-konstanten $ N_ \ mathrm A $ er $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ der $ N $ er antall partikler, massen $ m $ til ett atom $ (N = 1) $ er $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Tetthet $ \ rho $ er definert som $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ der $ V $ er volum.
Således er volumet til en prøve $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Bruk av ligning $ \ text {(3)} $ , kan volumet $ V $ beregnes for et enkelt atom: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Forutsatt at en brøkdel av $ 88 \, \% $ av volumet $ V $ er fylt med en hard sfære, volumet $ V_ \ text {sphere} $ av sfæren er $$ \ begin {align} V_ \ text {sfære} & = 0,88 \ ganger V \ tag7 \\ [6pt] & = 0.88 \ ganger \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Siden volumet til en kule er $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ der $ r $ er sfærens radius, radiusen $ r $ er $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sfære}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10.5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$