Et utvalg av en tilfeldig prosess er gitt som:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
hvor $ w (t) $ er en hvit støyprosess med $ 0 $ gjennomsnitt og en effektspektral tetthet på $ \ frac {N_0} {2 } $ og $ f_0 $, $ A $ og $ B $ er konstanter. Finn autokorrelasjonsfunksjonen.
Her er mitt forsøk på en løsning:
La $ a = 2 \ pi f_0t $, og $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autokorrelasjon av} x (t) & = E \ venstre \ {x (t) x ( t + \ tau) \ høyre \} \\ & = E \ venstre \ {\ venstre (A \ cos (a) + Bw (t) \ høyre) \ venstre (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ høyre) \ høyre \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ høyre \} + E \ venstre \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ høyre \} + E \ venstre \ {AB \ cos (b) (wt) \ høyre \} \\ & \ quad + E \ venstre \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ høyre \} \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ høyre \} + E \ venstre \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ høyre \} \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ høyre \} + B ^ 2 \ venstre (R_w (\ tau) \ høyre) \\ & = E \ venstre \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ høyre \} + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ høyre) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Forventningsbetingelsene med støyen i dem alle er $ 0 $ (den siste er bare den automatiske korrelasjonen av hvit støy … derav forenklingen ovenfor. Ved hjelp av trigonometriske identiteter: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
vi har:
\ begin {align} \ text {Autokorrelasjon av} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ høyre \} + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ høyre) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ venstre \ {\ venstre (A ^ 2 \ høyre) \ frac 12 \ venstre [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ høyre] \ høyre \} + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ høyre] + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ høyre) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Vi har å gjøre med konstante termer, så forventningsperioden forsvinner og subbing i våre innledende forhold får vi: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ venstre [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ høyre] + B ^ 2 \ venstre (\ frac {N_0} {2} \ høyre) (\ delta (\ tau)) $$
Av en eller annen grunn kan jeg ikke la være å føle at jeg gjorde noe feil ved å beregne at autokorrelasjon … det skal være en funksjon av $ \ tau $, men har en $ t $ er der … Jeg vil veldig sette pris på det hvis noen kan peke meg i riktig retning, eller forklare hva jeg rotet til. Jeg vet ikke om det betyr noe, men i denne klassen har vi bare å gjøre med stasjonære prosesser med vid sans.
Kommentarer
- Med mindre du er sikker på at den tilfeldige prosessen $ x (t) $ er WSS, bør du ikke forvente at ACF-en skal være en funksjon av $ \ tau $ alene. Derfor virker det riktig her å inkludere tidsperioden $ t $. Men jeg tror at cosinusbetegnelsen inne i $ x (t) $ kan inneholde enten en tilfeldig amplitude eller en tilfeldig fase som du glemmer å skrive, så kan du ha en sjanse til å bli kvitt tidselementet $ t $ hvis du ønsker så mye så …
- Prosessen $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ er en syklostasjonær prosess (tilfredsstiller stasjonaritetskravene for de tidsforskyvningene som er multipler av $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) og ikke en WSS-prosess i det hele tatt. Merk for eksempel at selv middelfunksjonen $ E [x (t)] $ ikke er en konstant som den burde være for en WSS-prosess. Som @ Fat32 sier (+1), har du kanskje glemt å inkludere en tilfeldig fase $ \ Theta $ i $ x (t) $ -definisjonen (den nødvendige egenskapen for WS-stasjonæritet er at $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ som holder for $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ eller $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ for $ n = 0,1,2,3 $).
Svar
Jeg antar at du «har gjort nesten alt riktig, men har et problem med beregningen av forventningsverdien angående $ t $. Du bør beregne forventningsverdien til cosinusfunksjonen. Dessverre» forsvinner den ikke bare «som du skrev.
Ta en titt på Wikipedia-siden . Der kan du finne en annen, mer eksplisitt formel for den automatiske korrelasjonsfunksjonen til en funksjon $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Merk at jeg sammenlignet med Wikipedia-siden har tatt meg frihet til å bruke variabelen $ t $ i integrasjonen i stedet for $ u $, whi ch ville være den matematisk mer nøyaktige versjonen.)
Som du kan se fra denne ligningen, «integrerer du» avhengigheten av t, og du bør faktisk sitte igjen med en funksjon som er uavhengig av $ t $.
Merk at det også finnes en versjon som ikke går til uendelige tider, men som er begrenset til en periode $ T $. Kanskje er denne versjonen mer passende i ditt tilfelle.Det samme gjelder imidlertid for denne versjonen: $ t $ er integrert borte og bør ikke være en variabel i den resulterende formelen.
Kommentarer
- Du blander sammen to forskjellige forestillinger når du skriver » Som du kan se fra denne ligningen, integrerer du » bort » avhengigheten av $ t $, og du bør faktisk sitte igjen med en funksjon som er uavhengig av $ t $ »
- Du kan ta også formelen fra Wikipedia-siden uten $ t $ og skriv $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Det viktige her er i begge tilfeller at argumentet til funksjonen $ f $ er t og er integrert over – derfor har du ikke $ t $ i sluttresultatet lenger, men bare $ \ tau $.
- @Dilip Du kan også se her ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – dette er i utgangspunktet det første resultatet etter et enkelt google-søk. Der er på side 22-2 (side 3 i PDF) et eksempel på en autokorrelasjonsfunksjon, som ble beregnet av denne formelen og er uavhengig av $ t $. Du kan også finne matematisk ikke så lyd integralnotasjon på forrige side.
- Det er langt fra meg å stille spørsmål ved gyldigheten av en formel som du hevder kan bli funnet på Wikipedia eller blir undervist i et MIT online kurs, men det ser ut til at i \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} den andre integralen på den andre linjen (hvis integrand er en konstant wrt $ t $) divergerer med mindre $ \ tau $ tilfeldigvis har en verdi slik at $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Du har rett, denne integralen divergerer. Ikke engang den første integralen er meningsfull, siden den ikke konvergerer. Av denne grunn er det siste avsnitt i svaret mitt.