Bevaring av 4-momentum i spesiell relativitet

Jeg forstår at det indre produktet av to 4-vektorer er konservert under Lorentz-transformasjonene

Ja, $ p_1.p_2 $ er en Lorentz-invariant

Slik at den absolutte verdien av fire momentum er det samme i alle referanserammer.

It i s ikke riktig å snakke om «absolutt verdi» av en (quadri) vektor. Som er bevart i en Lorentz-transformasjon er $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Dette er hva jeg (mest sannsynlig feilaktig) trodde man ment med bevaring av momentum.

Nei, bevaring av momentum er en helt annen ting. Til slutt har du noen teorier som beskriver felt og interaksjoner, og som beskrives av en handling som er uforanderlig av noen symmetrier. Hvis handlingen er uforanderlig av rom- og tidsoversettelser, er det en bevart mengde som er momentum / energi.

Jeg forstår ikke hvorfor ligninger som P 1 = P 2 + P 3 (P i er 4-momentumvektorer for forskjellige partikler i en kollisjon for eksempel) skal holde seg innenfor en referanseramme. Jeg har blitt fortalt at du ikke bare kan legge til fire hastigheter sammen ved kollisjon av partikler, så hvorfor skulle du kunne gjøre dette med momentumvektorene?

Hvis teorihandlingen er uforanderlig av rom / tid-oversettelser, blir momentet / energien konservert, så det totale momentet / energien til de opprinnelige partiklene er den samme som den totale momentum / energi til sluttpartiklene:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Hvis det er flere innledende partikler, blir de ansett som uavhengige (den globale staten er tensorproduktet fra tilstandene til de opprinnelige partiklene). Uavhengigheten betyr at du ha:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ der summen er abou t alle de opprinnelige partiklene. En lignende ligning holder for de endelige partiklene.

Hvis du legger til to hastigheter i spesiell relativitet, må du bruke formelen

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Så du kan ikke bare legge til to hastigheter sammen. Vanligvis er hastighet ikke en god variabel å jobbe med i spesiell relativitet. Det er mye lettere å bruke bevaring av fire momentum, som ganske enkelt er gitt av

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

for en partikkelkollisjon der to partikler med $ p_1 $ og $ p_2 $ kolliderer og holder seg sammen og har momentum $ p $. Siden firemomentet er gitt av

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

bevaring av fire momentum er ikke noe annet enn bevaring av energi $ E $ og bevaring av tre momentum $ \ vec {p} $.

For å svare på spørsmålene dine:

Hvorfor kan vi legger til fire momentum i en partikkelkollisjon? Fordi energi- og momentumbevaring også holder i relativitet.

Hvorfor kan «t legger vi til fire hastigheter i en partikkelkollisjon? Fordi det ikke er noe som heter «hastighetsbevaring», verken klassisk eller i relativitet.

Kommentarer

• Dette svaret var flott. Jeg har et klargjørende spørsmål – vil $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ være uforanderlig, og dermed $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Du kan bare bekrefte hver komponent, og de er bare bevaring av momentum i 3-momentum. Det er ingen bevaring av hastighet, så du kan ikke legge dem sammen.