Bevis på svakere Baker-Campbell-Hausdorff Formula [duplikat]

Først antar jeg endelige dimensjonale operatorer: ellers må du sjekke visse begrensningsforhold på operatørene. Fordi CBH-serien her er avkortet av de forsvinnende doble kommutatorene, vil forholdene for lineære operatører på f.eks $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ være milde.

Du må øve på operasjoner med $ \ mathrm {Ad} $. Slå opp følgende. I Lie-gruppen $ \ mathfrak {G} $ med algebra $ \ mathfrak {g} $ tangensvektoren til banen:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

ved identiteten er $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Her er $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ til GL (\ mathfrak {g}) $ Tilstøtende representasjon . Det er en Lie-gruppe homomorfisme fra den generelle Lie-gruppen $ \ mathfrak {G} $ til matrisen Lie-gruppen $ GL (\ mathfrak {g}) $. Kjernen er sentrum for $ \ mathfrak {G} $. Siden det er en homomorfisme, har vi $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. En annen nyttig identitet er:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

og denne serien er universelt konvergent hvis operatøren $ B \ mapsto [A, \, B] $ er passende avgrenset ( f.eks $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ for noen $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – dette er absolutt sant i endelige dimensjoner).

Nå, ved (1) og homomorfismegenskapen ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), kan du finne det:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Alt ovenfor er helt generelt. Du må spesialisere den i den avkortede saken. Så bruk den universelt konvergerende (og her avkortet til to termer) serie (2) for å utvide $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ og trunker det for ditt spesielle tilfelle, og jeg synes du burde gjøre noe fremover.

En pedantisk peeve: selv om begge ordrene for navnet er ganske vanlig, er rekkefølgen som gjenspeiler den historiske forrang «Campbell-Baker-Hausdorff» da hver av forfatterne ga sine bidrag i 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) og 1906 (Hausdorff ), henholdsvis. Hver var klar over forløpernes «arbeid, men, som det fremgår av Fascicule 16 Ch 1 of Bourbaki (1960),» fant hver demonstrasjonene til sine forløpere ikke overbevisende (!) «. Denne uttalelsen får meg til å fnise og gir litt trøst at jeg «Jeg er ikke den eneste med omtrent 5% forståelsesgrad i å lese teknisk litteratur (jeg regner med at jeg trenger å lese et papir omtrent 20 ganger for å» få «det). Et morsomt faktum er at ingen av disse tre faktisk utarbeidet serien. I stedet etablerte de teoremet om at serien var konvergent innen noen nabolag på $ \ mathbf {0} $ i Lie-algebraen og kun omfatter lineære og Lie-parentesoperasjoner. Selve formelen skyldes Dynkin og ble fullstendig utarbeidet i 1947!

Kommentarer

• tusen takk for svaret! Jeg ' Jeg vil gjøre mitt beste for å studere svaret ditt, til tross for min lille innledende kunnskap om løgnegrupper og algebraer.
• @quarkleptonboson I ' har lagt til et nytt trinn i ligning (3) for å hjelpe deg.Bare tenk på alle operatørene som kvadratiske $ N \ ganger N $ -matriser, og alle Lie-parenteser og multiplikasjoner blir da konkrete matrisemultiplikasjoner. (2) er alltid en bokstavelig matrisekraftserie, siden gruppen av inverterbare lineære transformasjoner på $ \ mathfrak {g} $ alltid er en matrisegruppe.