Representasjonen for modellen AR (1) er følgende:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
der $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ er en konstant).
Jeg vil forstå beregningene der står bak den generelle formelen for autokovariansen til AR (1), som er $ γ (h) = \ operatorname {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Så langt gjorde jeg følgende trinn – Jeg startet med $ γ (1) $ :
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Som du kan se, fra dette punktet kan jeg ikke fortsette fordi jeg ikke vet hvilke verdier av $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ og $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Enhver hjelp vil bli satt stor pris på. Takk på forhånd.
Svar
La oss skrive $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
siden $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (dvs. tidligere utdata er uavhengig av fremtidig input).
Tilsvarende $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Hvis vi fortsetter på denne måten, får vi $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , der $ h \ geq0 $ . Generalisering for negative $ h $ gir $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , der $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS all denne analysen antar at $ \ epsilon_t $ er WSS, derfor er $ y_t $ fra LTI-filteregenskap.
Kommentarer
- det er en skrivefeil i første linje .. identitetstegn plassert feil.
- I første linje ville jeg erstatt det tredje » + » skiltet med » = » tegn: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Mens jeg prøvde å redigere skrivefeilen adressert av @Jesper, konverterte jeg det spesifikke = tegnet å + signere, og gjorde det mer feil :). Jeg ser at årsaken er på grunn av gjengivelse. Selv om rekkefølgen på tex-setninger er riktig, ble de vist i en annen rekkefølge. Uansett, jeg ‘ har brukt justeringsuttalelser og gjort det mye mer tydelig. Håper, det ‘ er ok.
- Er uttrykket for betinget auto-kovarians det samme? Det vil si, gjør $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ hold?
Svar
Starter fra det du har oppgitt:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Hvor $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Vi kan omskrive $ (1) $ as:
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Deretter,
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Hvis vi lar $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , så ligning $ (2) $ kan skrives som:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Varians
Variansen til $ (3) $ oppnås ved å kvadrere uttrykket og ta forventningene, som ender på:
\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Ta nå forventningen:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Henne e vil vi kalle:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ er variansen til den stasjonære prosessen.
- Det andre begrepet på høyre side av ligningen er null fordi $ \ tilde {y} _ {t-1} $ og $ \ epsilon_ {t} $ er uavhengige og begge har ingen forventninger.
- Den siste termen til høyre er variansen til innovasjonen, betegnet som $ \ sigma ^ {2} $ (merk at det ikke er noen abonnement for dette).
Til slutt,
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Hvis vi løser for variansen i prosessen, nemlig $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , vi har:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autovarians
Vi skal bruke det samme trikset som vi bruker for formelen $ (3) $ . Autokovariansen mellom observasjoner atskilt med $ h $ perioder er da:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Innovasjonene er ukorrelert med de tidligere verdiene i serien, deretter $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ og vi sitter igjen med:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
For $ h = 1, 2, \ ldots $ og med $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
For det spesielle tilfellet med $ AR (1) $ , ligning $ (5) $ blir:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
Og ved å bruke resultatet fra ligning $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ vi ender opp med
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Opprinnelig kilde: Andrés M. Alonso & Carolina García-Martos lysbilder. Tilgjengelig her: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf