For å diagonalisere kvadratisk term i antiferromagneten Heisenberg-modellen, kan vi introdusere Bogoliubov-transformasjonen: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dolk $, $ b_k ^ \ dolk = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dolk $. Denne transformasjonen kan diagonalisere det kvadratiske begrepet i Hamiltonian:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slutt {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begynn {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begynn {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slutt {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alfa _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ end {pmatrix} \ end {align}
med $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Men transformasjonen U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ er ikke enhetlig, fordi $ u_k, v_k $ er ekte, $ U ^ \ dolk \ neq U ^ {- 1} $.
Er antall bosoner ikke bevart , så transformasjonen er kanskje ikke enhetlig? Er det noen begrensning på transformasjonen av boson?
Kommentarer
- Det som betyr noe er at etter kommandoen fortsatt er standard kommutasjonsforhold.
- relatert: physics.stackexchange.com/q/53158
Svar
Du har rett, Bogoliubov-transformasjoner er ikke enhetlige generelt. Per definisjon,
Bogoliubov-transformasjoner er lineære transformasjoner av skapelses- / utslettingsoperatorer som bevarer de algebraiske relasjonene blant dem.
De algebraiske relasjonene er hovedsakelig kommuterings- / antikommutasjonsrelasjoner som definerer de bosoniske / fermioniske operatorene. Ingen steder i definisjonen spesifiserte vi at transformasjonen skulle være enhetlig. Bogoliubov-transformasjonen (i sin mest generiske form) er faktisk symplektisk for bosoner og ortogonal for fermioner . I ingen av tilfellene er Bogoliubov-transformasjonen enhetlig. Bogoliubov-transformasjonen av bosoner tilsvarer den lineære kanoniske transformasjonen av oscillatorer i klassisk mekanikk (fordi bosoner er kvanta av oscillatorer), og vi vet at de lineære kanoniske transformasjonene er symplektiske på grunn av den symplektiske strukturen til det klassiske fasarommet.
Så for å være mer spesifikk, hva er begrensningene for Bogoliubov-transformasjoner? La oss se på tilfellet med $ n $ enkeltpartikkelmodi for enten bosoner $ b_i $ eller fermioner $ f_i $ (hvor $ i = 1,2, \ cdots, n $ merker enkeltpartikkeltilstandene, for eksempel momentum egenstatus). Både $ b_i $ og $ f_i $ er ikke Hermitian-operatører, noe som ikke er veldig praktisk for en generell behandling (fordi vi ikke bare kan behandle $ b_i $ og $ b_i ^ \ dolk $ som det uavhengige grunnlaget, siden de fremdeles er i slekt med partikkelhullstransformasjonen). Derfor velger vi å omskrive operatørene som følgende lineære kombinasjoner (motivert av ideen om å spalte et komplekst tall i to reelle tall som $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ begynn {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dolk & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dolk & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ hvor $ a_i = a_i ^ \ dolk $ og $ c_i = c_i ^ \ dolk $ (for $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) er hermitiske operatorer (analogt med reelle tall).De må arve kommutasjons- eller antikommutasjonsforholdene fra de «komplekse» bosonene $ b_i $ og fermions $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dolk] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dolk, b_j ^ \ dolk] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dolk \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dolk, f_j ^ \ dolk \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ hvor $ g_ {ij} ^ a $ og $ g_ {ij} ^ c $ kalles noen ganger kvantemetrisk for henholdsvis bosoner og fermioner. I matriseformer er de gitt av $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrise} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ med $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ er $ n \ times n $ identitetsmatrise. Så å bevare de algebraiske relasjonene mellom etablerings- / utslettelsesoperatørene er å bevare kvantemetrikken . Generelle lineære transformasjoner av operatorene $ a_i $ og $ c_i $ har form av $$ a_i \ til \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ til \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ der transformasjonsmatriseelementene $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ må være reelle, for å sikre at operatørene $ a_i $ og $ c_i $ forblir Hermitian etter transformasjonen. For å bevare kvantemetrikken er det å kreve $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Så noen reell lineær transformasjon som tilfredsstiller ovennevnte betingelser er en Bogoliubov-transformasjon i den mest generelle forstand. Avhengig av egenskapen til kvantemetrikken, er Bogoliubov-transformasjonen enten symplektisk eller ortogonal. For den bosoniske kvantemetrikken er $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antisymmetrisk , så transformasjonen $ W ^ a $ er symplektisk . For den fermioniske kvantemetrikken er $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ symmetrisk , så transformasjonen $ W ^ c $ er ortogonal .
Kommentarer
- Kan noen anbefale en ressurs for å lære mer om denne formalismen, dvs. nedbrytningen av etablerings- / utslettingsoperatorene som » komplekse tall » og bevaring av kvantemetrikken?
Svar
Unitaritet i en kvantemekanisk transformasjon bestemmes ikke av hvordan den blander etablerings- og utslettingsoperatorer. (Det spiller ingen rolle hva slags matrise — ortogonal, symplektisk eller enhetlig — er involvert i blandingen!) Snarere en bør undersøke om transformasjonen er assosiert med en enhetsoperatør som virker på Hilbert-rommet.
Den siterte Bogoliubov-transformasjonen kan vises som følger ($ \ textbf {k} $ – avhengighet undertrykkes): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dolk}, \\ \ hat {b} ^ {\ dolk} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dolk} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dolk}, $$ hvor $ \ lambda $ er et reelt tall. Denne transformasjonen er enhetlig hvis og bare hvis det eksisterer en enhetsoperatør $ U $ slik at $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dolk} = U \ hatt {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Faktisk er disse forholdene oppfylt med følgende valg: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dolk} \ hat {a} ^ {\ dolk}) \ Big], $$ så transformasjonen er enhetlig.
Svar
La meg jobbe med denne delen av matriseligningen $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begynn {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slutt {pmatrix} $$ Den viktige delen er at transformasjonen av feltene kan sees så vel som en trans dannelse av matrisen $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dolk \ Gamma M, $$ hvor $ M ^ \ dolk ~ = ~ M $. Determinanten for dette er $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Determinanten på $ M $ gir deretter $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Disse kan da representeres av $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ og $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Evaluer nå kommutatoren $ [a_k, ~ a ^ \ dolk_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dolk_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dolk_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dolk_k]. $$ For kommuatorene $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $ og vi ser da $ [a_k, ~ a_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $. Det samme holder tydeligvis $ [b_k, ~ b_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $ Dette betyr at ethvert system med $ N \ hbar $ handlingsenheter er konstant. Det er ingen endring i systemets fasevolum. dette betyr da Bogoliubov-transformasjoner er effektivt enhetlige.
Kommentarer
- Så de generelle enhetstransformasjonene ‘ s definisjon er lengre $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ som vi lærer fra læreboka? Jeg forstår ikke ‘ ‘ Dette betyr at ethvert system med Nℏ handlingsenheter er konstant. Det er ingen endring i fasevolumvolumet til systemet ‘, vil du forklare det?
- Er det forresten noen begrensning på transformasjonen av boson system (Hamiltonian)?
- @ZJX Jeg forstår ikke ‘ hvorfor Lawrence sa at bosoniske Bogoliubov-transformasjoner er » effektivt enhetlig «. Jeg synes de skal være symplektiske generelt. Begrensningen kommer fra å bevare definisjonen av bosoniske operatorer (slik at bosoniske operatorer forblir bosoniske under transformasjonen). Det er ingen begrensninger fra det bosoniske systemet (Hamiltonian). Så lenge Hamilton er Hermitian, er det en legitim Hamilton. Enhver symplektisk transformasjon brukt på Hamilton er en legitim Bogoliubov-transformasjon.
Svar
Nei, det er enhetlig transformasjon, men bare når du vurderer Hamiltons «elektron & hull sammen.
Kommentarer
- Men her handler modellen om spinn, den ‘ er ikke fermionen, ikke sant?