Her vil vi vise at Box-Muller-metoden genererer et par uavhengige standard gaussiske tilfeldige variabler . Men jeg forstår ikke hvorfor vi bruker determinanten? For meg når du har to uavhengige variabler, er leddtetthetsfunksjonen bare produktet av to tetthetsfunksjonen. Noen kan forklare meg betydningen av determinanten her? >
Kommentarer
- Det er en " endring av variabler " involvert i å gå fra X til Y, og derfor har du for å multiplisere med jakoben av transformasjonen som er determinanten du ser ovenfor. Se for eksempel proposisjon 8 her math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, jeg forstår takk Alex for svaret.
Svar
La $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, Vi har
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ er jevnt definert på $ [0, 1] $, derfor $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Ja $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ la $ W = 2 \ pi X_2 $. Derfor blir $ X_2 $ jevnt fordelt på $ [0,1] $, så $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Siden $ X_1 $ og $ X_2 $ er uavhengige, $ Z $ og $ W $ skal være uavhengige. Vi har $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {and} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definer funksjon $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ slik at $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ dermed $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ med andre ord $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q «(q ^ {- 1} (y_1, y_2)) |} $$ vi kan enkelt vise $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ deretter $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Svar
Det kan sees at $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ og at $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Derfor $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ og $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Tar differensial for å få $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Tilsvarende $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Derfor Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
For PDF-filer, som $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
det gir $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $
som viser at $ Y_1, Y_2 $ er uavhengige gaussiske tilfeldige variabler.
Commen ts
- rekkevidde på $ X_1 $ skal være (0,1), men $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ er $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $