Coulomb ' s lov: hvorfor er $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplikat] (Norsk)

Definere symbolet $ k $ i Coulombs lov, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ å være $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, er helt tillatt når man forstår det bare som en definisjon av $ \ epsilon_0 $. Motivasjonen for denne definisjonen er at når du regner ut kreftene mellom to motsatt ladede plater med området $ A $ og tar $ Q $ en avstand $ d $ fra hverandre, kommer de ut som $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, hvor faktoren på $ 4 \ pi $ kommer fra en fornuftig anvendelse av Gauss «s lov.

Når du utvikler dette videre til en teori om kapasitans, finner du at det innebærer at spenningen mellom platene er $ V = Q / C $, hvor $ C = \ epsilon_0 A / d $. Videre, hvis du vil sette inn et dielektrikum mellom platene (som du ofte gjør), endres kapasitansen til $$ C = \ epsilon A / d $$ der $ \ epsilon $ er kjent som dielektrikums elektriske permittivitet. . $ \ epsilon_0 $ forstås da naturlig som «permittiviteten til ledig plass» (som selvfølgelig bare definerer hva vi mener med permittivitet).

Spørsmålet er da selvfølgelig hvorfor er dette «avledet «enhet, $ \ epsilon_0 $, behandlet som mer» grunnleggende «enn den opprinnelige $ k $? Svaret er at det ikke er siden de er likeverdige, men permittiviteten til ledig plass er langt lettere å måle (og absolutt var det på slutten av 1800-tallet og begynnelsen av 1900-tallet da elektrisk forskning var veldig rettet mot kretsbaserte teknologier), slik at den ble vinneren, og hvorfor har to symboler for like store mengder?

Enheten til den andre er definert er tidsvarigheten til et bestemt antall strålingsperioder som sendes ut fra en del icular type elektronovergang mellom energinivåer i en isotype av Cesium (se her ).

Det er en antagelse at lyset beveger seg på en konstant hastighet $ c $ uavhengig av referanserammen, så nå som vi har fikset en tidsenhet, kan vi definere en lengdeenhet: måleren er avstanden lyset beveger seg i $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Vi definerer også SI-strømmenheten (Ampere) slik at permeabiliteten til ledig plass får en ønsket verdi i SI-enheter ($ 4 \ pi \ ganger 10 ^ {- 7} $).

Vi kan da også definere $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ også som $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Nå, husk at du ikke trenger å fikse et enhetssystem for å gjøre dette (som jeg gjorde før). Siden ovennevnte er definisjoner , vil de holde i ethvert enhetssystem. For å se at disse definisjonene ikke ender med å være sirkulære, hjelper det å se at vi kan definere $ \ mu _0 $ og $ c $ når det gjelder rent fysiske fenomener. Med andre ord, for at definisjonene ovenfor til og med skulle gi mening, måtte vi vite at vi kunne definere $ c $ og $ \ mu _0 $ uavhengig av $ \ varepsilon _0 $ og $ k $ først. Ovennevnte definisjon av SI-enheter hjelper deg med å se at dette kan gjøres.

Kommentarer

• Alt dette endrer seg med det nye systemet til SI. Mens $ c $ er løst, er $ \ mu_0 $ og $ \ epsilon_0 $ ikke.

Hvis spørsmålet er hvorfor «$ 4 \ pi $» i Coulomb-konstanten (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), så kan et like gyldig spørsmål være hvorfor «4 $ \ pi $» i magnetisk permeabilitet av vakuum, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Kanskje en ledetråd kan bli funnet i Maxwells ligning for hastigheten til elektromagnetisk bølge (lys) i et vakuum, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Maxwell fikk selvfølgelig dette forholdet mye senere enn Coulomb.

Maxwell forteller den elektriske tillatelsen til magnetisk permeabilitet i vakuumet, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ som er gitt en verdi på $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ i SI-enheter.

«Årsaken» til «$ 4 \ pi $» som vises her og i Coulombs konstant (tro det eller ei) så at Maxwells ligninger kan skrives uten noen $ 4 \ pi $ «faktorer!

For å forstå dette, vurder hvordan elektrostatiske fenomener uttrykkes i Coulombs lov som» felt intensitet i en avstand i kvadrat «, sammenlignet med (tilsvarende) Gauss» -loven, som beskriver «strømmen gjennom en lukket overflate som omslutter ladningen».

Den totale strømmen er flytdensiteten multiplisert med overflatearealet , som for en sfære med radius $ r $ er gitt av $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, så forholdet $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ er ganske enkelt resultatet av geometri av rom og sfærisk symmetri.

SI-systemet med enheter (i motsetning til Gauss-enhetene) sies å være «rasjonalisert» fordi det tillater uttrykk for Maxwells ligninger uten $ 4 \ pi $ faktorene. For å gjøre dette har $ 4 \ pi $ -faktoren ganske enkelt blitt «innebygd» i (SI-enhet) definisjonen av den universelle konstanten for vakuumets permeabilitet, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, hvorfra vi kan uttrykke Coulombs konstant som k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.