Jeg ble presentert for en power point-lysbilde av en venn om matematikkopplæring, og en av lysbildene hans snakket om «de syv referansetallene». Han sa at:
De syv referansetallene for å utvikle en «komplett» tallsans er: $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ og $ 100 $. Disse tallene danner grunnlaget for læreplanen for matematikk i grunnskolen og videregående opplæring.
Dessverre, når jeg ble presset på for det, klarte ikke min venn å forklare hvorfor disse tall var «referanser». Vet noen hva han kan henvise til, eller enda bedre, vet noen hvor han får denne informasjonen fra?
Kommentarer
- Hvorfor gjorde ' t spør du ham om kilden? Merkelig, han ' s presenterer materiale han kan ' t forklare.
- For meg (og andre ) er et referansenummer nyttig å beregne. F.eks. Er 1/2 en god referanse og hjelper oss å forstå hvor 3/8 er på tallinjen i forhold til 1/2. Jeg ' er ikke sikker på hva 12 gjør der, skjønt. Og denne listen virker vilkårlig.
- De fleste av dem er ganske enkle å gjette motivasjonen for, men tallene alene er ikke tilstrekkelige til å utvikle noen slags " fullfør " tallsans. @ncr Det tilsynelatende vilkårlige tallet, 12, skyldes sannsynligvis det ikke-metriske systemet der man f.eks. har et dusin (12) eller – ikke lenge siden – en brutto (144). Pluss 12 inches i en fot, 12 timer i hver halvdel av dagen, og mange studenter i USA lærer multiplikasjonstabellen 12 med 12. Jeg kan ' ikke si noe annet definitivt om denne listen over " referansetall, " bortsett fra at jeg aldri har sett samlingen diskutert formelt.
- Han klarte ikke å gi meg kilden (noe som gjorde meg enda mer interessert i dette)
- Dette synes meg er veldig vilkårlig. Som matematiker ville jeg ikke gi noen spesiell betydning for disse tallene. Spesielt $ 12 $ ville ikke være viktig i mange deler av verden der metrisk system brukes. Det er noe vilkårlig å inkludere $ 100 $, men ikke si $ 1000 $. Hvorfor også inkludere $ 1/2 $, men ikke $ 2 $?
Svar
Et anstendig volum på elementær matematikk er Matematikk for grunnlærere (Beckmann, 2010). Boken er ment å bidra til å styrke lærernes kunnskap om matematikken bak ideene i elementære læreplaner (spesielt reformplaner, tror jeg). Som sådan er det ofte et godt sted å se etter ting som dette.
Referanser (også kalt «landemerker») introduseres i sammenheng med å sammenligne brøker. Når elevene prøver å bestemme hvilken brøk som er større, $ \ frac {4} {9} $ eller $ \ frac {3} {5} $, er en strategi som foreslås at studentene skal resonnere om forholdet til et annet tall, som brøk $ $ \ frac {1} { 2} $:
Når vi sammenlignet $ \ frac {4} {9} $ og $ \ frac {3} {5} $ ved å sammenligne begge brøker med $ \ frac {1} {2} $, vi brukte $ \ frac {1} {2} $ som referanse (eller landemerke) . Brøkene $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ og $ 1 $ er gode å bruke som målestokk. (s. 73)
Det fremgår av denne teksten at tallene er noe vilkårlige ; det er ikke ment å være en endelig liste over referansetall. Studentene vil velge en brøkdelestandard som hjelper dem å sammenligne.
Jeg kan ikke si om andre bruker referanser på samme måte (en kort titt på noen andre bøker jeg har innen rekkevidde for våpen, viser ikke begrepet). Imidlertid er bruken her klar: en referanse tall er et tall som er nyttig for å resonnere om et problem. I dette tilfellet brukes referansepunktet som referansepunkt for sammenligning av brøker.
Hensikten er å oppmuntre til resonnement i stedet for prosedyre. Det er algoritmer som noen studenter blir lært å bruke for brøk-sammenligning, som gjør det mulig for dem å erstatte matematisk resonnement med et par lagrede trinn og litt regning. Men resonnement lar dem øve på formodninger, arbeide gjennom å komme med en begrunnelse for svaret, og til slutt ha en måte å forsvare sitt svar annet enn «dette er hva prosedyren produserte.»
Jeg burde th blekk, hvilket som helst nyttig nummer som brukes i resonnementet, kan kalles en referanseindeks. For eksempel, i mitt svar på et annet spørsmål (sett her) , skrev jeg om studentresonnering som forvandler en subtrahend til tallet $ 2000 $. I så fall er $ 2000 $ nyttig.
En annen type matematisk resonnement som kan ha nytte av en referanseindeks, er estimering. Tall kan erstattes av benchmarks i nærheten som gir raskere beregning, hvis målet bare er å svare på et svar (en ofte ganske nyttig strategi for mange virkelige applikasjoner).
Oppsummert, Jeg tror ikke det er støtte for en endelig liste over referanser . de som Dr. Beckmann gir er forslag («gode å bruke»), men den virkelige testen er om de er nyttige for tenkeren midt i deres matematiske resonnement.
Sitater:
Beckmann, S. (2010). Matematikk for grunnskolelærere. New York: Pearson Addison-Wesley.
Kommentarer
- kanskje det ' er bare at jeg er lat, men som barn tror jeg at jeg bare ville beregne desimalutvidelsen for å sammenligne to brøker. Jeg ' har lest litt fysikkhistorie som gjenspeiler denne følelsen … at desimaltallsystemet var ekstremt viktig for tilnærmingsaspektet av Newtons ' tenkning … men jeg ' uten ekspert.
- @ JamesS.Cook It ' er ikke lat å bruke representasjonen som bes t passer dine ferdigheter og applikasjonen for hånden. Klasseromsarbeid har selvfølgelig et ekstra læringsmål. I dette tilfellet, å snu til resonnement for sammenligningen (i det står den i kontrast til noen andre " triks " metoder). Når du sammenlignet brøker med desimaler som barn av nysgjerrighet, hvilken resonnement forbinder brøk- og desimalrepresentasjonen? Med andre ord, hvordan beviste du uformelt for deg selv at desimalrepresentasjonen virkelig var det samme tallet?
- Hvis jeg husker, og det er diskutabelt, tror jeg det var standardbetydningen. For eksempel, $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, slik at vi bygger desimaler fra å legge til heltallsmultipler på $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … sammen. Behovet for serier ble først verdsatt mye senere, tilnærminger som var tilstrekkelige for mine formål som barn, jeg husker ikke ' for å tenke på å tenke på konvergens på lekeplassen. .Cook Så slags " atomar " kunnskap her er at $ \ frac {1} {10} = 0.1 $ (og så på for andre fraksjoner som involverer krefter på ti). Men også, du må rettferdiggjøre at $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. Tilsynelatende ser dette mer sofistikert ut enn å sammenligne to brøker basert på en referanseindeks (dvs. du ' vil være lenger enn å trenge den referansestrategien på dette punktet). Brøkene dine med ti-nevner er åpenbart en viktig del av forståelsen av hvordan stedsverdien gjelder brøkverdier.
Svar
Jeg kan ikke sikkerhetskopiere dette, men her» tenkte jeg som matematiker og far til barn i skolealderen (for at referanseindeksene skulle oppstå):
1: Representerer hele ideen av hva et tall er. Når du har fått 1, må du bare huske 2, 3, …, 9.
0: Representerer å forstå at ingenting også er et antall / tall.
10: Først er «10» bare et annet symbol for et tall som «7». Men hvis du virkelig skjønner at det er «sa 1 og 0, så blir symbolene 11, …, 99 umiddelbart forståelige.
100: Å forstå» ti «er en ting. Det neste trinnet er å forstå at det må være et nytt navn på ti ti. Når du får «hundre», blir «tusen», «ti tusen», «millioner» osv. til memorering.
1/2: Å kunne å virkelig forstå 1/2 betyr at du får hva brøkene er. Jeg vet at studentene virkelig sliter med brøker, men alt begynner med 1/2.
1/10: Når du får brøker, spørsmålet om desimal representasjon er naturlig. Så jeg antar at 1/10 virkelig betyr å forstå 0,1.
12: Litt av en merkelig ball på listen. Min gjetning er en av to muligheter: Det er viktig fordi de fleste studenter husker multiplikasjonstabeller til 12×12, eller fordi «tolv» på engelsk er det siste tallet hvis navn ikke forteller deg noe om dets desimalrepresentasjon, f.eks. kalt «sekonteen».
Kommentarer
- Hvis du ser nøye etter, " tolv " inneholder i det minste en form for " to. " Se også etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Tolv er det første rikelig tallet, og tast også inn klokkemodellen noen lærere bruker for brøker. Jeg vet ikke ' om det er grunnen til at det ' står på listen, men det gir absolutt noen mening hvorfor det kan være på en liste over viktige tall i 4. og 5. klasse.
- Hele tallet " 1 " er den universelle multiplikative identiteten .Selv om " 2 " ikke er ' t som grunnlag for hele tall, ville jeg vurder det faktum at å multiplisere hva som helst med hele tallet to er det samme som å legge det til seg selv er ganske viktig. Jeg vil vurdere " 4 " viktig fordi det å multiplisere noe med fire er det samme som å legge til noe til seg selv og legge resultatet til seg selv , mens " 3 " er viktig fordi det å multiplisere med tre krever å legge til noe til seg selv og deretter legge til resultatet til den opprinnelige tingen .