Det er allerede et spørsmål som dette her slik at spørsmålet mitt kan vurderes duplisere, men jeg vil prøve å gjøre poenget klart at dette er et annet spørsmål.
Er det en måte å utlede Biot-Savart-lov fra Lorentz «Force-lov eller bare fra Maxwells ligninger?
Poenget er at vi vanligvis definerer, basert på eksperimenter, at kraften som føles av en bevegelig ladning på tilstedeværelsen av et magnetfelt er $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} $, men i så fall blir magnetfeltet vanligvis igjen for å bli definert senere.
Nå kan den kraftloven brukes på en eller annen måte for å oppnå Biot-Savart-lov som vi får ligningen for det elektriske feltet direkte fra Coulombs Force-lov?
Jeg ville vet at fordi som påpekt i spørsmålet jeg har nevnt, selv om Maxwells ligninger kan betraktes som mer grunnleggende, oppnås disse ligningene etter at vi kjenner Coulombs og Biot-Savarts lover, så hvis vi begynner med Maxwell » Ligninger for å oppnå Biot-Savarts bruk av den til å finne Maxwells ligninger, så tror jeg vi vil falle inn i et sirkulært argument.
I så fall uten å bruke Maxwells ligninger, den eneste måte å oppnå Biot-Savarts lov er gjennom observasjoner eller kan den avledes på en eller annen måte?
Kommentarer
- Verken Maxwell eller Biot-Savart er grunnleggende – alle slike formler følger fra Coulomb og en velvalgt definisjon på $ B $, som nevnt tangentielt i dette korte rantet .
- @ ChrisWhite, Maxwell s ligninger følger ikke bare fra Coulomb-loven, spesiell relativitet og definisjoner. For eksempel kan ikke Gauss-loven for ikke-rettlinjet bevegelse av anklager utledes uten ytterligere forutsetninger.
- Jeg tror @Hans de Vries kan gi et elegant svar.
Svar
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Biot-Savart-loven er en konsekvens av Maxwells ligninger.
Vi antar Maxwells ligninger og velg Coulomb-måleren, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Deretter $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Men $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ I stabil tilstand innebærer dette $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Dermed har vi Poissons ligning for hver komponent i ovenstående ligning. Løsningen er $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr «)} {| \ vr- \ vr» |} d ^ 3 r «. $$ Nå trenger vi bare å beregne $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Men $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr «)} {| \ vr- \ vr» |} = \ frac {\ VJ (\ vr «) \ times (\ vr- \ vr»)} {| \ vr- \ vr «| ^ 3} $$ og så $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr») \ ganger (\ vr- \ vr «)} {| \ vr- \ vr» | ^ 3} d ^ 3 r «. $$ Dette er Biot-Savart-loven for en ledning med endelig tykkelse. For en tynn ledning reduseres dette til $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr «)} {| \ vr- \ vr «| ^ 3}. $$
Tillegg : I matematikk og naturfag er det viktig å holde i tankene skillet mellom historisk og logisk utvikling av et emne. Å kjenne et motivs historie kan være nyttig for å få en følelse av personlighetene som er involvert, og noen ganger for å utvikle en intuisjon om emnet. Den logiske presentasjonen av emnet er måten utøvere tenker på. Det innkapsler hovedideene på den mest komplette og enkle måten. Fra dette synspunktet er elektromagnetisme studiet av Maxwells ligninger og Lorentz-kraftloven. Alt annet er sekundært, inkludert Biot-Savart-loven.
Kommentarer
- Men hvordan jeg ‘ har sett det gjort, Maxwell ‘ s ligninger er avledet fra biot-savart-loven, som ville gjøre dette rundskrivet.
- @JLA: Jeg ‘ har lagt til noe i adresse » sirkularitet » du refererer til.
- @JLA, det er ikke mulig å matematisk utlede Maxwell ‘ s ligninger fra Biot Savart-loven. Det folk noen ganger gjør, er å utlede (komme til) Maxwell ‘ s ligninger fra Biot-Savart-loven for et spesifikt tilfelle som stasjonære strømmer, og deretter generalisere dem til alle situasjoner med ord.
- For klarhets skyld blir differensialoperatører brukt på $ {\ bf r} $ og ikke $ {\ bf r ‘} $, at ‘ hvordan de byttes ut med integraler over $ {\ bf r ‘} $.
- @AG Å ta derivatet med hensyn til $ {\ bf r ‘} $ gir ingen mening.Vi har $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $, ikke $ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ‘ _i $ (som jeg ville skrive $ \ nabla ‘ $ eller noe slikt).
Svar
Det kan være sant at i tiders tid målte folk styrken som følge av en glødestrøm, og oppdaget Biot-Savart-loven, og brukte den igjen som inspirasjon til å konstruere Maxwells ligninger. Hvis det er hvordan det faktisk skjedde historisk, greit.
Men dette er analogt med en fremmed arkeolog om 10 millioner år fra nå å finne en skjeletthånd og fot på jorden. Fra hånden kommer arkeologen til å forstå hva dyret som hadde den hånden likte å gjøre med det: at det kunne gripe tak i og bruke verktøy og så videre. Fra foten, arkeologen, kommer det til å forstå at dyret det tilhørte, gikk på to ben og at det vanligvis veide i voksen alder rundt 100-300 pund.
Først senere gjør arkeologen at hånden og foten tilhørte begge det samme dyret – et menneske. Men arbeidets natur betyr at puslespillet om hva et menneske var, må brytes ned i biter som kan forstås individuelt før hele bildet kan komme sammen. Når det er sagt, ville det være bakover å antyde at hånden og foten er mer grunnleggende enn selve mennesket.
Maxwell-ligningene er konstruert for å være i samsvar med Biot-Savart-loven og andre deler av informasjonen. , som Coulombs lov. Dermed kan du utlede Biot-Savart fra Maxwell, men ikke omvendt, for Maxwell er mer generelt og altomfattende.
Hvis du allerede vet Lorentz-kraftloven, kan du utlede styrken til magnetfeltet fra en ledning bare ved å skyte ladede testpartikler nær ledningen og observere deres bevegelse. Men dette setter spørsmålstegn ved hvordan du allerede kjenner Lorentz-kraftloven, og så videre.
Du kan gå i sirkler hele dagen over hva som er eller ikke er grunnleggende, over hva som må være basert på eksperimentell observasjon og hva som bare er konstruert for å være i samsvar med disse observasjonene, men ofte er det en preferanse for at «enkle» eksperimentelle observasjoner blir betraktet som grunnleggende vs. teoretiske konstruksjoner t hat inneholder mange slike observasjoner – se Chris Whites kommentar om at Maxwells ligninger kan stamme fra Coulombs lov og noen andre ting.
For meg er dette dumt. Maxwells ligninger inkorporerer summen av observasjonene våre (i det minste de som passer til det klassiske regimet). For meg er det det vi vet om klassisk elektromagnetisme. Å si at du kan utlede Maxwell » s ligning med bare ett resultat pluss noen få antagelser … vel, det savner poenget at disse antagelsene også måtte testes og verifiseres i utgangspunktet. For meg er det veldig baklengs å skille ut spesielle tilfeller (rene elektriske, rene magnetiske, statiske eller dynamiske felt) og behandle dem som «grunnleggende».
Rediger: men egentlig en fysiker trenger å jobbe i begge retninger. For å skape ny teori har vi ofte spesielle tilfeller som vi ikke vet er koblet sammen og må bygge bro sammen. Det bygger Maxwells ligninger fra Coulombs lov og Biot-Savart. For å analysere et bestemt problem enklest, en vi ikke er sikre på at det er en spesiell case-formel for, må vi ty til den mest generelle beskrivelsen (Maxwell) og prøve å redusere den ned til noe enklere og lettere å løse (i i tilfelle ingen strøm og ingen tidsavhengighet, kan du komme tilbake til Coulombs lov). Begge tilnærmingene er nødvendige for å være så fleksible som mulig.
Svar
Fra et Rowland Ring-type eksperiment er det mulig å definere permeabilitet som et mål på strømmen som genereres i et enhetsvolum per ampere-sving. Hvis vi deretter antar at denne strømmen vil spre seg som en invers kvadratisk lov, oppnår vi biot-savart-loven som en magisk analog av coulombs lov med tillegg av kryssproduktet, og tar vare på vinkelrett på feltretningen og strengt tatt på forståelse av at det er en arbeidshypotese som er validert av dens nytte, siden et nåværende element ikke kan eksistere isolert fra resten av kretsen. Mitt råd – Ignorer alle fristelser til å falle i mer matte enn det som er nødvendig, som vil føre deg til forståelse. Håper dette hjelper .
Svar
Følg følgende lenke. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot og gå til overskriften «Arbeid». Det står at loven ble oppdaget eksperimentelt i 1820, dvs. 45 år før Maxwell-ligningene ble publisert. Den generelle formuleringen til Biot-Savart-loven ble gitt av P. Laplace. Uttrykket av Biot-Savart-loven (integrasjonen) viser at pri nippel av superposisjon er allerede inkludert i den.Maxwell-ligninger ble utviklet senere og de ble designet på en passende måte for å omfatte implikasjonene av Biot-Savarts lov. Kanskje det er grunnen til at vi kan utlede Maxwells ligninger fra Biot-Savarts lov og omvendt.
Gå til denne lenken https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force og gå til delen «Historie». Det står at i året 1881, dvs. 16 år etter at Maxwell-ligningene ble publisert, avledet Thomson først en form for Lorentz-styrkerett fra Maxwell-ligninger. Til slutt ble den moderne formen for Lorentz-styrkeretten avledet av Lorentz i 1892 fra Maxwell-ligningene.
Så den historiske sekvensen er slik:
Biot-Savarts Law ==> Maxwells Equations ==> Lorentz force law.
Men i klasserommene er vi undervist i følgende sekvens:
Først: Lorentz-kraftloven, for å introdusere konseptet om at magnetfeltet utøver kraft på en bevegelig ladning.
For det andre: Biot-Savart-loven, til introdusere konseptet som beveger cha rges produserer magnetfelt.
For det tredje: Maxwells ligninger; generaliseringen av alle eksperimentelle observasjoner innen elektromagnetisme.
Så konklusjonen er:
(1) Biot-Savarts lov er en eksperimentelt observert lov. Denne loven inkluderer også ideen at superposisjonsprinsippet også er gyldig i magnetostatikk. Denne loven ga grunnlaget for magnetostatikk.
(2) Maxwells ligninger ble avledet er en slik måte at de omfatter funnene i Biot-Savarts lov ( sammen med andre eksperimentelle observasjoner av elektromagnetisme). Det er en teoretisk generalisering. Maxwells ligninger er mer grunnleggende enn noen annen eksperimentell observasjon fordi eksperimenter vanligvis gjøres under visse omstendigheter og dermed ikke kan gi generalisert informasjon.
(3) Lorentz-kraftloven ble hentet fra Maxwells ligninger, men kan bekreftes direkte eksperimentelt.
MERKNAD
«Observasjon og deretter generalisering»: Jeg tror dette er måten fysikken utvikles på. Observasjon (eksperiment) etablerer alltid grunnlaget. Generalisering omfatter observasjonen og utvider den brukervennligheten til andre tenkelige konfigurasjoner, tilfeller og omstendigheter. Derfor er det alltid mulig å utlede generalisering fra observasjon og omvendt [Biot-Savart-loven kan være avledet fra Maxwell-ligninger og Maxwell-ligninger kan være avledet fra Biot-Savart-loven ] .
Her blir det understreket at Biot-Savarts lov er den viktige observasjonen som startet feltet magnetostatikk. Maxwell-ligninger (generalisering) og begrepet vektorpotensial (en generell egenskap for vektorfelt) kan brukes å utlede Biot-Savarts lov, men det betyr ikke at loven bare er et mellomtrinn i utvikling av kunnskap om magnetostatika. At det er mulig å utlede Biot-Savarts lov fra Maxwell-ligninger og begrepet vektorpotensial kun bekrefter at generaliseringen i Maxwell-ligninger er riktig.
Kommentarer
- Men OPEN spurte ikke om den historiske rekkefølgen av hendelser.
Svar
Vi må se på tidslinjen (historien). Biot-Savart-loven ble publisert før utgivelsen av Maxwell-ligninger. Så det er Gausss Law for Magnetic Fields (the Second Maxwell Equation) som er avledet fra Biot-Savart Law og ikke omvendt. Utledningen av Gausss Law for Magnetic Fields (den andre Maxwell-ligningen ) fra Biot-Savart Law kan leses her Gausss Law for Magnetic Fields
Answer
Problemet med Biot-Savarts lov er at den teoretisk er formulert i form av gjeldende elementer $ Idl $ og deretter integrert. Men i de fleste lærebøker er det formulert også for POINT-avgifter, i form av $ qv $ . Problemet her er at når en punktladning $ q $ beveger seg med hastighet $ v $ magnetfeltet i nærliggende rom ENDRER seg med tiden, det vil si at vi har en $ \ frac {dB} {dt} $ , og så finner induksjonseffekter sted og den magnetostatiske tilstanden blir brutt. I kontrast når $ Idl $ er integrert langs en kontinuerlig ledning, er $ B $ -feltet konstant, (magnetostatisk ). De to situasjonene er veldig forskjellige, og så vidt jeg vet er poengladningen $ B $ aldri blitt målt direkte. Kraften på $ qv $ , ja, men ikke feltet produsert av $ qv $ .