Er GameScience ' s ikke-sylindriske syvsidig dør en balansert / rettferdig dør?

Det virkelige eksperimentet er vanskelig

De sammenkoblede terningene i spørsmålet er utsolgt, så bare personer som allerede har mange av disse terningene og er villige til å gjøre de statistiske testene kan gi » true » svaret. Jeg mistenker at befolkningen er ganske liten. Imidlertid tror jeg at den eksisterende litteraturen og litt deduksjon kan gi et teoretisk og historisk perspektiv på rettferdigheten til denne d7.

Det er mulig å ha en rettferdig d7 i spesifikke scenarier

For det første er det definitivt teoretisk mulig å ha en syvsidig matrise. Matrisen som vist er et femkantet prisme. Geometrisk er matrisen rettferdighet sterkest påvirket av størrelsesforholdet mellom de femkantede ansiktene og de rektangulære sidene . Jeg har gjort en rask mock-up av de to ytterpunktene:

• Ansiktene er større enn sidene: Dette tilsvarer formen på venstre side. Denne ekstremen favoriserer sterkt de femkantede ansiktene – den er i utgangspunktet en mynt, og det er vanskelig å forestille seg at den noen gang lander på kantene.

• Sidene er større enn ansiktene: Dette tilsvarer formen til høyre . I dette tilfellet er matrisen mer som en blyant, og vil nesten alltid falle på sidene.

Når man justerer størrelsesforholdet mellom sidene og ansiktene jevnt, vil det være et spesifikt punkt der det er en overgang mellom å favorisere sidene og å favorisere ansiktene. Dette skjæringspunktet er det punktet der dysen er rettferdig. Derfor er det mulig å ha en rettferdig 7-sidig die.

Imidlertid er dette magiske forholdet m kan ikke være det samme for alle forhold. Dette svaret på MathOverflow hevder at for ikke-isohedral dø avhenger rettferdigheten av resultatet av hvordan du kaster det. På samme måte hevder denne tilfeldige siden på internett at forskjellige overflater kan påvirke utfallet av rullen. Ingen av kildene gir harde bevis for deres påstander, men det er verdt å vurdere at argumentet for mellomverdien som er presentert ovenfor, ikke viser at en enkelt d7 kan være rettferdig under alle betingelser .

Patentet for dette d7 viser at det ble testet for rettferdighet

Så spørsmålet er, har de spesifikke terningene den nødvendige geometrien for å være rettferdig? Produktbeskrivelsessiden som OP lenker til inneholder et patentnummer: US PAT nr. D-4 900 034. Dette tallet tilsvarer patentet » Tilfeldig spillespill og layout og spillbord for bruk med samme » arkivert av Bernard Bereuter i 1988.Dette patentet beskriver blant annet konstruksjonen og rettferdigheten for denne d7 for pengespillformål:

Ved hjelp av dannede spillebrikker av hardplast av en type som kan brukes til standard terninger, har eksperimentering vist at ønsket tilfeldig landing av brikkene oppnås hvis den vanlige femkant av tverrsnitt passer nøyaktig i en sirkel på 1 tomme i diameter (noe som resulterer i perifere kanter 3 med en lengde på 0,588 tommer) og prismas lengde er 0,753 tommer, for stykker som er rullet over skumstøttet filt strukket over en hard horisontal overflate.

…

A tilfeldig spillespill bestående av et ikke-rektangulært prisme … som har tegn som er jevnt fordelt rundt omkretsen, idet prismenes lengde er forskjellig fra lengden på en side av det vanlige tverrsnittet av polygon og er lik lengden som kreves, nevnte prisme som lander på et av endeflatene er omtrent lik alt til sannsynligheten for at den lander på noen av sideflatene.

Således, Mr. Bereuter har tilsynelatende gjort den empiriske testen som er nødvendig for å bestemme det ideelle størrelsesforholdet for en rettferdig syvsidig matriser, i det minste på en bestemt overflate.

Dessverre fordi hans data er ikke offentlige og terningene er ikke tilgjengelige for øyeblikket, vi kan ikke bekrefte eller gjenta resultatene hans selv. Det er absolutt mulig at terningene som er kjøpt fra dette nettstedet, ikke er rettferdige av andre grunner. Likevel, denne d7s oppfinner satte tydelig mye arbeid i å bestemme de nødvendige dimensjonene for å skape en rettferdig matrice.

Hvis GameScience nøyaktig fulgte dimensjonene i patentet som de siterer, er d7 sannsynligvis rimelig nok for RPG-formål. Tross alt var det opprinnelige patentet beregnet på matrisen for pengespillformål, og etter min erfaring er TTRPG-er langt mindre følsomme for urettferdige terninger enn å spille.

Kommentarer

• Jeg har en uenighet med dette svaret (beklager at jeg ikke støtter det med kilder): Sannsynligheten hvis en dø hviler på et ansikt, avhenger (også) av hvor skarp / rundt kanten, om døren har nok fart til å rulle over denne kanten. siden treghetsmomentet og høyden til tyngdepunktet til matrisen er forskjellige, avhengig av hva slags kant det er, må rundenatten også være annerledes. Jeg ser ikke ‘ dette adressert hvor som helst. Jeg gjorde ikke ‘ t matematikken hvis forskjellen er betydelig for de forskjellige ansiktene, kan det ikke utgjøre mye.
• @mart at ‘ stemmer, og jeg har ingen måte å ta opp det problemet – jeg prøvde å nevne det når jeg sier at det kan være andre grunner til at terningene ikke er ‘ t rettferdig. For å teste at du ‘ d ikke bare trenger å få de faktiske terningene, som er utsolgt, men også en haug med de terningene som ikke ‘ har ikke avrundede kanter, men er ellers identiske.
• Jeg lurer på om noen med en 3d-skriver kan lage forskjellige terninger etter å ha skannet en » -regulering » dø. Leker deretter med parametrene på kantene.

Nei, de er ikke rettferdige med mindre du ignorerer sidene

Det er noen få krav for at en ensartet solid dyse skal være rettferdig.

De aktive sidene må være ansiktstransitive.

Terning er bare rettferdig hvis alle av sidene som blir brukt er like sannsynlig å lande på. For at dette skal være sant, må det være ansiktstransitivt, noe som betyr at alle sidene har samme form. Mer spesifikt …

Isohedral Figure

In geometri, er en polytop av dimensjon 3 (et polyhedron) eller høyere isohedral eller ansiktstransitiv når alle ansiktene er de samme. Mer spesifikt, må alle ansikter ikke bare være kongruente, men må være transitive, dvs. må ligge innenfor samme symmetribane. Med andre ord, for alle ansikter A og B, må det være en symmetri av hele det faste stoffet ved rotasjoner og refleksjoner som kartlegger A på B. Av denne grunn er konveks isohedral polyhedra formene som vil gi rettferdige terninger.

Isotoksisk figur

Vanlige polyedre er isohedrale (ansiktstransitive), isogonale (toppunkt-transitive) og isotoxale (kanttransitive).

Denne 7-sidige terningen er ingen av disse tingene. Men det er hvis vi ignorerer hvert resultat på de femkantede sidene.

Sagt på en annen måte, gitt et ansikt på matrisen, må det være en rotasjon (minst en) som resulterer i annenhver ansikt, kant, og toppunkt blir kartlagt på samme sted som henholdsvis et annet ansikt, kant og toppunkt. La oss prøve det i 2-d.

Dette gir en god todimensjonal dø. Ved å rotere trekanten 120 grader rundt sentrum, kartlegges hvert toppunkt og kant av trekanten til en annen. La oss ta det til tre dimensjoner, si en kube. A d6. Vi er alle kjent. En d6 er en rettferdig die fordi det eksisterer minst en rotasjon som resulterer i at hvert ansikt, kant og toppunkt blir kartlagt på plasseringen av en annen. En av disse rotasjonene vil åpenbart være en rotasjon som kan representeres av «90 grader på en akse, og 90 grader på en annen». Eller i Euler Angles , 90, 90, 0. Eller hvis det hjelper, 90 graders stigning og 90 grader gjeng. Eller en hvilken som helst kombinasjon av pitch, yaw og roll.

Alle andre rettferdige terninger har denne egenskapen. En rotasjon eksisterer som kartlegger hvert ansikt, kant og toppunkt på en d4 på et annet ansikt, kant og toppunkt. Det finnes en for en d20. Det er faktisk mange rotasjoner som gjør dette for disse rettferdige terningene. Men det er ingen rotasjon som gjør dette for en d7. Du kan spinne den 180 grader rundt «opp» aksen (sitter hverken på 6 eller 7), men da ville ikke den øvre kanten blitt oversatt til en annen kant. Du kan legge den flatt på 6 og snurre den 72 grader, men da ville de femkantede ansiktene ikke blitt oversatt til et annet ansikt.

Senteret til hvert ansikt må være like langt fra massesenteret.

Når det gjelder (rettferdige) terninger, massesenter er i det eksakte sentrum av objektet. Dette betyr at alle ansiktene er like langt unna. Resultatet av dette er at hvert ansikt etter en rullering har like mulighet til å komme opp. Imidlertid, hvis massesenteret flyttes fra matrisenes geografiske sentrum, endres rotasjonsaksen, og matrisen er ikke lenger rettferdig. kilde

Endring av massesenter er kjent som vekting av matrisen. Når massesenteret flyttes lenger fra midten av matrisen, vil det effektivt lettere ansiktet rulle oppover oftere enn ikke.

Å lage rettferdige terninger ved å ignorere ansikter

Terninger med et ulikt antall flate ansikter kan gjøres som «lange terninger». [ 26] De er basert på et uendelig sett med prismer. Alle (rektangulære) ansikter de faktisk kan lande på er kongruente, så de er like rettferdige. (De to andre sidene av prismaet er avrundet eller avkortet med en pyramide, designet slik at matrisen faktisk aldri hviler på disse ansiktene) Kilde

Den siste setningen er den viktigste delen. Denne 7-sidige terningen er rettferdig i intervallene 1-5, forutsatt at du ignorerer det 6. og 7. ansiktet. Som vi leser ovenfor kan ethvert prisme være rettferdig forutsatt at endene er «avkortet» eller ignorert ( se Long Dice ). Så en ekte d7 ville være laget av et heptagonalt prisme . Så ignorerer endene, eksisterer det en rotasjon som kartlegger hvert ansikt, toppunkt og kant på plasseringen av et annet ansikt, kant og toppunkt. La oss gå tilbake til eksemplet ovenfor. Vi legger den flatt på 6. kant og snurrer den 72 grader. Voila! Hvert av ansiktene er nå på stedet der et ansikt pleide å være, hver kant er på stedet der en annen kant var, og hvert toppunkt er i stedet for et annet toppunkt . Med unntak av hettene, som vi har ignorert.

Mer nylig har du kanskje lagt merke til terningkast. De bruker det samme grunnleggende prinsippet, bortsett fra at sidene deres er trekanter i stedet for rektangler.

Hvorfor fungerer ikke ikke-symmetriske uortodokse former?

Resultatet av at matrisen er ansiktstransitiv og har et massesenter som er like langt fra ansiktenes sentre, er at det krever samme mengde kraft i en retning for å snu det uansett hvilket ansikt det har landet på. Når vi ser tilbake på d7, kan vi lett gjette at å bruke kraft for å gå fra ansikt 1 til ansikt 2 er samme mengde kraft som vil endre det fra ansikt 2 til ansikt 3 når det hviler på bordet. Dette skyldes at vinklene mellom ansiktene er de samme, og fordi ansiktene er de samme på disse sidene. Det er like mye overflateareal som berører bordet når «1» er opp som det er når «2» er oppe. La oss se på ansikt 6 og 7.

Når ansikt 6 er opp, er ansikt 7 nede. Det er nå større overflate på bordet. Videre er vinkelen mellom ansikt 6 og ethvert annet ansikt som berører det større (90 grader mot 72 grader). Begge disse betyr at det krever mer kraft å skyve det på et av de andre ansiktene.Så når matrisen tumler og ansiktet 6 eller 7 treffer bordet nær slutten av tørketrommelen og mister noe av hastigheten og rotasjonshastigheten, er det mer sannsynlig at X mengde kraft vil ikke resulterer i at matrisen tumler over det ansiktet til land 1-5.

Kommentarer

• Kommentarer er ikke til utvidet diskusjon; denne omfattende samtalen til mange av de matematiske / fysiske / statistiske punktene i innlegget er flyttet til sin egen dedikerte chat . Jeg anbefaler på det sterkeste at de som ‘ har lest så langt, også skal lese chatten. I alle fall bør ytterligere kommentarer bare ta for seg hvordan OP kan forbedre deres presentasjon av deres posisjon; hvis du vil argumentere for at deres posisjon er feil, gjør det enten i ditt eget svar eller i chatten.