Er tall virkelig uendelige? [lukket]

Du er ikke den eneste som setter spørsmålstegn ved det uendelige utall av tall. Faktisk er det hele tankeskoler som utforsker det uendelige spekteret av tall, hele tankeskolene som utforsker de transfinite tallene utover det uendelige spekteret, og hele tankeskolene som utforsker hvordan man gjør matematikk der uendelighet ikke eksisterer (kjent som finitistiske skoler av trodde)!

Grunnleggende for diskusjonen om uendelige tall er begrepet Peano-aritmetikk. Giuseppe Peano utviklet et sett med aksiomer for de såkalte «naturlige tallene», som uformelt er definert til å være sekvensen 0, 1, 2, 3, 4. .. Aksiomene er:

• 0 er et naturlig tall (vi erklærer at det eksisterer, det er et konstant)
• For hvert naturlige tall x, x = x (refleksiv: alt» tilsvarer «seg selv)
• For alle naturlige tall x og y, hvis x = y så y = x (symmetrisk egenskap av likhet)
• For alle naturlige tall x, y, z, hvis x = y og y = z så x = z (transitive egenskap av likhet)
• For alle a og b, hvis b er et naturlig tall og a = b da er a et naturlig tall (likhet er «lukket»)

Vi må da definere en funksjon S, kjent som etterfølgerfunksjonen, slik at vi kan ha tall større enn 0. Uformelt, S(0)=1, S(1) = 2 og så på.

• For hvert naturlige tall n, er S(n) også et naturlig tall
• For alle naturlige tall m, og n, m = n hvis og bare hvis S(m) = S(n) (S er en injeksjon)
• For hvert naturlige tall n, S(n) = 0 er usant (etterfølgeren til et tall er aldri 0 … aka 0 er det «første» naturlige tallet)

Nå trenger vi aksiomet som gjør spørsmålet ditt så utsøkt interessant, induksjonens aksiom:

• hvis f er en slik funksjon t f(0) er sant, og hvis f(n) er sant, for hvert naturlige tall n f(S(n)) er sant, så er f(n) sant for alle naturlige tall.

Det siste aksiomet er det en som får så mye interessant atferd til å oppstå. Det er den som prøver å strekke seg mot uendelig, og hevder å tilby måter å forstå den på. Og som alle aksiomer, sier den ikke nesarialt at den er «riktig», bare at den blir erklært sant innenfor rammen. av regningene for aritmetikk (som definert av Peano).

Mye av aritmetikk ble formalisert til det som er kjent som «mengde teori», som er grunnlaget for mye av matematikken vår fordi den synes å være grunnleggende for hvordan universet er organisert. Sett håndterer bestemte samlinger av ting, som «settet med naturlige tall som er mindre enn 5», som er skrevet som {0, 1, 2, 3, 4}.Peano-aritmetikk kartlegges oftest på mengde teori ved hjelp av følgende konstruksjon:

• Det tomme settet {} blir erklært å være konstant 0 i Peanos aksiomer
• Etterfølgerfunksjonen S(n) er definert til å være` S (n) = {{}, {n }} (Etterfølgeren for et hvilket som helst tall er definert som foreningen av det tomme settet og et sett som inneholder det forrige tallet)

Den definisjonen høres litt stump ut, men den ble valgt fordi den er enkelt å kartlegge alle de andre Peano-aksiomene på disse to definisjonene. Med dette får vi muligheten til å bruke mengdeteoriaksiomer til å manipulere «tall» på veldig kraftige og grunnleggende måter. En av de viktigste av disse er begrepet kardinaliteten til et sett. Dette er «antall» ting i et sett. Uformelt {1, 2, 3}, {3, 4, 5} og {eple, oransje, orangutang} har alle kardinaliteten 3 fordi de har 3 elementer, men {2, 4, 6, 8} har en kardinalitet på 4.

Dette er der det blir vanskelig, fordi det viser seg at «settet med alle naturlige tall» er et gyldig sett, vanligvis representert med et stort N, så vi kan spørre «hva er kardinaliteten til settet med alle naturlige tall? «Svaret er» uendelig, «og den påstanden blir gitt som en definisjon. Vi definerer kardinaliteten til N til å være et bestemt tall, kjent som ℵ₀ som får det engelske navnet «countable infinity.» Ja, for matematikere er uendelig tellbar, fordi du teoretisk kan starte ved 0, telle oppover 1, 2, 3, 4, 5 … og «nå» ℵ₀ i henhold til induksjonsaksiomet. Det er også utallige uendelige, slik som ℵ₁, kjent som kardinaliteten til kontinuumet eller antall reelle tall (forutsatt at kontinuumhypotesen er sant … det er enda forskjellige meninger om dette). Det er til og med en skole med tenkte på «transfinite» tall som kan håndtere setninger som «I double dog dare you infinity plus one times!»

Velkommen til uendelig kaninhull i matematikk. Vi har definert ordet til å bety noe her. Det er definert med hensyn til et sett med aksiomer. Holder disse aksiomene i «det virkelige liv?» De fleste matematikere synes det er praktisk å anta at de gjør det. Datamaskinen du leser dette på i dag ble utviklet ved hjelp av mange modeller fra kalkulus, og kalkulasjonens røtter finnes dypt i uendelig (spesielt begrepet «grenser). Så langt har den antagelsen gjort oss ganske bra. Er den antagelsen» sann? «Det» er mer komplisert. spørsmål. Det er finitistiske tankeskoler som starter fra antagelsen om at antallet naturlige tall er endelig, vanligvis relatert til den endelige kapasiteten til menneskesinnet eller universet på en eller annen måte. Hvis tiden er endelig, og beregningen er endelig, kan man ikke teoretisk regne «uendelig», så de hevder at den ikke eksisterer. Har de rett? Vel, ja … etter deres definisjoner, akkurat som det motsatte kravet er sant ved definisjonene av Peano-aksiomene og mengdeteorien. Begge kan uten tvil være sanne fordi de hver definerer ordet «uendelig» til å bety noe som er noe så annerledes.

Som en avslutning kan det være verdt å dabbe seg i språklig valg: «Så, skal vi si at tall er uendelige?» Vi kan si mange ting. Hvorvidt disse tingene oppfyller sannhetsidealet (i seg selv et veldig vanskelig ord å beskrive formelt), avhenger i stor grad av ens individuelle betydninger for ord. Hvis du aksepterer definisjonen for «uendelig» gitt av vanlig matematikk, så er «tall er uendelig» sant, bokstavelig talt fordi vanlig matematikk definerer «uendelig» som sådan. Hvis du godtar definisjonen gitt av finitistene, er «tall er uendelig» falsk, bokstavelig talt fordi finitistene definerer «uendelig» som sådan. Du kan velge din egen definisjon. Det kan til og med være kontekstuelt (det er ikke uvanlig å finne kristne matematikere som definerer «uendelig» i sin religion litt annerledes enn de definerer det i matematikken, uten noen dårlige effekter i tillegg til to veldig like begreper som får det samme ordet i ordforrådet). .

Kommentarer

• " det er hele tankegangene som utforsker det uendelige spekteret av tall ". Ingen kan utforske den uendelige mengden tall fordi de er uendelige. Du trenger uendelig mange år og uendelig mange forskere.
• Dette svaret inneholder det jeg antar er en uskyldig feil. Verdien av kontinuumets kardinalitet er en av mengdeteoriens store ukjente. ZFC er ikke sterk nok til å svare på å etablere en verdi. Å si at " c " er lik aleph-1, er å anta sannheten i kontinuumhypotesen.
• Jeg liker virkelig dette svaret.Så mye som noe er hva vi sier det er når det er populær enighet, dette svaret går enda lenger til veldig raskt og tydelig å gi det matematiske rammeverket der vi begge definerer termer og spesifikt hvordan uendelig er definert ved å bruke det samme. +1
• @NickR Takk for fangsten! En redigering er kommet på plass!
• @JohnAm Du kan utforske dem på endelig tid, så lenge du gjennomsnittlig en uendelig tid på hvert tall 😉 Det reiser spørsmålet om hvor grundig vi utforsk noen av de større tallene, ikke ' t det!

Det er generelt akseptert at de naturlige tallene tilfredsstiller Dedekind-Peano Axioms (vanligvis bare oppkalt etter Peano fordi Dedekind blir stiv). at det er uendelig mange naturlige tall. Og det er ikke vanskelig å se hvorfor: det kan ikke være det største naturlige tallet n, siden n + 1 er et større naturlig tall.

Mer generelt, i standard (ZFC) aksiomer for mengdeori vi kan bevise eksistensen av ganske mange uendelige sett. Dette er litt mindre nyttig for dine formål, siden eksistensen av et uendelig sett er innebygd i ZFC som et aksiom, men siden ZFC er allment akseptert av matematikere og filosofer er det verdt å påpeke.