I et vanlig pentagram (5-spiss stjerne) er vinkelen i hvert punkt 36 grader, så vinklene i alle fem punkter sum til 180 grader:
Hva med et uregelmessig pentagram, for eksempel det følgende?
Nå kan vinklene være forskjellige fra hverandre; situasjonen er mye mer komplisert. Kan du bevise at vinklene i alle fem punktene fortsatt summerer til 180 grader?
Restriksjoner (for å gjøre det klart at dette verken er et matematikk problem [i motsetning til et matematikkpuslespill] eller en øvelse i beregning eller avansert euklidisk geometri):
- ingen aritmetiske operasjoner tillatt (tillegg, multiplikasjon, …)
- du kan tegne ett nytt linjesegment på stjernen, men ikke mer enn det
Kommentarer
- Beklager rand, men jeg tror dette bare er et annet matteproblem … (» bevis «, » vinkler «, » sum «, » 180 grader «)
- @MarkN I følge kanonisk metapost på dette, tegnet på et matematikk puslespill i motsetning til problem er å ha ea smart eller elegant løsning, ofte et » aha » øyeblikk , en uventet problemstilling , eller et uventet eller kontraintuitivt resultat . Løsningen jeg har i tankene har definitivt den første av disse funksjonene, og IMO de to siste også.
- Dette er ikke ‘ ta matematikkpuslespill – det ‘ et logisk puslespill. Du lærer vanligvis bare denne logikken fra noen som også underviser i matte.
Svar
$ \ hskip 1,5in $ 
det er drømmende?
Dette er et bilde av en pil som feier hver av de påfølgende vinklene i Stjernen. Legg merke til at når den har sporet alle $ 5 $ vinklene, blir orienteringen omvendt – noe som betyr at den har rotert $ 180 ^ {\ circ} $, og at dette må være summen av vinklene. Vi kan gjøre det samme med stjernen i figuren din, ergo, dens vinkler er for $ 180 ^ {\ circ} $.
En generalisering:
Vi kan gjøre det samme med en figur som denne, hvis vinkler er $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 i $ 
Vi kan også gjøre dette mot en trekant. Den viktige egenskapen er denne:
Det må ikke være noen hjørner av stjernen interiør til kjeglen feid ut av en stråle som krysser en gitt vinkel.
Oppfyller denne tilstanden – som i utgangspunktet sier at vi aldri trenger å «ignorere» hjørner, men i stedet bare rotere pilen og se hva den treff – vi finner ut at vi kan bestille hjørnene «med urviseren» slik at, i hver vinkel, enten hodet eller halen av pilen går til neste toppunkt i rekkefølgen (og de veksler hvilken). Åpenbart vil både hode og hale gjøre en full revolusjon når dobbelt så mange vinkler som hjørner har blitt sporet, noe som gir ønsket resultat.
(Man kan også uttrykke min tilstand som «å tildele hjørnene tallene $ 1 $ gjennom $ 2n + 1 $ i medurs rekkefølge sett fra et sentralt punkt, må det være at $ 1 $ kobles til $ n $ og $ n + 1 $, og alle andre punkter er koblet analogt «)
Kommentarer
- (Også for hva det ‘ er verdt, likte jeg virkelig dette puslespillet, selv om svaret mitt ikke er ment en – jeg hadde en god, » Vel at ‘ s åpenbar » øyeblikk, etterfulgt av noen timer med intens hodeskrape, og prøvde å finne ut hvorfor det var åpenbart, etterfulgt av » Aha! Det var åpenbart! «)
- Jeg antar at kommentaren din er en referanse til denne vitsen ? =)
- Akseptert fordi den ‘ er enda finere enn svaret jeg også lette etter, og dekker også en generalisering.
Svar
Plasser blyanten på linje 1.
Roter blyanten slik at den stemmer overens med linje 2. Du roterte den bare mot urviseren i vinkelen øverst på pentagrammet.
Nå roterer du den mot klokken igjen på linjen 3. Så igjen på linje 4, deretter 5, og til slutt tilbake til 1. Du har nettopp rotert blyanten din gjennom alle fem vinklene på pentagrammet i rekkefølge.
Og hva skjedde? Blyanten ligger nå på samme linje som den startet på, og peker i motsatt retning.Hvis du sporer hvilken retning blyanten peker på hvert trinn, kan du se at du totalt roterte den mot klokken en halv omdreining. Hvorfra, $ 180 ^ \ circ $.
Kommentarer
- Dette vil være et vakkert bevis hvis du justerer det for å utelukke muligheten for at du har rotert blyant gjennom et annet oddetall på $ 180 ^ \ circ $. Med dette heptagrammet ender også blyanten med å peke motsatt vei, men har rotert gjennom $ 540 ^ \ circ $
- Det er en kontinuerlig deformasjon fra referansepentagrammet til ethvert deformert pentagram. Dermed kan ikke rotasjonen hoppe fra ett multiplum av 180∘ til et annet.
- I utgangspunktet kan alle $ \ {m: n \} $ – gram hvor $ n < \ frac m 2 $ roterer $ 360 \ ganger (\ frac m 2 – n) $ grader.
- Fin forklaring Lopsy … enkel, ren 🙂 Jeg skulle si, ta 4 vinkler og visuelt begynn å redusere dem til 0 .. tenk på hvordan stjernen ser ut når dette skjer … 5. vinkel fortsetter å vokse for å imøtekomme … til 4 vinkler er 0, og den femte er 180 (dvs. en rett linje) ..: ) Men jeg liker Lopsy ‘ sin forklaring bedre ..;)
- Det fine med dette svaret er at det ikke ‘ t leses som et matematisk bevis. Alle kan forstå det.
Svar
Her er enda et bevis.
Etikett punktene som vist, og tegne linjesegment-CDen. Bruk A, B osv. for å angi vinklene vi blir bedt om å finne summen av.
Nå
$ \ vinkel ADC + \ vinkel DCA + A = 180 ^ \ circ $ (vinkler i en trekant)
Så det er tilstrekkelig å bevise det
$ \ vinkel ADC + \ vinkel DCA = B + C + D + E $
Nå
$ \ vinkel ADC = D + \ vinkel BDC $ og $ \ vinkel DCA = C + \ vinkel ECD $
Så det er tilstrekkelig å bevise at
$ \ vinkel BDC + \ vinkel E CD = B + E $
som åpenbart er sant fordi
LHS er supplement til $ \ vinkel DFC $ og RHS er supplement til $ \ vinkel EFB $ , der $ \ angle DFC $ og $ \ vinkel EFB $ er like fordi de er loddrett motsatt .
Kommentarer
- Dette er svaret jeg lette etter.
- Så, ganske mye, kan du destillere denne løsningen til to regler: vinkler i trekanter = 180 og motsatte vinkler på to kryssende linjer er like.
- @randal ‘ thor Denne løsningen innebærer også tillegg, så ville ikke overholde begrensningene dine, eller du bør endre restriksjonene dine.
- Ja, jeg skulle si at dette er som ikke-den- men en av de mest matte -ish svar på her. Fraværet av regning betyr ikke at den ikke er ‘ t matematikk …
Svar
Summen av de indre vinklene til en femkant er alltid 540 °.
Vinkelen til hvert utvendige punkt er alltid summen av de to tilstøtende innvendige vinklene – 180 °. Vi kan si dette siden, gitt interne vinkler A og B, er vinklene til trekanten 180 – A, 180 – B, X. Ved definisjon av vinkler i en trekant er X lik $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Hver innvendige vinkel på femkant brukes to ganger, og det er 5 poeng, så $ (2 \ ganger 540) – (5 \ ganger 180) = 180 ° $
Kommentarer
- Jeg tror dette er grad 9-geometri som peker ut hodet …
- Dette er mer komplisert enn beviset jeg tenkte på. Jeg kan redigere spørsmålet for å begrense de mulige bevisene litt mer, men jeg ‘ Jeg vil fortsatt gi deg +1. Kan du rettferdiggjøre den andre setningen din? Jeg forstår ikke ‘ t hva tredje setning sier.
- Hvis vi lar A og B være to tilstøtende innvendige vinkler av femkant, så er vinkelen på poenget i trekanten er 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Fint bevis, men det ville vært kult hvis du kunne bruke et bilde eller 2, eller til og med en gif!
- Jeg tror det ‘ er mulig å generalisere dette beviset for å vise at vinklene på punktene til hvilken som helst n -gramsummen til $ 180 ^ \ circ $ forutsatt at formen forbinder hvert punkt med to tilstøtende punkter på n -gonen.(Legg merke til at det unikursale heksagrammet ikke ‘ ikke oppfyller tilkoblingskriteriet. Heksagrammet er heller ikke dannet av to trekanter; og bare en av de to unicursale heptagramene gjør det.)
Svar
Her er det nok et pent bevis, denne gangen ved induksjon. Vi kan lage pentagrammet ved å starte med det vanlige og fire av punktene suksessivt. Så det er tilstrekkelig å bevise at
å flytte et punkt i et pentagram ikke endrer summen av vinklene ved peker
La «s
flytt punkt A til A» og ring både vinkelen ved A og vinkelen ved A «toppvinkelen
Vi får dette:
Det er tilstrekkelig å bevise at
endringen i toppvinkelen og endringene i vinkelen er ved C og D sum til null.
På dette nye diagrammet
vi viser
endringen i toppvinkelen som $ xw $ og endringene ved D og C som $ -y $ og $ z $,
og vi må bevise at
$ xw-y + z = 0 $, eller med andre ord at $ x + z = w + y $,
som er åpenbart, som før, fordi
LHS og RHS er komplementene til vertikalt motsatte vinkler ved G.
Svar
En annen tilnærming:
Starter med den vanlige stjernen, Vi vet at $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. La oss nå tegne et linjesegment som vist i diagrammet.
Merk at $ B, D, E $ forbli uendret! Fra våre observasjoner ser vi at $ Y = C – X $ og $ Z = A + X $.
Dermed er summen av poengene til vår nye stjerne $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Så vi kan fortsette å tegne segmenter og lage nye stjerner (og skalere dem) til vi når ønsket form.
Kommentarer
- Hyggelig, men kan du kanskje legge til noe for å gjøre det mer intuitivt at du kan lage en generelt uregelmessig pentagram med en sekvens av trekk av ett punkt langs en av linjene gjennom det punktet og omskaleringer.
- Jeg kunne prøve om bare geometri ikke skadet ‘ t hjernen min så mye D:
Svar
Det er uunngåelig at noen aritmetikk må gjøres – den tiltenkte konklusjonen er tross alt kvantitativ – så utfordringen skal ikke være t o skjul aritmetikken, heller ikke å kalle den med noe annet navn, men for å gjøre den åpenbar og død enkel. Følgende argument reduserer aritmetikken til å observere at fem er en mer enn fire (og at en helhet er to ganger halvparten, et faktum brukt i forbifarten).
Stjernen snor seg to ganger rundt sentrum, og derfor må den som krysser den, snu to fulle sirkler (fire halvsirkler). All dreining skjer bare i toppunktene, hvor maksimumsbeløpet er en fullstendig ansikt på halvparten av en sirkel. For fem hjørner som vil være fem halvsirkler, eller en halvsirkel til enn det som faktisk er snudd: 180 grader. Mangelen mellom dette maksimale og svingmengden som faktisk oppnås, er nøyaktig summen av innvendige vinkler, QED.
Denne tilnærmingen er den som tas i moderne matematikk (dvs. etter 1700-tallet). Den generaliserer til vilkårlige figurer av vilkårlige dimensjoner tegnet i andre figurer som de selv kan bli buet. Det er kjent som Gauss-Bonnet-teorem .
Svar
Det er en sirkelbasert setning som sier «Tiltaket for en innskrevet vinkel er halvparten av målet for buen den avskjærer.» Dette betyr at for vinkel x vil buen den avlytter være 2x . 
Nå, hvis du skriver stjernen inn i en sirkel, får du denne:
Merking av forrige tegning, du får denne;
Med denne teoremet vet vi at vinkelen ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, og ∠ 5 = b / 2. Hvis vi distribuerer det, får vi ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Videre, Fordi målene for alle buer i en sirkel legger opp til 360, vet vi at a + b + c + d + e = 360 . Til slutt, ved å bruke substitusjonsegenskapen, får vi ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 , eller ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Dermed er summen av alle vinkler 180.
Kommentarer
- Det ‘ er en feil i argumentet ditt: ikke alle pentagram kan skrives inn i en sirkel.
- @ThomasKwa Kan du gi meg et eksempel?
- @ user1812 bare flytt et punkt i eksemplet ditt inn i eller ut av sirkelen. Det tar bare tre punkter å definere en sirkel, og et pentagram har fem.
Svar
Dette beviset i en sans er ingenting annet enn å telle graden av vinkler.
Husk at en femkant, enten den er vanlig eller uregelmessig, har sine indre vinkler til 540. Også, vinklene til et skjæringspunkt på 2 rette linjer summerer seg til 360, der også motsatte vinkler er kongruente.
Vurder de fem punktene i den sentrale femkant, punktene der skjæringen mellom to linjer forekommer. Rundt disse 5 punktene er 360 x 5 = 1800 grader totalt, og 5 x 4 = 20 vinkler å telle.
Av de 20 vinklene er 5 fra femkanten, fem flere er kongruente for dem. Så dette utgjør 540 + 540 = 1080 grader. Restene av 1800 – 1080 = 720 grader kommer fra innsiden av de fem trekantene.
5 trekanter inneholder 5 x 180 = 900 graders indre vinkler. 720 av disse gradene er i hjørnene av femkant / trekant / kryss.
Dette er på toppen av stjernen 900 – 720 = 180 grader.
Rediger: Aritmetikken her er rett og slett stenografisk for vinkel addisjon og subtraksjon, det samme som gjøres i andre svar.
Svar
Den sentrale Pentagon som A, B, C, D , E inneholder 540 GRADER
Sum de 5 parene supplerende vinkler dvs. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Denne 720 grader representerer «basen» vinkler av de 5 trekantene Som utgjør 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (de 5 vinklene som søkes.
De fem trekanter på punktene summerer til 5 * 180 = 900
Kommentarer
- Spørsmålet ber spesielt om å bevise det uten å bruke regneoperasjoner.