For å starte med et lekserproblem, ganske langvarig.
En massepartikkel lik 208 ganger massen til et elektron beveger seg i en sirkulær bane rundt en kjernekostnad $ + 3e $. Forutsatt at Bohr-modellen av atomet er anvendelig for dette systemet,
- Utled et uttrykk for en radius på $ n $ th Bohr-bane.
- Finn verdien på $ n $ for hvilken radiusen er lik radiene for første bane av hydrogen.
- Finn bølgelengden til strålingen som sendes ut når roterende partikkel hopper fra tredje bane til den første.
Nå gjorde jeg den første delen og fikk svaret riktig. Her er hva jeg gjorde.
Anta at massen av partikkelen som dreier seg er $ M $, dens hastighet er $ v $ og $ M = 208 m_ {e} $. Elektrostatisk kraft er sentripetal kraft Derfor
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Fra Bohr-modellen,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
der $ h $ er Plancks konstant. Derfor,
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Kvadrer det,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Likning på de to ligningene som har $ v ^ 2 $ i seg ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Etter å ha løst for $ r $, får vi noe sånt som dette,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Alt ovenfor er riktig. Problemet er i andre og tredje del; når jeg setter $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ får jeg IKKE det nødvendige svaret. For å nærme meg den tredje delen startet jeg med standard Rydberg-ligning,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Jeg plugget inn hver verdi, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; men igjen fikk ikke svaret riktig.
Svaret på den andre delen er 25 $ (n = 25) $; og til den tredje er 55,2 pikometre.
Svar
For å svare på den andre delen:
Vi vet $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Del en har en feil, som den er
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ innebærer & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Vi kjenner også Bohr-radiusen:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Derfor kan vi skrive og avbryte:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ derfor & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ derfor & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
Den tredje delen:
Rydberg Formula er gitt som
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
med Rydberg $ \ mathcal {R} $ konstant definert for et foton som sendes ut av et elektron. Vi antar at kjernens masse er 7 atomenheter (tre protoner + fire nøytroner). Når vi tar i betraktning at $ m_p \ ca. 1836m_e $ , kommer vi til
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nå må Rydberg-konstanten endres for å inkludere masse av partikkelen:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Med $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), fikk jeg til $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Uten å ta hensyn til den reduserte massen, dvs. $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ kom jeg til $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Begge verdiene ligger rimelig nær løsningen som er gitt.
(Hvis spørsmålet virkelig handlet om muon, er det mer nøyaktige vektforholdet 206,77 og de tilsvarende bølgelengdene 55,1 pm og 56,0 pm.)