Forskjell mellom hele tall og desimaltall

«Counting» (fører til tellende tall) er et spesielt tilfelle (med uklarheter) om «måling», der rollen som «mål / enhet» er mer synlig. Åpenbart (tror jeg) den naturlige enheten som er antydet i «telling» -situasjoner er en eller annen relevant-atomenhet (som «hel, operativ person», i stedet for ikke-så-funksjonell mindre del av en person).

p> Det vil si å telle implisitt mål med enhet det minste / atomiserbare / operative tiltaket (ofte så universelt implisitt at det er utenfor diskusjon).

En mer avancert analog oppstår når mer avanserte undergrader først blir utsatt for ideen om at uendelige summer (aka «serie») faller under paraplyen av «integraler», men med «tellende mål» … og at diskrete sett har minst ett naturlig regelmessig, positivt Borel-mål, nemlig tellende mål.

Kommentarer

• 1. Det var det jeg hentydet til i åpningssetningen min, og så er jeg selvfølgelig enig og jeg liker den spesielle fargen du gir til den. 2. Men hvordan svarer du på de veldig rå begynnende studentene som spør » Hvorfor kan ‘ ikke vi si 0,04 DekaPeople siden vi kan si 0,04 KiloPeople? På en eller annen måte hjelper ikke 0,04 DekaPeople = 0,4 People og 0,04 KiloPeople = 40 People: deres syn er at når vi opererer i det desimale metriske systemet, bør det ikke brukes noen fremmede hensyn, og ting bør ikke avhenge av om » nevner » er Folk eller liter melk .
• @schremmer, jeg ‘ d hevder at uten » bruk av fremmede hensyn » aritmetikken er fortsatt fornuftig, sikkert, men relevans / anvendelighet kan noen ganger lide. Kontekst betyr noe.
• Selvfølgelig er kontekst viktig som det skjer mesteparten av tiden. Disse er imidlertid såkalte utviklingsstudenter, og det er veldig vanskelig å ta hensyn til logikken.Men så, når de først begynner, blir de naturlig hengt på slike ting. Jeg prøver å fortelle dem at de alltid vil kunne fortelle fra » nevneren «, som de er enige om, men de insisterer fortsatt at » det burde være en regel » uavhengig av om vi snakker Folk av liter melk. Det er det jeg ikke ‘ ikke vet hvordan jeg skal svare.
• @schremmer, du kan fortelle dem at ikke alt (selv i matematikk) kan reduseres til en liste over entydige regler. Jeg innser at det er forskjellige utviklingssituasjoner, men jeg prøver likevel å forsikre studentene på alle nivåer om at de ikke ikke skal suspendere sin egen kritiske vurdering … men / og at de har et ansvar for bruke det, i stedet for bare å bruke magisk tenkning eller påberope uforklarlige » regler «.
• Mitt svar på et spørsmål som » Hvorfor kan ‘ t vi si 0,04 DekaPeople [0,4 personer] » er at vi absolutt kan si noe sånt. F.eks. Spørsmål: Hva er befolkningstettheten på Falklandsøyene per kvadratkilometer? Svar: 0,26 personer. lenke

Hvorfor kan vi ikke si » 0,04 mennesker » siden vi kan si » 0,04 KiloPeople «?

Noen mengder (f.eks. Personer) er diskrete mengder og noen (f.eks. meter, dollar) er kontinuerlige mengder.

Følgende diskusjon er fra her . (Jeg har lagt vekt på ordene » naturlig tall » og » desimal. «)

Klassifisering av mengder

En mengde er enten diskret eller kontinuerlig . En diskret mengde er størrelsen på et tellbart sett (et element der elementene er «gjensidig adskilt og individuelt forskjellige»). Tallverdien er et naturlig tall («inndeling i en mengde mindre enn en enhet kan ikke vurderes»), og dens enhet er klar i starten. Et eksempel på en diskret mengde er «tre gutter.»

En kontinuerlig størrelse er størrelsen på et «kontinuum» («en kontinuerlig enhet som kan deles inn i et hvilket som helst antall mindre deler» slik at «hvilken som helst to slike enheter kan kombineres til en større ”). Tallverdien (en desimal eller en brøkdel) og dens enhet «er ikke bestemt a priori . ” Et eksempel på en kontinuerlig mengde er «tre dollar.»

En kontinuerlig mengde er enten omfattende eller intensiv . Førstnevnte uttrykker bredde eller styrke (for eksempel areal eller vekt); sistnevnte uttrykker kvalitet eller intensitet (som tetthet eller hastighet). En omfattende mengde har additivitet: attributtet til foreningen av to legemer er lik summen av attributtene til de to kroppene. En intensiv mengde har ikke additivitet. For eksempel er vekten til to legemer nødvendigvis summen av vektene, men hastigheten til to legemer er ikke nødvendigvis summen av hastighetene.

Teksten er skrevet for matematikklærere, men den kan omformuleres for å bli lettere forstått av nybegynnere.)

Mitt originale svar (inkludert her for kontekst) som OP påpekte adresserte ikke det tiltenkte spørsmålet:

Noen mengder, for eksempel $ 1/3 $ liter, har desimale representasjoner ( $ 0. \ overlinje {3} $ liter), men ingen representasjoner for hele antall.

Kommentarer

• Hva har dette med mitt spørsmål å gjøre?
• Ditt spørsmål var » Hvor trekker du linjen mellom hele og desimal og hvordan forklarer du det til veldig rå begynnelse studenter som vil forstå ? » I foreslår at du trekker linjen når desimalrepresentasjonen ikke avsluttes, og at dette eksemplet skal være klart for » veldig rå begynnelse » studenter .
• @De veldig rå nybegynnere jeg har med å gjøre har ingen anelse om hva en desimal kan representere, enn si en desimalrepresentasjon som ikke avsluttes. Dessuten er 1/3 liter melk 1 , som er et helt tall som teller tingene _ betegnet_ som som det tar 3 å lage en liter melk så her er hele antall representasjoner.I alle fall har det lite å gjøre med det originale spørsmålet.
• Så hva med $ \ sqrt {2} $ meter, lengden på hypotenusen til en likestilt høyre trekant med hvert ben på lengden $ 1 $ måler? Vil du være enig i at den har en desimalrepresentasjon, men ikke en heltalrepresentasjon?
• Selvfølgelig, men hva har det med det opprinnelige spørsmålet å gjøre? Du svarer fortsatt på et spørsmål jeg spurte aldri . Spørsmålet jeg stilte snur: Hvorfor kan ‘ t vi si » 0,04 mennesker » siden vi kan si » 0,04 KiloPeople «?

Jeg tror forvirringen i stor grad er en konsekvens av det faktum at mange mennesker finner prefiksene til det metriske systemet ( kilo- , centi- osv.) ukjente, og finn desimaler (til og med terminerende) mindre intuitive enn de «vulgære brøkene» de representerer.

Hvis noen spurte meg «Hvordan kan 0,004 kilometer, et desimaltall, være det samme som 4 meter, et helt tall «? (som OP nevner i kommentarene under spørsmålet hans), vil jeg svare med noe sånt som dette:

Blir du også plaget av det faktum at $ 1 / 2 $ et dusin egg, en brøkdel, er det samme som 6 egg, et helt tall?

Hva som kommer neste, avhenger av spørsmålets svar Men la oss anta at de svarer med noe sånt som: «Ok, det antar jeg at jeg får det. Men hvorfor kan jeg si» 0,04 kilopere «, men jeg kan ikke si» 0,04 personer «?» I så fall vil jeg svare med :

Plages du også av at du kan koke et halvt dusin egg, men du kan ikke koke et halvt egg?

Poenget med disse svarene, for å være tydelige, er ikke å avslutte samtalen med en zinger, men heller å bringe til overflaten hva de underliggende problemene er: » 1 kilometer «betyr det samme som» 1000 mennesker «, og du kan ha halvparten av tusen mennesker på akkurat samme måte som du kan ha et halvt dusin egg. På den annen side kan du ikke ha $ 1/7 $ av tusen mennesker, på nøyaktig samme måte som du ikke kan ha $ 1/7 $ av et dusin egg.

Kommentarer

• Problemet mitt med et spørsmål som » Hvorfor kan ‘ t vi sier ‘ 0,04 Mennesker ‘ «, er at det virker for meg som om vi absolutt kan si det. For eksempel kan det være befolkningstettheten per kvadratkilometer i en bestemt region. Faktisk: 0,04 mennesker er faktisk nøyaktig befolkningstettheten (per km ^ 2) på Svalbard og Jan Mayen. lenke .
• @mweiss Utviklingsstudenter som begynner å stille spørsmål, liker ikke å bli besvart med et spørsmål. De vil avvise » Er du også plaget … » som en » lærer lure «. Senere, i diskusjonen, ville de selvfølgelig ikke ha noe imot din resonnement og ville faktisk gå med på det. Imidlertid, det jeg tror spørsmålet deres egentlig handler om, som jeg kommenterte til Paul Garrett, er: » når vi opererer i det desimale metriske systemet, bør det ikke benyttes fremmede hensyn og ting bør ikke avhenge av om » nevneren » er mennesker eller liter melk. »