Du kan knytte punkter på overflaten av en enhetssfære til rene spinntilstander på følgende enkle måte.

Et punkt på sfæren $ (n_x, n_y, n_z) $ er assosiert med en egenvektor til operatøren $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ med en positiv egenverdi og omvendt. Dette inkluderer alle spin 1/2 enkle partikkel spinntilstander.

Og dette er ikke tilfeldig eller visualisering eller matematikk. Hvis du har en Stern-Gerlach-enhet med magnetfeltinhomogenitet som peker i retningen $ (n_x, n_y, n_z) $, vil den konsekvent avbøye strålen i en bestemt retning når den har den tilstanden som er egen til $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Men er ikke dette veldig forvirrende? Hvis nord- og sørpolen velges, så er begge stater på samme linje og ikke ortogonal lenger,

Det er ikke forvirrende i det minste. Geometrien er relatert til retningen til den fysiske enheten i laboratoriet som staten gir pålitelige resultater til.Den motsatte orienterte enheten gir også pålitelige resultater. Dette er vanlig for ortogonale tilstander at teonorthgonal-tilstander kan være egne for den samme operatoren.

Så forskjellige punkter i Bloch-sfæren identifiserer forskjellige retninger som gir «opp» -resultatet for forskjellige tilstander. Ikke forveksle orienteringen av måleenheten i 3d-rom med geometrien til tilstandene i spinnrom.

så hvordan kan man velge et vilkårlig punkt $ p $ på overflaten av sfæren og eventuelt nedbryte den i form av $ 0,1 $ stater for å finne $ a $ og $ b $?

Det er omvendt. Hvordan bestemte du deg for å kalle en tilstand 0 og en annen 1? Du valgte en tilfeldig retning og kalte det z og orienterte enheten for å ha magnetfeltets inhomogenitet på den måten. Det ga deg en opp og en ned.

Men nå kan vi spesifisere hvilken som helst spinntilstand. På samme måte har du et vilkårlig punkt $ (n_x, n_y, n_z) $, og finn egenvektoren til $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Med positiv egenverdi. Kall det $ \ left | s \ right \ rangle, $ then $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ så det er $ a $ og $ b $ bortsett fra at du ikke vet den totale fasen og størrelsen, men en enkelt partikkel spinntilstand har ikke en av disse .

Betyr dette at man ikke skal betrakte Bloch-sfæren som et gyldig grunnlag for systemet vårt og at det bare er et visualiseringshjelpemiddel?

Nei, det betyr at du ikke burde forveksle geometri i laboratoriet med geometrien i Hilbert-rommet. Fysikk er en eksperimentell vitenskap, så de er absolutt relaterte, men de er ikke de samme.

Hvis du vil projisere en vektor på et eget rom, projiserer du ikke etikettene på hverandre. Du kan ha en spinntilstand og en annen spinntilstand, og når du setter en gjennom en Stern-Gerlach-enhet orientert for den andre, splittes den romlige frihetsgraden og skilles i en som er opp i den retningen og en som er romlig ned fra den retning og spinntilstand endres bokstavelig talt for å peke opp i strålen som romlig gikk opp og for å peke ned i strålen som gikk ned. Så den ene partikkelen har snurret seg sammen med sin egen posisjon.

Størrelsen på Hilbert Projection forteller deg størrelsen på de romlige delene som ble avbøyd og delt. Men du trenger ikke bokstavelig talt å huske slike regler. Hvis du skriver ned Schrödinger-ligningen for Stern-Gerlach-enheten, blir bjelken delt og skilt i deler av riktig størrelse, og spinnene justeres etter de to polarisasjonene, og det skjer uten at du ber deg om å gjøre det.

Så da er spinntilstanden klar. Det forteller deg hvilken retning det vil gå pålitelig hvis du gir det en sjanse. Og hvis du legger det i en annerledes orientert Stern-Gerlach, vil den bli tvunget til å gå i en av de to retningene som er tillatt av denne orienteringen, og den vil splitte og gå i begge. For å få størrelsene på hver del kan du utvikle Schrödinger-ligningen eller beregne egenvektorene til operatøren $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ og prikke den med egenvektoren til positiv egenverdi ortogonal til den andre vektoren.

Og ja, det er enklere måter å gjøre dette på, og mer kan du få ut av det. Men forhåpentligvis ser du den andre geometrien.

Kan du vise hvordan man får $ cos \ theta / 2 $ og $ e ^ {i \ phi } $ vilkår?

Jeg brukte Pauli-spinnoperatorene. Hvis du vil velge et grunnlag, kan du skrive dem som matriser (en operator er en funksjon i et vektorrom , en matrise står for en operatør etter at du har valgt et grunnlag; operatøren eksisterer og er den samme uansett hvilket grunnlag du kan velge eller ikke kan velge senere). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Og egenvektoren med positiv egenverdi er $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + i_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ med mindre $ n_z = 1 $ så er det $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ La oss ta for oss saken $ n_z = 1 $ først, i så fall $ a = 1 $ og $ b = 0 $ og $ \ theta = 0 $ så $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ fungerer alt.

Hvis du vil skrive egenvektoren som en enhetsvektor, får du $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Hvis du vil justere fasen slik at den første koordinaten er reell og positiv, får du $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ slutt {matrise} \ høyre). $

Resten er trigometri, f.eks. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Så vi trenger bare å vise at $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ og $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Sistnevnte er en trig identitet $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Førstnevnte er $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Kommentarer

• Hvorfor trenger vi en 3D-sfære og ikke bare en sirkel i et plan? Hvis vi forestiller oss qubit som de 2 mulige verdiene til et atoms spinn eller dets superposisjon … Hva ‘ er den fysiske betydningen av den azimutale vinkelen ϕ?

A. To-statssystemer

La et to-statssystem, tilstandene er uavhengige av tidskoordinatene. I dette tilfellet har systemet en ny grad av frihet . Et klassisk eksempel er en partikkel med spinnvinkelmoment $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

La de to statene der svare til grunnleggende tilstander \ begin {ligning} \ vert u \ rangle = \ begynn {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {ligning} med navnet henholdsvis opp og ned tilstand.

En systemtilstand uttrykkes av tilstandsvektoren \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi, \ eta \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} De komplekse tallene $ \: \ xi, \ eta \: $ er sannsynlighetsamplitudene og de ikke-negative realene $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ sannsynlighetene for å være systemet i tilstanden $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ henholdsvis.

Hilbert-rommet i systemstatusene er i mange henseender identisk med (enhetssfæren til) det komplekse rommet $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

En observerbar av systemet vil bli representert av en $ \: 2 \ times2 \: $ hermitisk matrise A i skjemaet \ begin {ligning} A = \ begynn {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} så det lineære rommet til $ \: 2 \ times2 \: $ hermitiske matriser er i mange henseender identiske med $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Fra det vanlige grunnlaget for $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ konstruerer vi et grunnlag for dette matriserommet \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Nå, hvis de grunnleggende tilstandene $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ av ligning \ eqref {01} tilsvarer egenstatene til egenverdier $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ for en observerbar, så vil denne observerbare være representert av matrisen
\ begin {ligning} \ begynn {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} ikke inkludert i \ eqref {04}. Men i stedet for grunnlaget \ eqref {04} kunne vi bruke følgende lineære kombinasjoner av dem \ begin {align} E «_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E «_2 \! = \! E_2 \! = \! \ begynn {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E «_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E «_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} og endring av symboler og arrangement

\ begin {ligning} I = \ begynn {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ fet symbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} der $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ Pauli-matriser .

Nå angir de grunnleggende $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ av ligning \ eqref {01} er egenstater for $ \: \ sigma_3 \: $ så det er nødvendig å uttrykkes med abonnementet $ \: » 3 «\: $ \ begin {ligning} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Dette må gjøres for sannsynlighetsamplitudene $ \: \ xi, \ eta \: $ også \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {og} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {ligning} Årsaken til dette er at vi like bra kan bruke egenstatene $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ av egenverdier $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ av $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {ligning} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} slik at \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {og} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} eller relevant for $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {ligning} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {ligning} slik at \ begynn {ligning} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {hvor} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {og} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Egenstatene $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ vises skjematisk i Figur-04.

Nå, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ høyre) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Også \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ venstre (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ høyre) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} I ligninger \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} av $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ betegner vi det komplekse konjugatet av det komplekse tallet $ \: z \: $ og av $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ de virkelige og imaginære delene av $ \: z $ .

Siden $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ vi setter (se figur 01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {polar vinkel i forhold til $ x_3- $ akse} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {azimuthal vinkel med hensyn til $ x_3- $ akse} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Under disse definisjonene \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ venstre (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ høyre) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} og ligninger \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} gir følgende sannsynligheter \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ høyre) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Merk at tilstanden $ \ vert \ psi \ rangle $ av ligning \ eqref {09} kan uttrykkes som \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} eller ignorerer fasen faktor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {ligning} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. On Sphere – In Ball

I figur-01 ser vi detaljene i definisjonene \ eqref {18a}, \ eqref {18b} og \ eqref {18c}. Dette er et plan fra et punkt på sirkelplanet $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ i Figur-03. Merk at denne figur-01 er gyldig hvis alle abonnement $ \: «3» \: $ vil bli erstattet av $ \ : «1» \: $ eller $ \: «2» $ . Definisjonen og betydningen av forskjellige punkter med er gitt i det følgende.

I figur-02 ser vi geometrien til ligningene \ eqref {21a}, \ eqref {21b} og \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Dette er et plan fra et punkt på det positive fra $ \: x_3- $ aksen.

Se en 3d-visning av figur-03 her

I figur-03 har vi en kule med diameter 1 i et tredimensjonalt rom $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ ikke identisk med det fysiske rommet. På sfæren representerer et punkt $ \: \ Xi \: $ en tilstand i systemet \ begynn {ligning} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Nå for $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punkt \ : \: på \: \: + 1/2 \: \: av \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \: \: representerer \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punkt \: \: på \: \: – 1/2 \: \: av \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \: \: representerer \: \ : \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = prosjekt tion \: \: av \: \: \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: probability \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = størrelsesorden \: \: av \: \: sannsynlighet \: \: amplitude \: \: av \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = sannsynlighet \: \: av \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = sannsynlighet \: \: av \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm O _ {\ fettsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polær \: vinkel \: med \: respekt \: til \: \: x _ {\ fettsymbol {\ jmath}} \! – \ ! akse \ tag {26.08} \ etikett {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimuthal \: vinkel \: med \: respekt \: til \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! akse \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = halv \: \: polar \: vinkel \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radius \: av \: sirkelen, \: skjæringspunktet \: av \: sfæren \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: with \: the \: plane \: through \: point \: \ Xi \: normal \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Kommentarer

• som alltid fantastisk figur.
• Jeg vet ikke ‘ t forstår når du sier (05) er ikke ‘ t inkludert i (04), er ikke ‘ t $ E_3 $? Jeg forstår ikke ‘ t hvordan $ E_3 – E_4 $ ikke ‘ t har alle nuller og en -2
• @ gary69: Velkommen til PSE. Tusen takk for oppmerksomheten. Det var en skrivefeil i ligning $ \ eqref {04} $ jeg redigerte til høyre. Når du i fremtiden får omdømme du kan se redigeringshistorikken til svaret mitt, vil du merke at denne skrivefeilen ble laget i den 7. redigeringen av 25. august 2020.

Bare utvidet kommentar som effektiviserer det fine svaret til @Timaeus til en mer minneverdig form.

Tilstandsvektoren
$$ | \ psi \ rangle = \ begynn {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definerer en ren tilstandstetthetsmatrise gjennom projeksjonsoperatøren, $$ \ bbox [gul] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Legg merke til manifestinvariansen ved overfasing av $ | \ psi \ rangle $ .

generelle prinsipper «uttrykk for denne idempotente hermitiske tetthetsmatrisen er tydeligvis også $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ med $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Det vil si $ \ hat z $ aksen roterer til $ \ hat n $ aksen ved full (sammenhengende) rotasjonsvinkler , som angir et halvt vinkel (spinor, grunnleggende) operatoruttrykk.

Tenk på foton spinn

Å tenke på denne mer konkrete saken hjalp meg med å få noen nyttige bilder i hodet mitt. Det er til og med et velkjent og mer optikkorientert analog som er verdt å ha i bakhodet: Poincaré Sphere .

Photon spin er en to-staters kvantesystem , som som Frobenius nevner , er det Bloch-sfæremodellene.

Fotospinn er også enkelt å forstå / visualisere / manipulere eksperimentelt.

Fysiske polarisasjonsfiltre

Først la oss tenke på det mest konkrete mulig: polariseringsfiltrene.

Det er to typer polarisasjonsfiltre du kan tenke på:

• lineær polarisator, i en hvilken som helst vinkel mellom -90 og 90.

  F.eks her er en på 90 grader:

  

  og her er en på 45 grader:

  

  og her er en ved 0 grader:

  

  Kilde

  Wikipedia beskriver noen få måter å lage slike filtre på, og bildene ovenfor er Polariod-filtre , som brukes i solbriller og fotografering og derfor lett tilgjengelig .

  Fra kvantemekanisk synspunkt gjør 90- og 0-gradersorienteringen den samme målingen: den eneste forskjellen er at man lar foton passere, men den andre blokkerer den. Men vi kan bruke begge like bestem nivået for lineær vertikal polarisering av fotonet: du må bare ta komplementet til val ue.

  Og siden hver måling tilsvarer en Hermitisk matrise , kan vi representere både 0 og 90 med en enkelt matrise:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Og matrisen i 45 grader er:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• sirkulær polarisator, som som Wikipedia forklarer vanligvis er laget med en kvart bølgeplate + en lineær polarisator:

  

  Kilde .

  Den tilsvarende matrisen er:

  $$ M_i = \ begynn {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Matrisene ovenfor er de såkalte Pauli-matriser .

Noen interessante tilstandsvektorer

La oss nå gi navn til 6 poler som representerer 6 mulige interessante fotontilstander på Bloch-sfæren , og prøv å forstå hvordan de samhandler med filtrene.

Kilde .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begynn {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineær 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineær 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begynn {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineær 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begynn {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineær -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {sirkulært med klokken} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {sirkulært mot klokken} \\ \ end {alignat *} $$

Det første vi legger merke til er at følgende par er alle baser:

• $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ og $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ og $ \ vert -i \ rangle $

Vi kan for eksempel representere:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Og så observerer vi også at:

• $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $ er egenvektorer av $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ og $ \ vert – \ rangle $ er egenvektorer av $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ og $ \ vert -i \ rangle $ er egenvektorer for $ M_i $

Hvis vi husker at resultatet av en måling i kvantemekanikk er egenvektoren til en egenverdi, med sannsynlighet proporsjonal med projeksjonen, får vi følgende prøvesannsynligheter for disse eksperimentene:

• $ \ vert 0 \ rangle $ state on:

  • lineær polarisator 90 °: 100% bestått

  • lineær polarisator 0 °: 0% bestått

  • lineær polarisator 45 °: 45% bestått, fordi:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • lineær polarisator -45 °: 45% pass

  • sirkulære polarisatorer: 45% pass.Dette er fordi en lineær tilstand 0 kan spaltes i to sirkulære polarisasjoner:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineær 90 °: 0% bestått
  • lineær 0 °: 100% bestått
  • lineær 45 °: 45% bestått
  • lineær -45 °: 45% bestått
  • sirkulær: 45% bestått
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineær 90 °: 45% bestått
  • lineær 0 °: 45% bestått
  • lineær 45 °: 100% bestått
  • lineær -45 °: 0% bestått
  • sirkulære polarisatorer: 45% bestått
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineær 90 °: 45% bestått
  • lineær 0 ° : 45% bestå
  • lineær 45 °: 45% bestå
  • lineær -45 °: 45% bestå
  • sirkulært med klokken: 100% bestå
  • sirkulært mot klokken: 0% pass

Relativ fase

En viktig semiklassisk intuisjon å huske er at:

sirkulær polarisering == to ortogonale lineære polarisasjoner 90 grader ut av fase:

Kilde .

Så for eksempel i :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

vi har en 90 graders relativ fase på grunn av $ i $ relativ faseforskjell mellom $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Men i den diagonale er de i fase i forhold til $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

så den relative fasen er 0 for den.

Gå rundt sfæren

En vanlig måte å representere en tilstand i Bloch-sfæren på er å gi bare de to $ \ theta $ og $ \ phi $ vinkler som vist nedenfor:

Kilde .

Siden en kule er ikke-euklidisk, er en god måte å visualisere den å gå gjennom noen lettforståelige stier rundt den. På det følgende bildet gjør vi to baner:

• starter ved 0, går gjennom +, 1, -, og går tilbake til 0
• begynner ved 0, går gjennom i , 1, -i, og gå tilbake til 0

Kilde .

Gå fra + til i, -, -i og tilbake til + blir liggende som en øvelse: sirkelen vil bli en skrå formørkelse, og tynner ned mer og mer til en 45 graders linje.

Dette fører til en tydelig tolkning av vinklene:

• $ \ theta $ : jo større det er, desto mer sannsynlig er $ \ vert 1 \ rangle $ blir sammenlignet med $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : den relative fasen mellom $ \ vert 0 \ rangle $ og $ \ vert 1 \ rangle $ . Denne relative fasen kan ikke oppdages av en vertikal eller horisontal polarisator

Hvordan kan vi gå ned fra 4 reelle tall til bare 2 i staten ?

På Bloch-sfæren kan vi representere tilstand med bare to reelle parametere: vinklene $ \ theta $ og $ \ phi $

Men i de mer eksplisitte fullstatusvektorene ser det ut til å være to komplekse tall, og derfor 4 reelle tall:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Hvorfor ett av tallene må fjernes er enkelt: den totale sannsynligheten må være 1, og så:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

så på det tidspunktet er vi allerede begrenset til en 3-sfære .

Den andre er mer interessant: vi kan fjerne en annen parameter fordi den globale fasen av staten ikke kan oppdages av noen eksperimenter og så vi står fritt til å velge det vilkårlig.

En global fase er et tenkt tall. Modulen til dette tallet må være 1 for å opprettholde den totale sannsynligheten. Eksperimenter kan ikke oppdage globale faseforskyvninger fordi resultatene av måling:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

på et av filtrene er det samme som for måling:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

fordi $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Et naturlig valg er derfor å velge en global fase som roterer tilstanden slik at multiplikatoren på $ \ vert 0 \ rangle $ blir et reelt tall, dvs. å sette $ b = 0 $ .

Så for eksempel ved å multiplisere med et imaginært tall, vi kunne kartlegge mer generelle tilstander i mer begrensede som

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ slutt {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Hvorfor er det nøyaktig tre Pauli-matriser?

Jeg tror det er dype og tydelige matematiske grunner som forklarer dette, knyttet til at de er et grunnlag for 2×2 Hermitisk matriksrom som nevnt på: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 og https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states og det er kjernen i spørsmålet om hvorfor Bloch-sfæren er brukt, men jeg har ikke forstått det helt.

Men mer praktisk: de tre måleenhetene vi ønsker cribed er de eneste tre mulighetene (opp til globale rotasjoner) slik at etter at du har gått gjennom en, mister du all informasjon om de to andre (50% sannsynlighet for de to andre eksperimentene).

Derfor er de ortogonale i en viss forstand, og maksimalt ettersom det ikke er noe annet eksperiment som vi kan legge til det settet med eksperimenter slik at denne egenskapen har.

Spill med Quirk

https://algassert.com/quirk

Dette er et annet verdifullt forslag. Klikk på bildene til det hele gir mening.