Jeg har en kontinuerlig stråle over en midtkolonne (ikke sikker på om jeg har tegnet den riktig eller ikke)
Forskyvnings- og kraftdiagrammet er som vist:
Det første diagrammet er bøyemomentet, det andre aksialkraften, det tredje er forskyvningen.
Nå, hva er grensebetingelsen på $ R_A $, $ R_B $ og $ R_C $?
Fra det jeg kan utlede, ser det ut til å være
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (tilsvarer avbøyningen ved de tre støttene)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, eller $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (tilsvarer øyeblikket).
Men jeg mistenker at jeg fortsatt mangler noen randbetingelser for å utlede det komplette forskyvnings- / kraftdiagrammet for fortsettelsen ous stråle. Er det noen randbetingelser som jeg «har savnet?
Svar
Vel, du mangler kompatibiliteten til bakkene ved midtstøtten :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
I tilfelle symmetrisk geometri & belastning, vil hellingen til bjelken ved midtstøtten være null.
Siden bøyemomentet ikke har noe derivat ved x = L, vil du trenger å utlede avbøyningene til de to halvdelene hver for seg og «bli med» dem med kompatibilitet.
Oppdatering: avledning av formel for strålebøyning:
Starter fra Euler-Bernoulli strålegning (forutsatt konstant EI), og tar x fra det ytre støtter mot midten: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrering fire ganger:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Hvis du merker at problemet er symmetrisk, er grensebetingelsene: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Derfor kan vi umiddelbart se at: $ B = D = 0 $
Vi har nå to ligninger med to ukjente (A, C). Løsning finner vi: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Vi kan nå erstatte alle konstantene tilbake i ligningen for w. Forenkling av resultatene i:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Hvilket er identisk med det refererte resultatet her (merk at deres koordinatsystem har x = 0 i sentrum). Legg også merke til hvordan dette er nøyaktig det samme resultatet som en støttet utkrag . Dette skyldes symmetri, noe som betyr at bjelkehellingen i sentrum er null (som er den samme grensetilstanden som en utkragestøtte).
Du kan også erstatte ligningen for bøyemomentet:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Kommentarer
- a) Kompatibiliteten til hellingsforhold er bare nyttig hvis man kan modellere den kontinuerlige bjelken som to spennbjelker. Hvordan er det nyttig i dette tilfellet? b) Hvorfor sier du at bøyemomentet er uavbrutt på $ L $? øyeblikksdiagrammet i spørsmålet mitt viser tydelig at det er kontinuerlig.
- Ville være takknemlig hvis du kan utdype litt, og om du kan vise hvordan grenseforholdene dine kan føre til forskyvnings- / bøyemomentdiagrammet for kontinuerlig stråle .
- @ Graviton, a) Jeg vil oppdatere spørsmålet med avledningen. b) du har rett, jeg var litt løs med min matematiske terminologi. Det jeg mener er at bøyemomentet ikke har noe derivat ved x = L.