La meg først minne deg på (eller kanskje introdusere deg for) et par aspekter av kvantemekanikk generelt som modell f eller fysiske systemer. Det ser ut til at mange av spørsmålene dine kan bli besvart med en bedre forståelse av disse generelle aspektene, etterfulgt av en appel til hvordan spinnsystemer fremstår som et spesielt tilfelle. / div> Generelle bemerkninger om kvantetilstander og måling.

Tilstanden til et kvantesystem er modellert som et enhetslengdeelement $ | \ psi \ rangle $ av et komplekst Hilbert-rom $ \ mathcal H $, en spesiell type vektorrom med et indre produkt. Hver observerbar mengde (som momentum eller spinn) assosiert med et slikt system hvis verdi man kanskje vil måle, er representert av en selvtilstøtende operatør $ O $ på det rommet. Hvis man bygger en enhet for å måle en slik observerbar, og hvis man bruker den enheten til å gjøre en måling av den som kan observeres på systemet, vil maskinen sende en egenverdi $ \ lambda $ av den observerbare. Hvis systemet dessuten er i en tilstand $ | \ psi \ rangle $, er sannsynligheten for at resultatet av å måle den størrelsen vil være egenverdien til den observerbare \ begynner {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} hvor $ | \ lambda \ rangle $ er den normaliserte egenvektoren som tilsvarer egenverdien $ \ lambda $.

Spesialisering for spinnsystemer.

Anta nå at systemet vi vurderer består av spinn av en partikkel. Hilbert-rommet som modellerer spinntilstanden til et system med spin $ s $ er et $ 2s + 1 $ dimensjonalt Hilbert-rom. Elementer i dette vektorområdet kalles ofte «spinorer», men la ikke dette distrahere deg, de er akkurat som alle andre vektorer i et Hilbert-rom hvis jobb det er å modellere kvantetilstanden til systemet.

De primære observasjonene hvis måling man vanligvis diskuterer for spinnsystemer er de kartesiske komponentene i spinnet til systemet. Med andre ord er det tre selvtilknytende operatører som vanligvis kalles $ S_x, S_y, S_z $ hvis egenverdier er de mulige verdiene man kan få hvis man måler en av disse komponentene i systemets spinn. Spekteret (sett med egenverdier) til hver av disse operatorene er det samme.For et system med spinn $ s $ består hvert av spektrene deres av følgende verdier: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} hvor i notasjonen min $ i = x, y, z $. Så hvis du for eksempel bygger en maskin for å måle $ z $ -komponenten i spinnet til et spinn- $ 1 $ -system, vil maskinen gi en av verdiene i settet $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ hver gang. Tilsvarende hver av disse egenverdiene har hver spinnkomponentoperatør en normalisert egenvektor $ | S_i, m_i \ rangle $. Som angitt av de generelle merknadene ovenfor, hvis tilstanden til systemet er $ | \ psi \ rangle $, og man vil vite sannsynligheten for at målingen av spinnkomponenten $ S_i $ vil gi en viss verdi $ m_i \ hbar $ , så beregner man bare \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} For eksempel, hvis systemet har spinn- $ 1 $, og hvis man vil vite sannsynligheten for at en måling på $ S_y $ vil gi egenverdien $ – \ hbar $, så beregner man \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinors.

I ovennevnte sammenheng er spinorer ganske enkelt matrisepresentasjoner av tilstander til et bestemt spinnsystem på et bestemt ordnet grunnlag, og Pauli-spin-matriser er, opp til en normalisering, matriksrepresentasjonene av spinnkomponentoperatørene på det grunnlaget spesielt for et system med spinn- $ 1/2 $. Matriserepresentasjoner letter ofte beregning og konseptuell forståelse. Derfor bruker vi dem.

Mer eksplisitt, anta at man anser et spin- $ 1/2 $ -system, og man velger å representere stater og observerbare i grunnlaget $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ bestående av de normaliserte egenvektorene til $ z $ -komponenten i spinn, så vil man finne følgende matrise-representasjoner på det grunnlaget \ begynner {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Legg merke til det disse representasjonene er nettopp Pauli-matriser opp til den ekstra $ \ hbar / 2 $ faktoren. Videre vil hver tilstand i systemet være representert med en $ 2 \ ganger 1 $ matrise, eller «spinor» \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Og man kan bruke disse representasjonene til å utføre beregningene som er nevnt ovenfor.

Kommentarer

• Tusen takk; dette hjalp meg til å forstå veldig. Er det bare konvensjon at egenstatene som returnerer negative egenverdier, er spinn ‘ ned ‘ og positiv spinn ‘ opp ‘? For å sjekke forståelsen min har jeg ‘ prøvd å beregne eksemplet jeg brukte ovenfor: er det sant at en spin-1-partikkel målt til å være oppe i x-dimensjonen (egenverdi hbar) vil være i normalisert tilstand < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 >, og sannsynligheten for az dimensjon måling som returnerer opp vil da være 1/4, returnerende spinn null være 1/2 og ned 1/4?
• +1 Jeg liker spesielt » maskiner » i første avsnitt – veldig feynmanisk i smaken. Jeg kjempet i mange år for å » forstå » QM: Matematikken og Lie-teorien ble vant til meg, men det tok lang tid for meg å forstå at » operatorer » ikke bare operatører, men også kom med en spesiell oppskrift på hvordan man skal tolke dem som modeller for » målemaskiner «. Dessverre kan jeg ‘ ikke huske om det var Feynman-forelesningene eller Sakurai som fikk beskjeden gjennom, eller om det faktisk var en blanding av de to i tankene mine i dusjen eller mens å gå, men dette er det jeg anbefaler folk nå.

Grupper er abstrakte matematiske strukturer, definert av deres topologi (i tilfelle kontinuerlige (Lie) grupper) og multiplikasjonsoperasjonen.

Men det er nesten umulig å snakke om abstrakte grupper. Det er grunnen til at elementer av grupper vanligvis blir kartlagt på lineære operatorer som virker på noe vektorrom $ V $:

$$ g \ i G \ rightarrow \ rho (g) \ i \ text {End} (V ), $$

der G er gruppen, $ \ text {End} (V) $ står for endomorfismer (lineære operatorer) på $ V $, og $ \ rho (g) $ er kartleggingen .For at denne kartleggingen skal være meningsfull, må vi kartlegge gruppemultiplikasjonen riktig:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Det omvendte er også kartlagt til

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

og gruppeidentiteten er bare

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Dette kalles representasjonen av gruppen $ G $. $ V $ transformeres under representasjonen $ \ rho $ for gruppen $ G $.

I ditt tilfelle er interessegruppen gruppen rotasjoner i 3 dimensjoner som vanligvis betegnes som SO (3). Målet vårt er å finne forskjellige objekter som kan roteres, dvs. representasjoner (og representasjonsrom) av SO (3).

En slik representasjon er den definerende representasjonen (som brukes til å definere SO (3)) , eller vektorrepresentasjonen. I dette tilfellet er $ V $ bare $ R ^ 3 $ og matriser fra $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ er ortogonale $ 3 \ ganger 3 $ matriser med enhetsdeterminant:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Så vektorer kan roteres i tre dimensjoner. Resultatet av en slik rotasjon med $ g \ i \ text {SO (3)} $ bestemmes ved å handle på den opprinnelige vektoren med operatøren $ \ rho (g) $.

En annen representasjon er spinoren representasjon. Vektorrommet er nå 2-dimensjonalt og komplekst . Bildet av denne representasjonen består av enhet $ 2 \ ganger 2 $ med enhetsdeterminant:

$$ A ^ {\ dolk} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Denne representasjonen er ikke så åpenbar som den forrige, siden spinorer er noe vi vanligvis ikke ser i hverdagen. Men det kan matematisk bevises at disse representasjonene er isomorfe og derfor er to forskjellige representasjoner av samme gruppe (faktisk er de homomorfe og spinorepresentasjon er det doble dekket av vektorrepresentasjonen).

Nå til Pauli-matriser. Det er et generelt prinsipp: for hver Lie-gruppe $ G $ finnes det en tilsvarende lineær space (Lie algebra) med en Lie-brakett (en antikommutativ operasjon som tilfredsstiller Jacobi-identiteten) som unikt kartlegges på et eller annet nabolag i gruppeenheten på $ G $. Denne kartleggingen kalles eksponentiell.

Så du kan skrive en vilkårlig (nær nok enhet til at globale topologiske problemer kan unngås) $ 2 \ ganger 2 $ kompleks matrise fr om spinor-representasjonen i form

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

hvor $ \ alpha ^ a $ er tre tall som parametriserer gruppeelementet som har representasjon $ A $, og $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ er Lie algebra-basis, med $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ ganger 2 $ Pauli-matriser. Denne ligningen spesifiserer ganske mye hvordan en spinor transformeres under en vilkårlig rotasjon.

I vektorrepresentasjonen er det også en Lie algebra-basis, som består av 3 $ 3 \ ganger 3 $ matrikser.

Det er to andre tolkninger av Pauli-matriser som du kan finne nyttige, men bare etter at du forstår JoshPhysics gode fysiske beskrivelse . Følgende kan tas mer som » funky trivia » (at i det minste synes jeg de er interessante) om Pauli-matriser i stedet for en fysisk tolkning.

1. Som grunnlag for $ \ mathfrak {su} (2) $

Den første tolkningen blir forskjellig sett på som (i) de er enhet quaternions, modulo et tegnendring og omorganisering av matematikerens definisjon av disse dyrene , (ii) som grunnlag for Lie-algebra $ \ mathfrak {su} (2) $ av $ SU (2) $ når vi bruker matrisen eksponentiell for å gjenopprette gruppen $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ gjennom (iii) en tredimensjonal generalisering av De Moivre «teorem .

En generell, sporløs, $ 2 \ times2 $ skjev hermitisk matrise $ H $ kan dekomponeres unikt som:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

med $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ i \ mathbb { R} $ . Denne matrisen oppfyller den karakteristiske ligningen $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , der $ \ mathrm {id} $ er $ 2 \ times2 $ identitet og $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Så hvis vi distribuerer den universelt konvergerende matriseeksponensielle Taylor-serien, og deretter reduserer alle krefter på $ H $ høyere enn den lineære termen med den karakteristiske ligningen, får vi: / p>

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

som er sett på som en generalisering av De Moivres formel for » ren imaginær » enhet

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

og alle medlemmene av $ SU (2) $ kan realiseres av en eksponentiell som i (2) (men vær oppmerksom på at den eksponentielle av en Lie-algebra, selv om hele $ SU (2) $ i dette tilfellet ikke alltid er hele Lie-gruppen med mindre lat ter er (i) tilkoblet og (ii) kompakt). Dermed kan hvert medlem av $ SU (2) $ spaltes som en » superposisjon på Pauli-matriser og identitetsmatrise.

Årsaken til faktoren 2 i definisjonen $ \ theta / 2 $ er så langt mystisk: vitne om at i den hensikt ovennevnte kan vi like gjerne ha byttet ut $ \ theta / 2 $ med $ \ theta $ . Årsaken er relatert til forholdet mellom Pauli-matriser og himmelsfæren, som jeg diskuterer senere. Kvaternioner representerer rotasjoner gjennom et spinorkart ( MEN , som Joshphysics anbefaler, ikke bli distrahert for mye av dette ordet); hvis en vektor i 3-mellomrom er representert av et rent tenkt kvadrat av formen $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , deretter bildet under en rotasjon av vinkelen $ \ theta $ om en akse med retning cosinus $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ er gitt av:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dolk; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Dette spinorkartet er et eksempel på gruppen $ SU (2) $ handler på egenhånd Lie algebra gjennom den tilstøtende representasjonen. Det kan forstås intuitivt når det gjelder en trekantregel for å utarbeide komposisjonene av to rotasjoner, som skissert i diagrammet mitt nedenfor. Buene på enhetens kule representerer en rotasjon gjennom en vinkel som er dobbelt så stor som gitt av vinkelen som er bøyet av buen ved opprinnelsen. >

Jeg forklarer dette i detalj i Eksempel 1.4 » $ 2 \ times2 $ Unitary Group $ SU (2) $ » på websiden min » Noen eksempler på tilkoblede løgngrupper » her .

Det er også min interaktive Mathematica-demonstrasjon » $ SU (2) $ Spinor Map: Rotation Composition by Graphical Quaternion Triangles » på Wolfram-demonstrasjonssiden .

2. Den himmelske sfæren

Ved å utvide det tredimensjonale lineære rommet til superposisjoner av Pauli-matriser (som er det samme som det lineære rommet til sporløs $ 2 \ times2 $ skjev-hermitiske matriser) til det 4-dimensjonale rommet som er spenstig av Pauli-matriser og identitetsmatriser, deretter enhver transformasjon fra gruppen $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ virker på vektorer med skjemaet $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ av samme spinorkart som i (4). Hvis vi begrenser oss til projiserende stråler i dette rommet, er gruppen $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ isomorf til Moebius-gruppen på Möbius-transformasjoner virker på dette strålingsrommet på nøyaktig samme måte som Möbius (fraksjonelle lineære) transformasjoner virker på Riemann-sfæren. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ er et dobbelt omslag av Lorentz-gruppen, og du kan beregne hvordan visningen til en romfarer endres når de gjennomgår Lorentz-transformasjoner. Se seksjonen » Lorentz Transformations » på Wikipedia » Möbius Transformation » side for ytterligere detaljer.

En generell mekanisk forklaring. Felt og bølger følger hyperbolske ligninger (bølgelikninger). Disse representerer fremskritt i rom og tid, og kan som sådan ikke representere masse som trenger å være stasjonær, men som også kan spinne. Slik bevegelse trenger en elliptisk ligning. Som et eksempel er Kline-Gordon-ligningen hyperbolsk, mens Dirac-ligning er elliptisk. I flytende væsker er det et parallelt eksempel. Virvler og turbulens kan ikke dannes uten hjelp av en grense – for å avlede strømmen fra å gå videre til den sirkulerende tilstanden. Den første regionen er hyperbolsk og den andre er elliptisk.

Nå for å skape en partikkel (spinnende energi) fra et felt (beveger seg i posisjon) må vi avbøye / rotere retning av feltet. Dette hvor Pauli-matriser kommer for å få hjelp, og gir den nødvendige ellipticiteten. Dette er grunnen til at imaginære tall / rotasjon brukes. Ved å multiplisere en størrelse med i, roterer den 90 grader, for en generell vinkel bruker vi eksponensialet til en imaginær størrelse.

Senere når vi blander Lagrangians av bølger og partikler i en mer generell modell, går vi tilbake å bruke Higgs til å gjøre den samme jobben med å transformere fra en type energi til den andre – det vil si fra felt til partikler og omvendt.