Mange steder i statistisk fysikk bruker vi partisjonsfunksjonen . For meg er forklaringene på bruken tydelig, men jeg lurer på hva deres fysiske betydning er. Kan noen vennligst forklare med et godt eksempel uten for mange matematiske komplikasjoner?
Kommentarer
- Bortsett fra å være en normaliseringsfaktor, er mange av dens viktige trekk for beregninger oppstår fra dens likhet med Z og Laplace-transformasjoner, takket være den eksponentielle-med-energi Boltzmann-fordelingen, som er en slags " co-indidence " ved at de ikke ville ' ikke jobbe med en annen fordeling.
- Leste du " som betyr " seksjon i Wikipedia-artikkelen ? Hvis ja, hva tilfredsstiller deg ikke ' om " det koder hvordan sannsynlighetene er delt mellom de forskjellige mikrostatene " ?
- Mulig duplikat av Den urimelige effektiviteten til partisjonsfunksjonen
Svar
Delingsfunksjonen er et mål på volumet som systemet okkuperer i faseplass. I utgangspunktet forteller den deg hvor mange mikrostater som er tilgjengelige for systemet ditt i et gitt ensemble. Dette kan lett sees fra mikrokanonisk ensemble .
I det mikrokanoniske ensemblet, der hver mikrostat med energi mellom $ E $ og $ E + \ Delta E $ er like sannsynlig, delingsfunksjonen er
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
der integralet bare er hypervolumet i regionen av faseplassen der energien (Hamilton) $ \ mathcal H $ i systemet er mellom $ E $ og $ E + \ Delta E $, normalisert med $ h ^ {3N} $ for å gjøre det dimensjonsløst. Faktoren $ N! ^ {- 1} $ tar hensyn til det faktum at ved å bytte «etiketten» på to partikler endres ikke mikrostaten.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
forteller deg at entropien er proporsjonal med logaritmen til det totale antallet mikrostater som tilsvarer makrostatusen til systemet ditt, og dette tallet er bare $ Z_ {mc} $.
I de kanoniske og grand-kanoniske ensemblene forblir betydningen av partisjonsfunksjonen det samme, men siden energi ikke lenger er løst, vil uttrykket endre seg.
Den kanoniske partisjonsfunksjonen er
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
I dette tilfellet integrerer vi over hele faseplassen, men vi tildeler hvert punkt $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a vekt $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, hvor $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, slik at de stater med energi mye høyere enn $ k_B T $ er mindre sannsynlige. I dette tilfellet er forbindelsen med termodynamikk gitt av
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
hvor $ F $ er Helmholtz fri energi .
Den store kanoniske partisjonsfunksjonen er
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
hvor vi denne gangen også summerer over alle mulige verdier for antall partikler $ N $, og vekter hvert begrep med $ \ exp (\ beta \ mu N) $, hvor $ \ mu $ er kjemisk potensial .
Forbindelsen med termodynamikk er gitt av
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Svar
Det er $ e ^ {- F / T} $, der $ F / T $ er den frie energien som normaliseres av den aktuelle termodynamiske energiskalaen, temperaturen. Det eksponentielle er bare en monoton reparameterisering, så moralsk sett er partisjonsfunksjonen bare den frie energien som er tilgjengelig for gjør nyttig arbeid.
En annen tolkning: hvis normaliserer du det slik at $ E = 0 $ er grunntilstanden, og grovt sett er det den gjensidige av «brøkdelen av systemet som er i bakken.» Ekstremt heuristisk, la $ g $ være den totale mengden av systemet som er i bakken, $ e $ være den totale mengden av systemet som er i en avsluttet tilstand, og $ s = g + e $ være den totale mengden av systemet. Da er $ g / s $ den brøkdelen av systemet som er i grunntilstand, og dets gjensidige er $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Boltzmann-vekten gir at relativ vekt (eller «mengde») av hver eksiterte tilstand $ i $ med energi $ E_i $ i forhold til vekten av grunntilstanden er $ e ^ {- \ beta E_i} $.Når vi summerer alle de glade tilstandene $ i $, får vi partisjonsfunksjonen $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Svar
Partisjonsfunksjon fysisk betydning er følgende: Den uttrykker antall termisk tilgjengelige tilstander som et system gir til bærere (f.eks. elektroner).