Hva er en manifold?

I ikke-tekniske termer er en manifold en kontinuerlig geometrisk struktur med endelig dimensjon: en linje, en kurve, et plan, en overflate, en kule, en kule, en sylinder, en torus, en «klatt» … noe sånt som dette:

Det er et generisk begrep som brukes av matematikere å si «en kurve» (dimensjon 1) eller «overflate» (dimensjon 2), eller et 3D-objekt (dimensjon 3) … for enhver mulig endelig dimensjon $ n $. En endimensjonal manifold er ganske enkelt en kurve (linje, sirkel …). Et todimensjonalt manifold er ganske enkelt en overflate (plan, kule, torus, sylinder …). En tredimensjonal manifold er en «full gjenstand» (ball, full kube, 3D-rommet rundt oss …).

En manifold blir ofte beskrevet av en ligning: settet med poeng $ (x, y) $ som $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ er en endimensjonal manifold (en sirkel).

En manifold har samme dimensjon overalt. For eksempel, hvis du legger til en linje (dimensjon 1) til en sfære (dimensjon 2), er den resulterende geometriske strukturen ikke en manifold.

I motsetning til de mer generelle forestillingene om metrisk rom eller topologisk rom som også er ment å beskrive vår naturlige intuisjon av et kontinuerlig sett med punkter, er et manifold ment å være noe lokalt enkelt: som et endelig dimensjonsvektorrom: $ \ mathbb {R} ^ n $. Dette utelukker abstrakte rom (som uendelige dimensjonsrom) som ofte ikke har en geometrisk konkret betydning.

I motsetning til et vektorrom kan manifoldene ha forskjellige former. Noen manifolder kan lett visualiseres (sfære, ball …), noen er vanskelige å visualisere, som Klein-flasken eller ekte prosjektivt plan .

I statistikk, maskinlæring eller anvendt matematikk generelt brukes ordet «manifold» ofte for å si «som et lineært underområde», men muligens buet . Hver gang du skriver en lineær ligning som: $ 3x + 2y-4z = 1 $, får du et lineært (affint) underområde (her et plan). Når ligningen ikke er lineær som $ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $, er dette vanligvis et manifold (her en strukket kule).

For eksempel « mangfoldig hypotese «av ML sier» høydimensjonale data er punkter i et lavdimensjonalt manifold med høy dimensjonal støy lagt til «. Du kan forestille deg punkter i en 1D-sirkel med litt 2D-støy lagt til. Mens punktene ikke er akkurat på sirkelen, tilfredsstiller de statistisk ligningen $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. Sirkelen er den underliggende manifolden:

En (topologisk) manifold er et mellomrom $ M $ som er:

(1) «lokalt» «tilsvarer» $ \ mathbb {R} ^ n $ for noen $ n $.

«Lokalt» kan «ekvivalensen» uttrykkes via $ n $ koordinatfunksjoner, $ c_i: M \ til \ mathbb {R} $, som sammen danner en «strukturbevarende» funksjon, $ c: M \ to \ mathbb {R} ^ n $, kalt et diagram .

(2) kan realiseres på en «strukturbevarende» måte som en delmengde av $ \ mathbb {R} ^ N $ for noen $ N \ ge n $. (1) (2)

Merk at for å gjør «struktur» presis her, man trenger å forstå grunnleggende forestillinger om topologi ( def. ), som gjør det mulig å lage presise forestillinger om «lokal» oppførsel, og dermed «lokalt» ovenfor. Når jeg sier «ekvivalent», mener jeg ekvivalent topologisk struktur ( homeomorf ), og når jeg sier «strukturbevarende» mener jeg det samme (skaper en ekvivalent topologisk struktur).

Merk deg også at for å gjøre kalkulator på manifolder , trenger man en tilleggsbetingelse som ikke følger fra over to forhold, som i utgangspunktet sier noe sånt som «diagrammene er veloppdragen nok til at vi kan gjøre kalkulasjon». Dette er manifoldene som ofte brukes i praksis. I motsetning til generell topologisk manifolder , i tillegg til kalkulator tillater de også trianguleringer , noe som er veldig viktig i applikasjoner som din som involverer punktsky-data .

Merk at ikke alle bruker samme definisjon for et (topologisk) manifold. Flere forfattere vil definere det som bare tilfredsstillende betingelse (1) abo ve, ikke nødvendigvis også (2). Imidlertid er definisjonen som tilfredsstiller både (1) og (2) mye bedre oppført, derfor mer nyttig for utøvere. Man kan forvente intuitivt at (1) antyder (2), men det gjør det faktisk ikke.

EDIT: Hvis du er interessert i å lære om hva en «topologi» er, er det viktigste eksemplet på en topologi å forstå Euklidisk topologi på $ \ mathbb {R} ^ n $. Dette vil bli grundig dekket i enhver (god) innledende bok om «reell analyse» .

Kommentarer

• Takk for svaret: Kan du forklare hva en topologi er også i ikke-teknisk betegnelse? Er begrepet topologi og manifold brukt om hverandre? dimensjon må være et heltall? Hva er det er et reelt tall, så tror jeg strukturen er kjent som fraktaler hvis hele strukturen er sammensatt av hver underdel, er selv-repeterende.
• @RiaGeorge $ n $ står for et naturlig tall (heltall $ \ ge 1 $), det samme gjør $ N $. Det kan være mer avansert teori for brøk / r eal-verdsatte dimensjoner, men det kommer ikke ‘ opp så ofte. » Topologi » og » manifold » betyr to veldig forskjellige ting, så de er ikke utskiftbare termer. En » manifold » har en » topologi «. Topologifeltet studerer rom som har » topologier «, som er samlinger av sett som tilfredsstiller tre regler / betingelser. Et mål med å studere » topologier » er å beskrive på en konsekvent og reproduserbar måte forestillinger om » lokal » oppførsel.
• @RiaGeorge Aksiomene for en » topologi » finner du på Wikipedia-siden: en.wikipedia.org / wiki / General_topology # A_topology_on_a_set – merk også at lenken jeg ga deg for (ekvivalent) definisjonen av » topologi » når det gjelder nabolag pekt på noe relatert, men ikke det samme, har jeg redigert svaret mitt for å gjenspeile dette: en.wikipedia.org/wiki/… Merk imidlertid at definisjonen når det gjelder nabolag er vanskeligere å forstå (jeg forestiller meg at jeg kunne forstå det godt, men jeg vet ikke ‘ t bry deg også, fordi jeg ‘ er lat
• så uansett er det ‘ min personlige partiske mening om at du ikke ‘ t trenger å kjenne nabolagsdefinisjonen av topologi – bare vet at den enklere definisjonen gir deg alle den samme kraften i nabolagsdefinisjonen når det gjelder streng beskrivelse av lokal atferd, siden de er tilsvarende). Uansett, hvis du er interessert i fraktaler, vil du kanskje finne disse Wikipedia-sidene interessante – jeg kan ‘ ikke hjelpe deg med det mer, for jeg er ikke dypt kjent med teori og ikke ‘ ikke vet eller forstår de fleste definisjonene – jeg har bare hørt om noen av
• Dette er det eneste svaret så langt som betaler oppmerksomhet til den moderne matematiske ideen om å samle et globalt objekt fra lokale data. Dessverre gjør det ‘ det ikke helt til det nivået av enkelhet og klarhet som kreves av en » ikke-teknisk » konto.

I denne sammenheng er begrepet manifold nøyaktig, men er unødvendig høyfalutin. Teknisk sett er en manifold et hvilket som helst rom (sett med punkter med en topologi) som er tilstrekkelig glatt og kontinuerlig (på en måte som med en viss innsats kan gjøres matematisk veldefinert).

Tenk deg rommet av alle mulige verdier av dine opprinnelige faktorer. Etter en dimensjonal reduksjonsteknikk er ikke alle punkter i det rommet oppnåelige. I stedet vil bare poeng på noe innebygd underrom inne i det rommet være oppnåelig. Det innebygde underrommet tilfeldigvis oppfyller den matematiske definisjonen av en manifold. For en lineær dimensjonal reduksjonsteknikk som PCA er det underrommet bare et lineært underrom (f.eks. Et hyperplan), som er en relativt triviell manifold. Men for ikke-lineær dimensjonell reduksjonsteknikk, kan dette underrommet være mer komplisert (f.eks. En buet hyperoverflate). For dataanalyseformål er det mye viktigere å forstå at dette er underrom enn noen slutning du kan trekke fra å vite at de oppfyller definisjonen av manifold.

Kommentarer

• » Highfalutin » … lærte et nytt ord i dag!
• Matematisk , en manifold er et hvilket som helst lokalt kontinuerlig topologisk rom. Jeg liker ideen om å prøve å forklare ting på vanlig språk, men denne karakteriseringen fungerer ikke virkelig ‘. For det første er kontinuitet alltid en lokal eiendom, så jeg ‘ er ikke sikker på hva du mener med lokalt kontinuerlig. Også din definisjon unnlater å utelukke mange ting som ikke er ‘ t manifolder, for eksempel den rasjonelle tallinjen, eller foreningen av to kryssende linjer i det euklidiske planet.
• Jeg er enig med Ben, teknisk sett ‘ s » lokalt euklidisk «. Jeg ‘ er ikke sikker på at det er en god måte å koke det ned til enkelt engelsk.
• Jeg må også være enig med de to kommentarene ovenfor. Svaret jeg skrev nedenfor var faktisk opprinnelig ment som en klargjørende kommentar til dette svaret som ble for langt. Det er ingen presis forestilling om en » kontinuerlig » topologisk plass (se her: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). Å definere mangfold i form av ikke-eksisterende begreper er, etter min mening, på lang sikt mer sannsynlig å være forvirrende enn å avklare. I det minste vil jeg foreslå å erstatte ordet » matematisk » i første setning med noe annet.
• Jeg ‘ Jeg bruker denne kommentaren som en mulighet til å stille et lite spørsmål … Jeg (tror) jeg fikk ideen om manifolder, men hvorfor er det » lokalt » nødvendig? Er ‘ t et mellomrom » lokalt » kontinuerlig … kontinuerlig som en helhet?

Som Bronstein og andre har uttrykt det i Geometrisk dyp læring: å gå utover data fra euklidene ( Les artikkelen her )

Grovt sett, en manifold er et rom som er lokalt euklidisk. Et av de enkleste eksemplene er en sfærisk overflate som modellerer planeten vår: rundt et punkt ser det ut til å være plan, noe som har ført generasjoner av mennesker til å tro på planhet på jorden. Formelt sett er et (differensierbart) d-dimensjonalt manifold X et topologisk rom hvor hvert punkt x har et nabolag som er topologisk ekvivalent (homeomorf) til et d-dimensjonalt euklidisk rom, kalt tangensrommet.

Kommentarer

• Sitatet er selvmotsigende. I begynnelsen beskriver den en Riemannian manifold (» lokalt euklidisk «), men til slutt beskriver den en topologisk manifold (homeomorfismer gjør ikke, per definisjon, må respektere den differensielle strukturen, og derfor gjelder ikke begrepet tangent rom).