Hva er en stiintegral? [lukket]

Matematisk er en stiintegral en generalisering av et flerdimensjonalt integrert. I vanlige $ N $ -dimensjonale integraler integrerer man $$ \ int dx_1 dx_2 \ prikker dx_N $$ over et underområde på $ {\ mathbb R} ^ N $, en $ N $ -dimensjonal integral. En baneintegral er en uendelig dimensjonal integral $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ over alle mulige funksjoner $ f (y) $ av en variabel $ y $, som kan være et reelt tall eller en vektor. Verdiene til funksjonene $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ etc. spiller samme rolle som variablene $ x_1 $, $ x_2 $ etc. i den vanlige flerdimensjonale integralen .

Fordi indeksen $ i $ på $ x_i $ tok verdier i det endelige settet $ 1,2, \ prikker N $, og nå erstattes den av den kontinuerlige variabelen $ y $, er banens integral en uendelig dimensjonal integral.

Strenge matematikere ser mange problemer som hindrer en i å definere den uendelig-dimensjonale stiintegralen ved hjelp av måle-teorien. Men fysikere vet at lignende integraler kan håndteres. Det er noen «ultrafiolette avvik» osv. Man opplever når man prøver å beregne dem, men de kan håndteres. I hovedsak ønsker man å bruke alle de naturlige reglene som gjelder for de endelige dimensjonale integralene. For eksempel er (sti) integralene til en sum av to funksjoner summen av to (sti) integraler, og så videre.

To viktigste applikasjoner av stiintegraler i fysikk er i Feynmans tilnærming til kvantemekanikk, spesielt kvantefeltteori, og statistisk mekanikk.

I (klassisk) statistisk mekanikk vil man beregne partisjonssummen $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ over alle konfigurasjoner $ c $ i det fysiske systemet. Men fordi konfigurasjonene ofte er merket av hele funksjonene $ f (y) $ – uendelig mange verdier i det hele tatt tillatte verdier av argumentet $ y $ – er summen ikke «t virkelig en» sum». Det er ikke engang en endelig dimensjonal integral. Det er en stiintegral.

I kvantemekanikk blir de komplekse sannsynlighetsamplitudene etc. beregnet som $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ dvs. som stien integrert over alle konfigurasjoner av variablene $ \ phi (y) $ etc. Integrand er en fase – et tall som har en absolutt verdi på én – og fasevinkelen avhenger av den klassiske handlingen evaluert fra den mulige historikken $ \ phi (y) $. Den innledende og siste tilstanden $ i, f $ er innarbeidet ved å over disse konfigurasjonene i «mellomtidene» som overholder de aktuelle grensebetingelsene.

Nesten all kvantefeltsteori kan uttrykkes som en beregning av noen stiintegraler. Så i denne forstand, å lære «alt» om en baneintegral tilsvarer å lære nesten all kvantemekanikk og kvantefeltteori, noe som kan kreve mellom et semester og 10 år med intens studie, avhengig av hvor dypt du vil komme. Det kan absolutt ikke dekkes med ett tillatt svar på denne serveren.

Beregningen av stien integraler med Gauss, dvs. $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ integrand, kanskje med polynom prefaktorer i integrasjonsvariablene, er kanskje det viktigste eller «enkleste» eksempelet på en ikke-triviell baneintegral som vi faktisk trenger i fysikken.

I kvantemekanikk representerer stienintegralet den eksplisitte endelige formelen for enhver sannsynlighetsamplitude. Amplituden for enhver overgang fra staten $ | i \ rangle $ til staten $ | f \ rangle $ kan uttrykkes direkte som en stiintegral, og sannsynligheten er den absolutte verdien av sannsynlighetsamplituden i kvadrat. Alt som kvantemekanikk gjør det mulig å beregne koker ned til disse sannsynlighetene – så stien integral representerer «alt» i kvantemekanikk. (Dette avsnittet ble opprinnelig lagt ut som en kommentar fra meg, og brukeren som foreslo denne redigeringen hadde en god grunn til å gjøre det.)

Kommentarer

• +1, men jeg vil ikke ' ikke si verdiene til funksjonene, $ f (0), f (1) $ og så videre spiller rollen som $ x_1, x_2 $ osv. Siden funksjonen tilordner hele funksjonene til tall, er den ' hele funksjonen $ f $ som erstatter rollen til en verdi på $ x_1, x_2, $ etc.
• Jeg forstår ikke ', @JamalS, som er en veldig diplomatisk måte å si at jeg tror at du ikke ' ikke forstår. 😉 Det er bare en hel funksjon $ f $ men det er mange variabler $ x_1, x_2 $. Funksjonen bærer enda mer (uendelig ganger mer) informasjon enn flere tall $ x_1, \ prikker, x_N $. I den siste setningen din, hva er sammenhengen mellom $ x_1, x_2 $? Hvis det ' s " eller ", så er det ' er feil fordi man må spesifisere alle verdier for alle $ x_i $ for å snakke om integranden. Hvis det ' s " og ", så OK, men så prøver du bare å tilsløre det faktum at stien i. er en flerdimensjonal.
• Min innvending er bare til analogien du oppgir mellom det endelige dimensjonale tilfellet, og stienintegralet. Slik du ' har skrevet det, sier du ' verdiene til funksjonen $ f $ på forskjellige punkter " spiller samme rolle som variablene $ x_1, x_2 $ osv. " Nå er jeg enig, der ' er bare en funksjon $ f $, og vi summerer over alle mulige funksjoner. Så poenget mitt er at det ' er de forskjellige funksjonene som er analoge med å summere over forskjellige verdier av en skalarvariabel, $ x $. Jeg ser ikke ' hvordan du ' har vært i stand til å ekstrapolere, jeg tror bare glatte funksjoner bidrar fra min eneste kommentar …
• Jeg skrev bare at $ \ int D \ phi (y) $ kan defineres som kontinuumgrensen for den flerdimensjonale integralen $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0.01) d \ phi (0.02) \ dots $ for $ 0.01 $ sendt til null. Jeg tror ikke ' at det kan være noe kontroversielt med denne påstanden. Det ' er egentlig essensen av svaret. Hvis du bare sier at " det er en integral over alle verdiene til en funksjon overalt ", beveger du deg ikke med en epsilon for å svare spørsmålet fra OP og forklarer hva en " integrert over funksjoner " faktisk er. En integral i pre-path-integral-forstand er alltid endelig-dim.
• Kjære @TAbraham, den representerer den eksplisitte endelige formelen for enhver sannsynlighetsamplitude. Amplituden for enhver overgang fra tilstanden " i " til tilstanden " f " kan uttrykkes direkte som en stiintegral, og sannsynligheten er den absolutte verdien av sannsynlighetsamplituden i kvadrat. Alt som kvantemekanikken tillater å beregne, koker ned til disse sannsynlighetene – så banens integral representerer " alt " i kvantemekanikken.