Hva er et potensiale?

Elektrisk potensial og elektrisk potensiell energi er to forskjellige begreper, men de er nært knyttet til hverandre. Tenk på en elektrisk ladning $ q_1 $ på et eller annet tidspunkt $ P $ nær ladning $ q_2 $ (antar at ladningene har motsatte tegn).
Hvis vi løser ut ladningen $ q_1 $ til $ P $, begynner den å bevege seg lade $ q_2 $ og har dermed kinetisk energi. Energi kan ikke dukke opp med magi (det er ingen gratis lunsj), så hvor kommer den fra? Den kommer fra den elektriske potensielle energien $ U $ assosiert med den attraktive «konservative» elektriske kraften mellom de to chages. For å redegjøre for den potensielle energien $ U $, definerer vi et elektrisk potensial $ V_2 $ som er satt opp til punktet $ P $ etter kostnad $ q_2 $.

Det elektriske potensialet eksisterer uansett om $ q_1 $ er på punktet $ P $. Hvis vi velger å lade $ q_1 $ der, skyldes den potensielle energien til de to ladningene å lade $ q_1 $ og det eksisterende elektriske potensialet $ V_2 $ slik at:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Du kan bruke det samme argumentet hvis du vurderer chage $ q_2 $, i så fall er den potensielle energien den samme og er gitt av: $$ U = q_2V_1 $$

På språket for vektorberegning:

Ordet potensial brukes vanligvis til å betegne en funksjon som, når den differensieres på en spesiell måte, gir deg et vektorfelt. Disse vektorfeltene som oppstår fra potensialer kalles konservative . Gitt et vektorfelt $ \ vec F $, er følgende forhold ekvivalente:

1. $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ for en lukket sløyfe $ C $ (derav navnet «konservativ»)

Funksjonen $ \ phi $ som vises i $ (2) $ kalles potensialet til $ \ vec F. $ Så ethvert irrotasjonsvektorfelt kan skrives som gradienten av en potensiell funksjon.

Spesielt i elektromagnetisme forteller Faradays lov oss at $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. For magnetfelt som ikke variere med tid (elektrostatikk) får vi at $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ og dermed $ \ vec E = – \ nabla V $ hvor $ V $ er potensialet til $ \ vec E $. Dette er nøyaktig hva vi kaller det elektriske potensialet eller «spenning» hvis du ikke er fysiker. I tilfellet med elektrodynamikk der $ \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} \ neq 0 $ eksisterer fremdeles en forestilling om elektrisk potensial, ettersom vi kan bryte det elektriske feltet opp i summen av et irrotasjonsfelt og et magnetfelt (dette kalles Helmholtz-teoremet). Vi kan da bruke Maxwells ligninger for å få den $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ hvor $ V $ er det samme elektriske potensialet og $ \ vec A $ er et vektorfelt som vi kaller vektorpotensialet .

Tyngdekraften er analog. Hvis $ \ vec g $ er et irrotasjonelt gravitasjonsfelt (som alltid er tilfelle i Newtons tyngdekraft) deretter $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ hvor $ \ phi $ er gravitasjonspotensialet. Dette er nært knyttet til gravitasjonens potensielle energi ved at en masse $ m $ plassert i gravitasjonsfeltet $ \ vec g $ vil ha potensiell energi $ U = m \ phi $.

Kommentarer

• +1 for detaljert svar. Imidlertid vilkår 1. og 3 er ikke likeverdige generelt. Det er mulig å ha et vektorfelt slik at $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ og $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Se for forekomst Hvorfor er dette vektorfeltet krøllfritt? .
• @Diracology Bra poeng. Vi må kreve at $ \ vec F $ ikke n ot avviker i et område avgrenset av $ C $. Generelt sett, forutsatt at 1. er sant, har vi at $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ hvor $ S $ er en overflate med grensen $ C $ og den første likheten er av Stoke ' setning. Det er tydelig at hvis $ \ vec F $ avviker i $ S $, vil vi støte på noen problemer med disse likhetene.