Jeg prøver å bruke Keplers andre lov for å finne varigheten av Venus bane. Jeg antar sirkulære baner (bruker Jorden og Venus, så lav eksentrisitet). Her er prosessen min:
Forutsatt at radiusen på jordens bane er 150 millioner km, er det svepte området på en dag $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ ca 194 \ text {million km} ^ 2 $ .
Venus må feie det samme området på samme tid. Forutsatt en bane radius på 108 millioner km for Venus, og ved hjelp av $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ , kan vi finne den sentrale vinkelen for den feide sektoren, det vil si vinkelen som ble reist på en jorddag:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ innebærer \ theta = 1,90 ^ {\ circ} $ per jorddag.
Derfor bør omløpsperioden være $ \ frac {360} {1.90 } \ ca. 189 $ Jorddager.
Selvfølgelig er Venus omløpstid 224,7 $ $ Jorddager. Forskjellen mellom 189 og 224.7 ser ut til å være langt utover feilen som ble introdusert av min antagelse om sirkulære baner. p>
Hva gjør jeg galt?
Jeg vet at dette kanskje er en kretsløpende måte å gjøre denne beregningen på. Målet mitt er å skrive en matematikkøvelse som bruker sektorområdet på en meningsfull måte.
Kommentarer
Svar
Keplers lover oppgir at en planet feier like områder på like tid når den beveger seg i sin elliptiske bane. Den sier ikke at forskjellige planeter vil feie det samme området.
Loven om «like områder» kan utledes fra «bevaring av vinkelmoment». Faktisk er dA / dt = L / (2m) (hvor A er området, L er vinkelmomentet og m er (redusert) masse).
Ulike planeter vil feie ut forskjellige områder. For å beregne perioden brukte du Keplers tredje lov: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = omløpsperiode, a = semi-hovedakse). Hvis , for enkelhets skyld tar du a i AU og T i Earth Years, deretter den konstante $ k = 1 $ .
For Venus, a = 0,72 . så $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ eller ca 223 dager.
Hyperfysikk har en seksjon om Keplers lover
+1for å vise alt arbeidet og stille et veldig tydelig spørsmål!