Hva mener vi med begrepet “ Antall ting ”?

Boken er veldig gammel: 2. utgave 1903; 1. utgave 1890.

Som du kan se fra fotnote side 131, blir Cantor og Dedekind nevnt som «interessante bidrag til litteraturen om emnet» …

Dermed kan du ikke forventer at konseptene introdusert i begynnelsen uten definisjon, brukt som primitive for å «belyse» følgende behandling, kan oversettes nøyaktig til moderne (dvs. post-1930) settteoretiske forestillinger. p>

Jeg tror at:

gruppe må bety en endelig samling av objekter (ting)

og at:

antall ting i en gruppe er «tydelig» (fra diskusjonen) ekvivalent med moderne kardinalitet (begrenset til endelige samlinger) og det kalles en «egenskap» til samlingen (gruppe).

Min tolkning er at ting er «individuelle», konkrete eller abstrakte (hvis noen). Selvfølgelig er det lett å tenke på dem som konkrete gjenstander, som småstein i en lomme eller soldat i en peloton.

En peloton er en gruppe av soldater og antall ting i troppen er antallet individuelle soldater som danner den.

Denne tolkningen er fornuftig også med hensyn til den påfølgende definisjonen av tillegg (se CoolHandLouis «s svar).

Vær oppmerksom på at her har gruppe den» generiske «betydningen av samling eller samlet; det har ingenting å gjøre med det tekniske begrepet» gruppe «på gruppeteori .

Når vi «abstraherer» fra «tegnene» til de enkelte tingene (dvs. danner deres individuelle egenskaper, som farge, størrelse, form for et utvalg av kuler) og fra rekkefølgen på objektene i samlingen (det er det samme for det «moderne» settet -konseptet: {A, B, C} er «det samme» settet som {C, B, A} ) det vi får er «nummeret» på tingene i gruppen (antallet medlemmer i samlingen).

Husk r at Cantors originale notasjon for å representere Kardinalnummer til settet A var en «dobbel overbar» over A:

symbolet for et sett kommentert med en enkelt overstang over A indikerte A fjernet fra en hvilken som helst struktur foruten rekkefølge, derav representerte den ordretypen av settet. En dobbel overligger over A indikerte deretter å fjerne rekkefølgen fra settet og indikerte dermed settets hovednummer.

Kommentarer

• Hva mener vi med begrepet Antall ting generelt engelsk?
• @Anupam – beklager, men jeg ‘ er ikke en innfødt engelsktalende. Jeg ‘ har søkt på Cambridge Dictionary online : det er ingen direkte parafrasering: den mest like lokaliseringen I ‘ har funnet er » flere av en bestemt type ting: Jeg bestemte meg for ikke å gå, av flere grunner. » Vi må bruke fin ‘ s lokalisering som en primitiv » teknisk betegnelse «.
• Jeg tror » gruppe » ikke er » sett » av vår moderne matematikk. Et sett er en samling av abstrakte objekter derimot » gruppe » er en samling av ting (som ikke er abstrakte). Settteorien har ingenting med spørsmålet mitt å gjøre.
• Jeg har ikke ‘ ikke lest dette verket, men som noen med mer matematisk bakgrunn setningen » -gruppen må bety en endelig samling av objekter (ting) » får meg til å krype.
• @JamesKingsbery – men » gruppe » her er ikke ment som i gruppeteori ; betydningen er » colelction » eller » samlet » av individuelle objekter.

Forord

Jeg ga to svar på dette spørsmålet:

• Det andre svaret er det bedre svaret og er mitt primære svar. Det antyder at Mr. Fine refererer til naiv mengde teori.

• Jeg ga dette svaret fordi OP insisterte på å tenke på {A, A, A} som inneholdende «tre forskjellige elementer «og postet en dusør. Det var absolutt ingen overbevisende OP ellers, så hvorfor ikke bare være enig og få bounty? 🙂

  De to svarene utfyller hverandre faktisk siden de viser hvordan man kan beskrive de samme matematiske fenomenene ved å endre aksiomer, definisjoner og regler på forskjellige steder. Du sier TOE MAY TOE Jeg sier TOE MAH TOE. Som det viser seg, dette svaret inneholder et søtt» matematisk bevis «på at Mr. Fine trodde {A, A, A} representerer tre forskjellige elementer». Men vær så snill å lese en tung-i-kinn-holdning i dette svar.

Anupam,

Du har rett Mr. Fine anser {A, A, A} = 3.

Jeg sender inn et nytt svar fordi jeg skjønte dette, men ønsket å legge igjen det gamle svaret mitt for historiens skyld. Du har rett! Henry Burchard Fine mente tre konkrete ting så {A, A, A} regnes som tre. Hans uttalelse kan ikke være en feil fordi det er hans primære forutsetning for å underbygge all sin numeriske regning – grunnlaget for hele boka hans – med utgangspunkt i tillegg:

Tillegg: Hvis to eller flere grupper av ting samles for å danne en enkelt gruppe, kalles tallsymbolet for denne gruppen summen av tallene til de separate gruppene.

Hvis summen er s og antall av de separate gruppene abc etc henholdsvis forholdet mellom dem uttrykkes symbolsk av ligningen s = a + b + c + etc hvor sumgruppen antas å bli dannet ved å bli med den andre gruppen som b tilhører først den tredje gruppen som c tilhører den resulterende gruppen og så videre

Operasjonen med å finne s når abc etc er kjent er addisjon. Tillegg er forkortet telling.

6 Tillegg Hvis to eller flere grupper av ting blir samlet sammen for å danne en enkelt gruppe, blir tallsymbolet til denne gruppen kalt summen av tallene til de separate gruppene. Hvis summen er s og tallene til de separate gruppene abc osv., er forholdet mellom dem symbolsk uttrykt med ligningen sab c + etc hvor sumgruppen skal formes ved å bli med den andre gruppen som b tilhører den første den tredje gruppen som c tilhører den resulterende gruppen og så videre. Operasjonen med å finne s når abc etc er kjent er tillegg Tillegg er forkortet teller

• Gitt a, b, c er «grupper / sett»,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  La d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum (d) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c)

• Nå definerer du gruppene / settene som følger:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Sum (d ) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Derfor må Mr. Fine «s» fagforeningsoperatør «lage d = {A, A, A} og sum ({A, A, A}) = 3.

• Hvis Mr. Fine «s» fagforeningsoperatør «var normal sett notasjon, så var d = {A} og det er ingen måte man kunne få» 3 «fra det.

Derfor anser Mr. Fine {A, A, A} = 3.

Dette er tilfelle når A representerer forskjellige konkrete gjenstander, som 3 mynter i en lomme.

Kommentarer

• Jeg tror ikke ‘ t tror dette er den riktige konklusjonen. Jeg tror Fine bare forutsetter at når » samler gruppene » for å oppsummere, er » grupper » er usammenhengende.
• Antar du at bokstaven $ A $ er som » abstrakt objekt » eller » konkret objekt «. Hvis $ A $ antas som et » abstrakt objekt «, vil $ a $, $ b $ og $ c $ alle ha $ 1 , 1,1 $ antall ting i dem, men $ d $ har ikke $ 3 $ antall ting fordi begrepet Antall ting er definert for bare » grupper » som har distinkte ting. Hvis du antar $ » A » $ som et » konkret objekt » så er alt greit.
• +1 Til kommentaren din ovenfor Anupam!Anupam, det er sannsynligvis det beste spørsmålet du ‘ har stilt i kommentarer! Bravo og +1 til det spørsmålet! Hele dette svaret mitt avhenger av hva jeg mente! Så det betyr at du ikke kan være sikker på om dette er riktig eller ikke med mindre jeg forteller deg om jeg mente » abstrakt » eller » betong «. Utmerket! Jeg elsker det! Jeg tror dette er parallelt med det opprinnelige spørsmålet angående hensikten med hva Mr. Fine mente.
• » A » er et konkret objekt.

Arbeidet som først kommer til å tenke er Edmund Husserls Philosophy of Arithmetic . Han adresserer i noen detalj den åpenbare vanskeligheten med antall: at å telle de telle tingene må være begge forskjellige (så det kan være mer enn en) og det samme (du teller visse ting). Når jeg sier «tre epler» er de alle like i en forstand (de er epler), og de er alle forskjellige i en annen (det er tre av dem, preget av deres romlige forhold hvis ikke annet)

Det er samtidig «mangfold» og «enhet». Dette fører til spørsmålet «det samme på hvilken måte, og annerledes på hvilken måte».

Det jeg husker mest fra denne boka er diskusjon om forskjell og skille. Det er noe det er verdt å snakke om. Det er to termer som kan kontrasteres, «forskjellige», «skilles» ut.

• For å skille mellom to ting må vi lage en dom
• Different er en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for at ting skal skilles ut

I matematikk skilles alt som er annerledes ut og man vurderer en helhet av forskjellige ting. Dette unngår den vanskelige delen: menneskelig dom.

Denne dommen er ofte lett for oss. Det er tydelig at vi oppfatter mange ting som forskjellige, og at verden «krystalliserer» til gjenstander. Selv om denne oppfatningen ikke alltid er alt som er nødvendig for å skille mellom ting, i de fleste daglige situasjoner er det nok. Det er bare i kant tilfeller der vi trenger å gå utover utseendet til gjenstander som er atskilt i rommet, og bruke en annen måte å bedømme.

Evnen til å skille mellom ting er hovedtemaet i det vitenskapelige feltet psykofysikk, som virkelig kom i gang rundt 1890-tallet og fortsetter til i dag. Det har vært mange filosofiske skrifter om denne menneskelige kapasiteten også, faktisk er jeg av den oppfatning at det er hovedspørsmålet om filosofi (andre er kanskje ikke enige).

For å svare på spørsmålet ditt direkte: matematikk utelukker menneskelig vurdering, så når vi konstruerer et formelt system, må vi starte etter at dommen er avsagt – vi gjør det ved å anta at objektene alle kan skilles fra hverandre. Hvis objekter i matematikk ikke kan skilles fra, blir de antatt å være de samme. Dette gjelder ikke virkelige ting, som kan være forskjellige, men ikke skille ut.

Merk: Detaljene i hvordan regning blir abstrahert fra menneskelige vurderinger blir dekket i resten av Husserls bok. Jeg er ikke i stand til å artikulere det her. Jeg tror det kan være noen problemer med det i lys av nyere vitenskapelig forskning «mangfold» . Jeg er ikke sikkert ennå.

Kommentarer

• Problemet med » En-for-mange » dateres tilbake til Platon; se Tredjemanns argument , men det gir oss lite innblikk i hva tall er og hvordan de støtter » menneskelig prosess » for telling. Matematikk kan angi tall som primitive eller prøve å » forklare » dem gjennom settteori, ved å bruke begrepene av korrespondanse (hovedtall) og rekkefølge (ordinære tall). Men fortsatt er problemet der: hva er tall og hvorfor er vi i stand til å » bruke dem » på den eksterne virkeligheten?
• @MauroALLEGRANZA Yup, det ‘ er gammelt, det ‘ er hovedspørsmålet;) Resten av Husserl ‘ s bok handler om forholdet mellom abstrakt regning og verden, og det er grunnen til at jeg ‘ nevner den snarere enn noe annet. Jeg ‘ t detaljerte det fordi det er 1) ganske teknisk (hovedårsak) 2) muligens feil, og 3) ikke trengte å forklare » Hvorfor Mr. Fine har begrenset dette begrepet bare for de gruppene som har alle de forskjellige elementene. »
• I ‘ Jeg sier ikke at Husserl tok feil … Min personlige forståelse er at Fine (1890!) prøvde å » belyse » begrepet antall og unngå » platonist » smak, og unngår all referanse til » abstrakte » objekter. Jeg ‘ er ikke overbevist om at Platon hadde rett … men jeg ‘ er overbevist om at inntil nå nei lydargument for » som forklarer » hvilke tall som er funnet, som unngår alle referanser til » abstrakt » objekter eller konsepter.
• @MauroALLEGRANZA ‘ tente ikke å si at du var det. Husserl er ganske kritisk til ideen om at tall skal være begrenset til fysiske gjenstander (spesielt Mill), han sier » Den bare hentydningen til psykiske handlinger eller tilstander, som sikkert kan telles like godt som fysisk innhold, tilbakeviser [dette] «. Hvis man kan telle abstrakte objekter, ville en teori som utelater referanse abstrakte objekter være ufullstendig. Men kanskje jeg ‘ jeg ikke helt forstår deg.
• Igjen er jeg enig med deg; Jeg » elsker » G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (» The Foundations of Arithmetic: En logisk-matematisk undersøkelse av begrepet nummer «), Breslau, 1884 hvor han » revet » Mill ‘ s empiristiske tallteori. Det var forbindelser (og kontakter) mellom H og F; se av Claire Ortiz Hill, Husserl eller Frege? Betydning, objektivitet og matematikk .

Forord

Jeg ga to svar på dette spørsmålet:

• Dette svaret er det bedre svaret, og det antyder at Mr. Fine refererer til naiv mengde teori. Det er heller ikke noe stort forsøk på strenghet her, og Mr. Fine hopper rett og slett frem til temaet av interesse. Dette svaret er mitt primære svar.

• Jeg oppga et annet svar i denne samme tråden fordi OP insisterte på å tenke på {A, A, A} som inneholdende «tre forskjellige elementer» og la ut en dusør. Det var absolutt ingen overbevisende OP ellers, så hvorfor ikke bare være enig og få bounty? 🙂

  De to svarene utfyller hverandre faktisk siden de viser hvordan man kan beskrive de samme matematiske fenomenene ved å endre aksiomer, definisjoner og regler på forskjellige steder. Du sier TOE MAY TOE Jeg sier TOE MAH TOE. Som det viser seg, inneholder det andre svaret et søtt «matematisk bevis» som Mr. Fin tanke {A, A, A} representerer tre forskjellige elementer. Det kan være interessant å se hvordan jeg forsvarte et slikt forslag.

1. Boken refererer til naiv settteori

Følgende lenke til Google Bøker er lettere å referere til: Tallsystemet til algebra: behandlet teoretisk og historisk « (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Publisert 1907). Følgende er det aktuelle utdraget fra denne boka fra 1907:

I. DET POSITIVE INTEGERET OG LOVENE SOM REGULERER TILSETNING OG FLERFORDRING AV POSITIVE INTEGERE

1 nummer. Vi sier om visse forskjellige ting at de danner en gruppe (med gruppe mener vi endelig gruppe som er en som ikke kan bringes inn i en til en korrespondanse 2 med hvilken som helst del av seg selv) når vi kollektivt gjør dem til et enkelt oppmerksomhetsobjekt.

Antallet ting i en gruppe er den egenskapen til gruppen som forblir uendret under hver endring i gruppen som gjør ikke ødelegge separatenes s av tingene fra hverandre eller deres felles adskillelse fra alle andre ting.

Slike endringer kan være endringer i tingens egenskaper eller i deres arrangement i gruppen. Igjen kan endringer av arrangement være endringer i rekkefølgen på tingene eller på måten de er knyttet til hverandre i mindre grupper.

Vi kan derfor si: Antallet ting i enhver gruppe av forskjellige ting er uavhengig av tegnene til disse tingene i den rekkefølgen de kan ordnes i gruppen og av måten de kan knyttes til hverandre i mindre grupper på.

2 Numerisk likhet. Antallet ting i to grupper av forskjellige ting er det samme når det for hver ting i den første gruppen er en i den andre og gjensidig for hver ting i den andre gruppen en I det første. Dermed antall bokstaver i de to gruppene A, B, C; D, E, F, er den samme … [Mr. Fine fortsetter å snakke om 1-til-1-korrespondanse – CoolHandLouis] …

Det er klart for alle som tar en begynnelsesnivå «Set Theory 101» klasse at denne boken beskriver grunnlaget for mengde teorien. Vi kan med sikkerhet si at Mr. Fines referanser til en «gruppe» er nøyaktig og presist det som nå er kjent som et «sett», og til «elementer» når han beskrev «distinkte ting». hele innlegget refererer faktisk til det som kalles «Naive Set Theory», men det er uvesentlig for dette spørsmålet / svaret.)

Gitt at Mr. Fine refererer til Set Theory, og hans bok ble skrevet i 1907 , mitt første forslag er at du glemmer Mr. Fine helt og google for noen gode referanser for nybegynner» set theory « og se også på noen av de korte videoene om samme emne.

Mr. Fine» s fotnote «Med gruppe mener vi endelig gruppe som er en som ikke kan bringes inn i en til en korrespondanse med noen del av seg selv «er veldig sterkt bevis han snakker om (naiv) mengde teori. Han unngår åpenbart uendelige sett, og basert på historien om settteori, kan ha vært for pol itiske grunner. Det er ingen grunn til at han er omstridt på det tidspunktet i karrieren, og all grunn til å spille det trygt, spesielt med denne boka.

Men det er et metasvar. Her er et virkelig svar:

2. Svar på spørsmål – Intro

Først kan vi standardisere resten av dette innleggets språk til det 21. århundre: Et sett er en samling av forskjellige elementer. Så la oss ikke snakke om «ting» eller «grupper» lenger. Og det betyr ikke noe om de er konkrete eller abstrakte, virkelige eller forestilte.

Endring av navnene på disse begrepene betyr ikke i på noen måte endre noen av problemene du støter på. De nye ordene refererer til nøyaktig det samme Mr. Fine sa. Det handler bare om definisjon, og jeg vil definere alt mens vi går for å vise deg forskjellen som forårsaker forvirring.

3. Hvordan du ser på «Distinct» og «Counting»

Først, på en måte, har du rett. Innen din egen personlige forståelse / trossystem / definisjoner av «distinkt», «samling», «sett med ting» og «gruppe», og hvordan man håndterer dem, er du «concludi ng «at» du har rett «. Og verken jeg eller noen matematiker kan argumentere mot din «rettighet» i denne forstand. Basert på dine definisjoner og tenkemåter har du helt rett. Men det er bare en start; det løser ikke forvirringen.

La oss sminke / finne på et system der du har «rett». (Husk at vi like godt kan si «grupper» og «ting», men jeg standardiserer til «sett» og «elementer». Ordene som brukes gjør ingen forskjell så lenge vi definerer dem.)

Ikke-standardiserte teoriregler i henhold til original plakat

• Et sett er en samling av elementer.
• Hvert element er representert med ett eller flere symboler (alfanumerisk).
• Størrelsen på settet er det totale antallet elementer.
• OP «s Definisjon av Distinct: Hvert element betraktes som» distinkt «hvis det vises i en annen posisjon, så {A , A} inneholder to forskjellige elementer fordi de er i forskjellige posisjoner (posisjon en og posisjon to).

Spørsmål: Hvor mange elementer er det i {A, A, A} i henhold til over ikke-standardregler av Ori ginal plakat? Svar: 3.

4. Hvordan Math Set Theory (Mr. Fines Book) definerer «Distinct» og «Counting»

La oss nå vurdere dette mer fra standard matematisk definisjon.

Standardregler for matematiske settteorier

• Et sett er et samling av forskjellige elementer.
• Hvert element er representert med ett eller flere symboler.
• Størrelsen på et sett er det totale antallet elementer.
• Definere teoridefinisjon av distinkt: Hvert element anses som «distinkt» hvis det kan bestemmes at det er forskjellig fra alle andre elementer. Når det er representert med bokstaver og ord, gjelder bare for tydelighet, om elementene har forskjellige navn eller ikke. I skriftlig matematikk, distinkte = forskjellige navn.

For formålet med dette svaret er noe som heter det samme, ikke tydelig – det refererer til det samme. Så {A, A} er som å si, {India, India}. Det refererer bare til ett land, ikke to land. Det refererer til det samme landet to ganger. Så hvilken er tellingen? Det ene landet, eller de to gangene det er nevnt? I settteori er det det første.

«Men hvorfor?» spør du kanskje. På en måte kan du tenke på dette som helt vilkårlig. «Det er per definisjon.» (Men det er slik av en god grunn; det gjør at mange andre ting i mengdeori fungerer bra, men det er utenfor denne diskusjonen). Så du må bare godta det , akkurat som «vi må godta at du har rett med din definisjon».

Spørsmål: Hvor mange forskjellige land er det i {Frankrike, Frankrike, Frankrike, Frankrike, India, India, India, Brasil, Brasil}? Svar: 3 fordi settet bare refererer til tre forskjellige steder = {Frankrike, India, Brasil}.

5. Mynter i lommen

Det er av denne grunn og for enkelhets skyld at vi ganske enkelt legger til en annen regel i Set Theory:

• Ingen duplikater er tillatt i sett.

Hvorfor? Fordi en settet er som en «pose med ting» (betong eller abstrakt). La oss for eksempel vurdere fire mynter i venstre lomme på mandag. La oss si at vi ikke vet hva de er. Så vi kaller dem C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Gitt denne ideen, gjør det ingen mening å referere til dette som {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Hvorfor referere til den første mynten tre ganger? Det er allerede i lommen. Det trenger bare å bli referert til en gang. La oss nå tildele myntene noen attributter:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0.01; Dato = 1999; Vekt = 2,4993399494 g; Tilstand = Mynte
• C2 = Type = Penny; FaceValue = 0.01; Dato = 1999; Vekt = 2,4990044384 g; Tilstand = God
• C3 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Dato = 2002; Vekt = 5.0002292833 g; Tilstand = Veldig bra
• C4 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Dato = 2003; Vekt = 5,0010022229 g; Tilstand = Veldig bra

Nå som vi vet at to av dem er øre, er settet med mynter i lommen fortsatt det samme:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Men nå kan vi spørre om hvor mange forskjellige (forskjellige) typer mynter som er i lommen:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

La oss flytte myntene C2, C3 og C4 til høyre lomme på tirsdag. Hva står i lommene dine på onsdag?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Kommentarer

• Etter å ha studert begrepet type-token Jeg tviler på den logiske nøyaktigheten av fin ‘ -bok. Jeg bygger et nytt spørsmål relatert til fotnoten gitt på » gruppe $ {} ^ 1 $ «.
• Ingen vent, vær så snill for alle ‘ skyld …. vent litt. ikke et annet spørsmål dette handler bare om spikret. Gi svarerne litt tid til å svare på svaret mitt og dine bekymringer. » Gruppe » i fin ‘ s bok er nøyaktig settet med moderne matte. Du ‘ vil gå ut på en annen tangent helt hvis du tar dette til et annet spørsmål.
• » Gruppe » i fin ‘ s bok er akkurat ikke settet i moderne matematikk. Denne gangen har jeg rett.
• Ok hva er beviset ditt på det. Jeg ga mye tid på dette svaret, så vær så snill å holde med meg på dette bare, ok?
• Min personlige oppfatning er at Spørsmålspørere, gitt den gratis tjenesten til en svarer, bør stemme opp alle svarene som gi noe verdi, selv om det ‘ ikke er det riktige svaret. Det ‘ er en måte å si det på, » Takk for at du har bidratt til prosessen med å finne svaret. » Tilsvarende mener jeg at alle som svarer på et spørsmål, bør stemme opp for spørsmålet; sikkert hvis de brukte tid på å svare, må det ha en viss verdi. Vær raus med stemmer. De er gratis, abstrakte symboler på takknemlighet / verdi. La andre opp / nedstemme på strengere fortjeneste. Det ‘ er ditt valg, men jeg vil ikke ‘ ikke nedstemme på en slik teknikk.

Q1: Siden $ A $ og $ A $ ikke er forskjellige, er det bare $ A $ og $ B $ er forskjellige (med mindre du er rabulistisk og skiller «den første bleken som danner en $ A $» fra «den andre blokken som danner en $ A $», men det gjør det umulig å nevne riktig noen av disse $ A $ s som den konkrete bokstaven (blekkflekk) $ A $ som brukes til å nevne en bestemt bokstav (blekkflekk) $ A $ er automatisk forskjellig fra den bleken, i motsetning til intensjonen. alle disse tilfellene snakker vi om «ideen» om $ A $, dvs. enhver forekomst av «$ A $» i teksten refererer til det samme objektet, som i seg selv er å tenke utenfor teksten (for å gjøre det mulig i den første stedet å bruke «$ A $» for å snakke om $ A $). Bare i denne forstand $ A = A $ (for som betongfarger med blekk på papiret har de forskjellige posisjoner, noe som gjør dem forskjellige) og de to $ A $ s i «$ A, B, A $» mangler tydelighet. Gruppen din er altså den samme som den som har elementene $ A, B $ (eller $ B, A $ hvis du vil), dvs. tallet er $ 2 $.

Q2: De er fortsatt ikke identiske med objekter. F.eks. Du kan ta på den første og sette den andre i skapet mens du stryker den tredje; du vil tydelig merke det hvis du faktisk stryker den samme skjorten som den du har på deg. Skjortene kan ikke skilles fra egenskapen «farge» (som de var før, som allerede ikke kunne skilles fra for eksempel egenskapen «størrelse» antar jeg), men de skiller seg fremdeles av egenskapen «romlig posisjon». Spennende, dette etterlater oss med problemet at vi får vanskeligheter med å identifisere skjortene i dag med de i går. Man må tenke en stund hva «distinkt» (i motsetning til perhas til «skillbart») og «samme» betyr.

Q3: Distinctness of elements (som kan tillate identisk fargede skjorter) er viktig, ettersom du ikke vil telle det samme objektet igjen (det ville gjøre deg til en rik mann med bare en mynt i lommen). En helt (?) Annen tilnærming er å definere «nummer» som ekvivalensklassen av sett (og det ser ut til at Fine «s» gruppe «er det vi vil kalle» sett «i dag) under» equinumerability «(dvs. eksistensen av en sammenheng mellom settene). På denne måten tilsvarer begrepet 2 eller Two-ness (eller faktisk er) klassen til alle settene $ X $ slik at det eksisterer en bindingsform $ X $ til et bestemt sett med (det vi kaller ) to elementer, for eksempel $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Hvis du er redd for (riktige) klasser, kan man merke at hver slik ekvivalensklasse inneholder et spesielt «enkelt» sett, et ordinær (i det minste i det endelige tilfellet, og generelt under antagelse av det valgte aksiomet).

Kommentarer

• Hva mener vi med antall ting ? hvorfor vi i Q1 sier at gruppe G: {A, A, B} har 2 antall ting, hvorfor ikke 3 som det burde være fordi det er 3 antall ting i gruppe G , selv de to tingene i gruppe G er de samme, men de eksisterer, og vi bør telle dem til o. Bruker vi begrepet antall ting annerledes i matematikk enn vanlig liv. det primitive begrepet å telle bry seg ikke om skillet mellom forskjellige ting i en gruppe mens man beregner antall ting i en gruppe. Hvorfor i matte laget vi denne typen uvanlig definisjon av begrepet nei. av ting .
• Sir, jeg har redigert spørsmålet mitt for å være mer direkte. Vil du i det minste forklare hva vi mener med Antall ting .

«Antall ting» generelt engelsk: Det er ikke nok informasjon i begrepet alene til å gi ett svar.

Problemet er begrepet «ting». Generelt vil dette referere til noen ordning som allerede er definert, for eksempel antall gjenstander med samme farge eller antall egg i en boks, eller antall siffer «3» finnes i et telefonnummer.

Uten det, betydningen av «nummer ting «er mangfoldig – det er antall objekter i en container av noe slag / størrelse, klassifisert etter hvilken som helst metode du bryr deg om å forestille deg.

Kommentarer

• Anta at en gruppe {A, A, A} er der. Jeg spør hvor mange bokstaver som er i denne gruppen ? Hva skal være svaret.
• Vennligst se Typer og poletter
• @MauroALLEGRANZA lenken du har gitt er ganske interessant. De ser ut til å antyde at » Skriv » = » Abstrakt objekt » og » Token » = » Betong «. I boken Me.Fine på utsiden sier: » Vi sier om visse forskjellige ting at de danner en gruppe » » Ting » = » betong » = » Token » har jeg rett?
• @Mauro, Beklager, men dere har det bakover. Ordet » ting » avleder det ikke ‘ s betydning fra » Type / Token-filosofi «. Definisjonen fra google.com/search?q=definition+thing inkluderer » en abstrakt enhet eller konsept: ‘ sorg og depresjon er ikke det samme ‘. synonymer: karakteristisk, kvalitet, attributt, eiendom, egenskap, funksjon, punkt, aspekt, fasett, sære …
• @Mauro, også, » en endelig samling » innebærer ikke konkrete ting. Her er noen endelige samlinger av abstrakte ting / elementer: {1,2,3,4,5}, {kjærlighet, krig, fred}. Mer enn sannsynlig unngikk han uendelige sett fordi de var svært kontroversielle den gangen: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_teori .

Jeg foreslår at du sammenligner definisjonen av Fine med følgende diskusjon, fra RL Goodstein, Rekursiv tallteori (1957) :

Spørsmålet «Hva er naturen til en matematisk enhet?» er en som har interessert tenkere i over to tusen år og har vist seg å være veldig vanskelig å svare på. Selv den første og viktigste av disse enhetene, den naturlige nummer, har unnvikelsen av en vilje-av-den-visp når wc prøver å definere det.

En av kildene til vanskeligheten med å si hva tall er, er at det ikke er noe vi kan peke på i verden rundt oss når vi leter etter en definisjon av antall. Nummeret syv, for eksempel, er ikke noen spesiell samling av syv objekter, siden hvis det var, så kunne ingen annen samling sies å ha syv medlemmer; for hvis vi identifiserer egenskapen til å være syv med egenskapen til å være en bestemt samling, så er det å være sju en eiendom som ingen annen samling kan ha. Et mer rimelig forsøk på å definere tallet syv ville være å si at egenskapen til å være syv er eiendommen som alle samlinger av syv objekter har til felles. Vanskeligheten med denne definisjonen er imidlertid å si akkurat hva det er som alle samlinger av syv objekter virkelig har til felles (selv om vi later som om vi noen gang kan bli kjent med alle samlinger med syv objekter). Visst antall av en samling er ikke en egenskap for den i den forstand at fargen på en dør er en egenskap for døren, for vi kan endre fargen på en dør, men vi kan ikke endre antall på en samling uten å endre samlingen seg selv. Det er veldig fornuftig å si at en dør som tidligere var rød, og nå er grønn, er den samme døren, men det er tull å si om en samling av syv perler at det er den samme samlingen som en samling på åtte perler. Hvis nummeret på en samling er en egenskap til en samling, er det en definerende egenskap for samlingen, et essensielt kjennetegn.

Dette bringer oss imidlertid ikke nærmere svaret på spørsmålet vårt «Hva er det som alle samlinger på syv objekter har til felles?» En god måte å gjøre fremskritt med et spørsmål av denne typen er å spørre oss selv «Hvordan vet vi at en samling har syv medlemmer?» fordi svaret på dette spørsmålet absolutt burde bringe frem noe som samlinger av syv objekter har felles. Et åpenbart svar er at vi finner ut antallet av en samling ved å telle samlingen, men dette svaret ser ikke ut til å hjelpe oss fordi når vi teller en samling, ser det ut til at vi ikke gjør mer enn å «merke» hvert medlem av samlingen med et tall. (Tenk på en linje med soldater som er nummerert.) Det gir tydeligvis ikke en definisjon av antall å si at tallet er en egenskap for en samling som blir funnet ved å tildele tall til medlemmene i samlingen.

Å merke hvert medlem av en samling med et nummer, slik vi ser ut til å gjøre i telling, er faktisk å sette opp en korrespondanse mellom medlemmene i to samlinger, gjenstandene som skal telles og de naturlige tallene . I telling, for eksempel, en samling på syv objekter, setter vi opp en korrespondanse mellom objektene som telles og tallene fra ett til syv. Hvert objekt tildeles et unikt nummer, og hvert nummer (fra ett til syv) tildeles et eller annet objekt i samlingen. Hvis vi sier at to samlinger er like når hver har en unik tilknytning i den andre, kan det å sies å telle en samling bestemme en samling med tall som ligner på den tellede samlingen.

Svakheten i definisjonen ligger i denne forestillingen om korrespondanse. Hvordan vet vi når to elementer samsvarer?Koppene og tallerkenene i en samling kopper som står i tallerkenene har en åpenbar korrespondanse, men hva er korrespondansen mellom for eksempel planetene og musene? Det nytter ikke å si at selv om det ikke er patentkorrespondanse mellom planetene og musene, kan vi enkelt etablere en, for hvordan vet vi dette, og hva er viktigere, hva slags korrespondanse tillater vi? Når vi definerer antall når det gjelder likhet, har vi bare erstattet det unnvikende tallbegrepet med det like unnvikende begrepet korrespondanse.

Noen matematikere har forsøkt å unnslippe vanskeligheter med å definere tall, ved å identifisere tall med tall. Nummeret 1 er identifisert med tallet 1, tallet to med tallet 11, tallet tre med 111, og så videre. Men dette forsøket mislykkes så snart man oppfatter at egenskapene til tall ikke er egenskapene til tall. Tall kan være blå eller røde, trykte eller håndskrevne, tapt og funnet, men det gir ingen mening å tilskrive disse egenskapene til tall, og omvendt kan tall være like eller odde, primære eller sammensatte, men disse er ikke egenskaper til tall.

Motsatsen til «tall» og «tall» er en som er vanlig i språket, og kanskje den mest kjente forekomsten er å finne i paret med begreper «proposisjon» og «setning». Setningen er en fysisk fremstilling av proposisjonen, men kan ikke identifiseres med proposisjonen, siden forskjellige setninger (for eksempel på forskjellige språk) kan uttrykke den samme proposisjonen. [se typer og tokens ]

Sjakkspillet, som ofte har blitt observert, gir en utmerket parallell med matematikk (eller for den saks skyld med selve språket). Til tallene tilsvarer sjakkbrikkene, og til aritmetikkoperasjonene, trekkene i spillet.

Her finner vi endelig svaret på problemet med talltypen. For det første ser vi at for å forstå betydningen av tall, må vi se på «spillet» som tallene spiller, det vil si til regning. Tallene, en, to, tre og så videre, er tegn i regnestykket, brikkene som spiller disse tegnene er tallene og det som gjør et tegn til tallet på et bestemt tall er den delen det spiller, eller som vi kan si i en form av ord som er mer passende for konteksten. Det som utgjør et tegn tegnet på et bestemt tall er tegnets transformasjonsregler. Det følger derfor at gjenstanden for oue-studier er IKKE ANTALL SELV MEN TRANSFORMASJONSREGLENE FOR NUMMERSKILTEN . p>

Interseting, men diskutabelt …

Mer enn 60 år tidligere kritiserte Frege alredy dette synet; se Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), ny engelsk oversettelse av Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, side xiii:

[det er en] utbredt tendens til å akseptere bare det som kan oppfattes som værende. […] Nå er gjenstandene for aritmetikk, tallene, umerkelige; hvordan komme til enighet med dette? Veldig enkelt! Erklær at talltegnene er tallene. […] Noen ganger ser det ut til at talltegnene blir sett på som sjakkbrikker, og de såkalte definisjonene som spilleregler. I så fall betegner skiltet ingenting, men er snarere selve tingen. En liten detalj blir selvfølgelig oversett i alt dette; nemlig at en tanke uttrykkes ved hjelp av «3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2», mens en konfigurasjon av sjakkbrikker ikke sier noe.

Kommentarer

• Jeg husker spenningen jeg følte første gang jeg leste Goodstein ‘ s introduksjon. Han ‘ er ingen Frege, men det er ‘ flott å få en klar uttalelse av et syn, slik at hvis man er uenig, kan man si nøyaktig med hva.

For å tydeliggjøre Fines definisjon av » antall ting «, som er ganske annerledes fra » moderne » setteoretisk tilnærming, tror jeg kan være nyttig å henvise til den filosofiske tradisjonen fra britisk emprisisme fra XIX århundre.

Spesielt filosofen John Stuart Mill viet en del av sitt arbeid A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) til diskusjonen om grunnlaget for aritmetikk.

Her er noen passasjer, som – håper jeg – kan avklare Fines definisjon:

Tre småstein i to separate pakker, og tre småstein i en pakke, gjør ikke det samme inntrykket på sansene våre – og påstanden om at de samme småsteinene ved en endring av sted og tilrettelegging kan gjøres for å produsere enten det ene settet av følelser eller det andre, skjønt et veldig kjent forslag, er ikke identisk. […]

De vitenskapelige [vitenskapen om tallene] grunnleggende sannheter hviler alle på bevisene på fornuft, de er bevist ved å vise for våre øyne og fingrene våre for at et hvilket som helst antall gjenstander, for eksempel ti kuler, ved separasjon og omorganisering kan vise til våre sanser alle de forskjellige tallene hvor summen er lik ti. ( CW VII, 256-57)

Så når vi sier at kuben 12 er 1782, er det vi bekrefter: at hvis vi har et tilstrekkelig antall småstein eller andre gjenstander, setter vi dem sammen til th en bestemt slags pakker eller aggregater kalt tolv; og satt sammen disse selv i lignende samlinger, – og til slutt, utgjør tolv av disse største pakkene: aggregatet som således blir dannet vil være et slikt som vi kaller 1728; nemlig det som (for å ta det mest kjente av dets formingsformer) kan gjøres ved å bli med i pakken som kalles tusen småstein, pakken som kalles syv hundre småstein, pakken som kalles tjue småstein, og pakken som kalles åtte småstein. ( CW VII: 611-12)

Mill «s naturalistisk tilnærming til grunnlaget for aritmetikk er basert på » grunnleggende » prosesser for sammenføyning og separering som gir opphav til og nedbryter » aggregater » av fysiske objekter.

Empiristsynet på Mill ble skarpt kritisert av Gottlob Frege i sin grunnleggende Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

For en redegjørelse for Mills matematikkfilosofi, se Philip Kitcher, Mill, mathematics, and the naturalist tradition , into John Skorupski (editor), Cambridge Companion to Mill (1998), side 57-on.

Kommentarer

• Sir, takk for dette enda et veldig nyttig svar . Det vil ta tid for meg å lese så mange relaterte tekster (jeg ser for tiden på bøkene som du og andre nevnte tidligere). Finnes det en endelig bok som er viet til historien til aritmetikk ? En bok som kan forklare ting som starter fra historien, og deretter endelig for å forklare hvordan moderne regning ble etablert. En bok som vil forklare alle relaterte ting, dvs. hvem, hvordan, når, hvorfor av aritmetikk. Om en måned vil jeg stille to veldig filosofiske (og tekniske) spørsmål om regning, skal jeg pinge deg.
• Om historien til » moderne » aritmetikkfilosofi , fra Kant på (men JSMill er ikke diskutert) kan du se Michael Potter, Årsak ‘ s Nærmeste slekt: Aritmetikkfilosofier fra Kant til Carnap (2002).

I boken skiller «antall ting» seg effektivt fra deres representasjon. Anta at du har gjester du vil invitere til fest. Hvor mange gjester inviterer du til?

Hvis du inviterer 5 venner, vil vi kalle dem John, Fred, Mary, Jill og Barney. Det er 5 gjestevenn- ting som du inviterer til festen.

Men nå, hva om partiet er en maskeradeball, og de er alle i forkledning. John er kledd som et spøkelse, Fred som en nisse, Mary som en heks, Jill som et gresskar, og Barney som en dinosaur. Bare fordi de nå er spøkelser, troll, hekser, gresskar og dinosaurer, endrer ikke antall gjeste-venn-ting du har invitert til festen. Egenskapene deres har endret seg – de ser ikke lenger ut som vennene dine, de ser ut som deres forkledninger.

Hva om de 5 av dem kommer kledd alle som ikke skiller seg fra. Betyr det at vi sier at bare ett spøkelse har kommet til festen din? Nei, fordi de fremdeles kan skilles ut med deres romlige lokalitet, ankomsttid, høyde, vekt, arkfarge osv.

Hva om de hadde på seg nøyaktig samme kostyme og du aldri så mer enn en om gangen – slik at det ikke var noen definerende egenskaper som skiller en venn fra en annen. Du er kanskje ikke sikker på hvor mange gjestevenn-ting du hadde på festen din. DENNE transformasjonen har ødelagt tydeligheten som skilte dem før dette, og dermed er det ikke en gyldig transformasjon for å telle opp antall ting.

Ideen om «antall ting» med hensyn til invitasjonene dine er spesifikt gruppens eiendom slik at eventuelle endringer (aktivering, nummerering, ombestilling, men IKKE duplisering, eliminering , eller telle delmengder) som bevarer elementenes egenart, opprettholder den egenskapen. Det er ikke opptatt av om verdien av eiendommen er 1, 5 eller en million milliarder dollar, bare at «antall ting» er en endelig verdi som beholder denne eiendommen.

Med hensyn til for å si engelsk, er antall ting bare … antall ting av interesse. Det blir ikke enklere enn det, og fordi det er et så enkelt konsept, er det veldig vanskelig å skrive en presis definisjon som ikke forårsaker problemer i mulige taleuttrykk.

Dette spørsmålet (og mange av svarene for den saks skyld) overser formålet med matematisk teori, som er å behandle aksiomer som noe gitt. Vi antar at vi har en forestilling om (for eksempel) tydelighet, og undersøker deretter konsekvensene av å ha denne forestillingen.

Med andre ord er det umulig å stille spørsmålet «Hvor mange elementer er det i settet $ \ { A, A, B \} $? «Uten å først gi aksiomer om $ A $ og $ B $. I henhold til standard matematisk syntaks, bør vi egentlig bare stille dette spørsmålet etter ommerking til $ \ {A, A», B \} $ for å unngå forvirring, men dette er et spørsmål om kommunikasjon og praktisk, ikke dogme og absolutt ikke en slags sannhet om sett.

Matematikk, med ordene til Roberto Unger, er en «visjonær utforskningav et simulacrum av verden «. Hvis du er uenig med andres visjon, er det helt greit. Men hvis du tror du har et problem med matematikken i seg selv, er sjansen stor for at du genererer dine egne motsetninger ved å misbruke språk. Hvis du er tydelig på hvilke egenskaper forestillingen din om tydelighet skal ha, så gjelder mengdeori , det er bare et spørsmål om hvordan. Det foreskriver ikke en bestemt form for tydelighet, men snarere å utforske fellestrekkene mellom alle former for tydelighet.

Det virker at svaret på spørsmålet ditt er veldig sammenflettet med hva «en ting» er. Du kan være klar over at det som abstrakt et spørsmål det kan være, har blitt spurt gjentatte ganger i fysikksamfunnet i sammenheng med kvantefeltteori og grunnlaget for kvantemekanikken (se for eksempel Paul Teller og Chris Isham). En av konklusjonene er at begrepet en ting som en essens som egenskaper «holder seg til» skal avvises. Dette er det Teller beskriver som problemet med «merket tensorprodukt Hilbert romformalisme», da det er uforenlig med den fysiske atferden som faktisk observeres. Så hvis du vil ha en universell definisjon av «antall ting», kan du ikke unngå disse betraktningene om hva en ting er og om hva som kan skilles fra et fysisk synspunkt. (Med mindre du vil ha en definisjon som gjelder et univers som er ikke vår egen).

Bare for å gi deg et eksempel, la oss si at du har en foton i høyre hånd og en i venstre side. Du kan skille dem ved å referere til hvilken hånd de er i. Så «antall måter å legge dem i lommen» er 2 (først den i venstre hånd, deretter den i høyre hånd eller omvendt) . En gang i lommen blir de imidlertid ikke skilt fysisk, og «antall måter å ta dem ut» er 1 (ut kommer den ene, deretter den andre).

Kommentarer

• I fotonene i et lommeeksempel du gir, virker ‘ for meg å være to fotoner. Identiteten deres (venstre / høyre) går tapt (den ene, hvem vet hvilken, er den første, den andre den andre). Det er fortsatt ‘ to av dem, selv om du ‘ har mistet litt informasjon. Dataene som går tapt er at » er i venstre / høyre hånd » -egenskapen, som ikke er ‘ taegenskap for fotoner generelt. Du ser ut til å si at alle eiendommer kan dispenseres på en lignende måte, men jeg kan ‘ ikke regne ut hvis du sier at dette er et uoverstigelig problem for en » universell definisjon av ‘ antall ting ‘ «. Eller er ting tellbare uansett?
• Å ja, det er alltid 2 fotoner rundt. Jeg ‘ snakker om konsekvensen av å miste identitet på vår evne til å telle, og dette er en konsekvens av naturen til ‘ en ting ‘ som et foton. Den motsatte oppførselen skjer for fermioner, som alltid må kunne skilles, og dette forhindrer deg i å stappe for mange på samme sted (som er Pauli-utelukkelsesprinsippet).Så å telle ting ved å (som i eksemplet) telle måtene du kan omorganisere dem på, fungerer ikke alltid ‘. Jeg vet ikke ‘ om dette er et uoverstigelig problem, men en definisjon som er universell kan absolutt ikke ignorere den.