Som enhver matematiker vil fortelle deg, 1 + 1 = 2 følger trivielt fra definisjoner, og er ikke en teorem. Spørsmålet ditt gir ingen mening.

Det er som om du erklærte:

Jeg definerer 1 flytende zounce til å være nøyaktig 30 milliliter.

Men hva om det viser seg at jeg har feil?

Det er din definisjon. Det kan ikke være galt fordi flytende zounces, før definisjonen din eksisterte ganske enkelt ikke.

Kommentarer

• Kan man lese spørsmålet deres, mer veldedig, som " hva om vi oppdager at 1 + 1 = 2 ikke følger fra Peano ' s postulater? " den beholder hvilken filosofisk kant den har?
• Jeg vil bestride at enhver matematiker vil si at 1 + 1 = 2 er en definisjon. Jeg ser poenget ditt åpenbart, men generelt vil 2 være S (S (0) ) i stedet for 1 + 1. Så ' er et argument som skal gjøres om at S (S (0)) = S (0) + S (0) det ' et trivielt argument rett fra definisjonen av +, men en som til slutt ender opp med å være litt vanskelig på grunn av hele den uendelige induksjonen du trenger når du vil at dette skal fungere generelt.
• @DRF Jeg tar stillingen at OP kanskje ikke er kjent med Peano-aritmetikk, derav forenkling. Men jeg forstår at man trenger å definere + etter å ha definert 0 og S (.) – men som du sier, er det da et trivielt trinn til 1: = S (0) og 2: = S (1). Selv om jeg står ved den generelle ideen om at dette alle er aksiomatiske eller definisjonspåstander som bare kan tilbakevises hvis du velger en annen definisjon av +, noe som ikke ville være en tilbakevisning i det hele tatt. Det ville bare være en annen definisjon.
• @Schiphol Jeg don ' t mener å være altfor avvisende for spørsmålet, men jeg ser ikke at det har noen filosofisk kant, eller til og med nødvendigvis at Peano må bringes inn i den. Spørsmålet ser ut til å være basert på en misforståelse, som om en disproof på 1 + 1 = 2 kunne ha en hvilken som helst merkbar form, eller at vi alle ville kollapse i et svart hull hvis en skulle skje.Det ville være en annen ting helt hvis den ble formulert som den mer konsekvente, men ekvivalente ' hvorfor kan vi trygt anta 0 ≠ 1 og hva er de sterkeste argumentene for det motsatte? '
• @EricDuminil, Merriam-Webster definerer bokstavelig talt " to " " er en mer enn en i antall ", som er nøyaktig S(S(0)). Så i dette tilfellet har vi absolutt en definisjon.

mest grunnleggende ligning

Antagelsen din er feil. 1 + 1 = 2 er ikke et aksiom av matematikk, men (som Sputnik påpeker) en konsekvens av Peano-aksiomer brukt på base 10 representasjoner av tall.

Man kan enkelt endre fra desimal (base 10) til unary (base 1) og si:

1 + 1 = 11.

Eller endre til binært (base 2, hva datamaskinen din faktisk bruker), og si:

1 + 1 = 10.

Og for å få det til, kan jeg gå inn på romerske tall :

I + I = II.

Så det er representasjoner der 1 + 1 er ikke 2 (og til og med systemer der du ikke har glyfen 1), men universet har ikke implodert ennå på grunn av det.

Nå, hva om spørsmålet ditt var mer lik e …

Hva om Peano-aksiomene strider mot observasjoner fra den naturlige verden?

I så fall vil svaret mitt være dobbelt:

• Matematikk basert på Peano-aksiomene vil fremdeles være nyttig
• Matematikere vil komme med en annen sett med aksiomer som passer til den naturlige verden, sammen med matematikk basert på de nye aksiomene

For å forstå dette, ta for eksempel Newtonsk fysikk : de er et stort regelsett for matematikk bygget på toppen av noen aksiomer som passer fint til observasjonene fra den naturlige verden.

Men så la Einstein merke til at noen av aksiomene ikke virkelig passet (spesielt når ting går i lysets hastighet), og kom opp med relativistisk fysikk , som ganske mye ugyldiggjør all nytonsk fysikk.

Selv vi vet newtonske fysikk har feil (fordi de er basert på en modell som er for enkel), de er et verktøy som er gyldig for mange problemer.

Samme med peanobasert aritmetikk: selv om de ikke passer til noen observasjoner i den naturlige verden, ville de fortsatt være gode verktøy. Og som en konsekvens av inhabiliteten, kunne et annet sett matematikk hentes fra det.

Kommentarer

• Symbolet " 1 " vil normalt bli definert som multiplikativ identitet, og " 2 " vil normalt bli definert som summen av multiplikasjonsidentiteten med seg selv. At 1 + 1 = 2 ikke ville være ' t være en " aksiom " heller være underforstått ganske direkte av disse definisjonene. Hvis man skulle definere symboler annerledes, kan ikke ligningen ved bruk av disse symbolene holde, men å legge til den multipliserende identiteten til seg selv, vil fremdeles gi summen av den multiplikative identiteten og seg selv, uavhengig av hvilke symboler som trengs for å skrive det faktum. >
• Takk for at du tok opp newtonske fysikk vs relativistisk fysikk, fordi det å finne ut 1c + 1c != 2c er akkurat det som skjedde. Matematikken var riktig, men modellen vår for å legge til hastigheter var feil ved høye hastigheter , så vi fikset modellen for å matche observasjoner . Det må ta hensyn til Lorentz-faktoren ved høye hastigheter. Lignende problemer med klassisk vs kvantemekanikk.
• Du ser ikke ' t ser mange arabiske matematikere hevde at fordi de bruker forskjellige tall, har de derfor motbevist 1 + 1 = 2. Så det er ' synd at den første delen av dette svaret er feil, fordi den andre delen er veldig bra.
• @SteveJessop I det minste delvis fordi 1 , 2 osv. er arabiske tall. Men det overordnede poenget ditt er gyldig. (dvs. ' er synd at den første delen av kommentaren din er feil, fordi den andre delen er veldig bra.)
• En uenighet. Newtons fysikk er ikke " feil. " Den fungerer perfekt i den sammenhengen den ble oppdaget i.Jeg har aldri trengt å bruke generell relativitet i noen av mine 30 år med fysikkrelatert arbeid. Newtonsk mekanikk har skåret meg godt og riktig i min sammenheng. Det som relativitet gjør, er å utvide den nytonske fysikken til å forklare fenomener som oppstår nær lysets hastighet, og utvide rekkevidden av sammenhenger der vi riktig kan resonnere om tyngdekraften og lyset.

Hvis 1 + 1! = 2, så 1 – 1! = 0, noe som betyr at ladningen på protonene i en kjerne ikke lenger avbryter ladning på elektronene. Dermed får alle atomer netto elektrisk ladning, og alle makroskopiske legemer tiltrekkes (eller frastøtes) til (fra) hverandre med en utrolig kraft – 36 størrelsesordener sterkere enn tyngdekraften. Dette vil knuse hele universet til en subatomær masse i ganske kort rekkefølge …

Kommentarer

• Visst, men da ville det også ikke gjør det.
• Total protonisk reversering? Å krysse bekkene er dårlig, Ray.
• Dette er faktisk det eneste svaret jeg ' har lest her som presenterer en teori om " hva som ville skje " del av spørsmålet. Bravo, Oscar.
• " Hvis 1 + 1! = 2, så 1 – 1! = 0 " Jeg får ikke ' det. Hvordan blir den konklusjonen gjort?
• @CPHPython Det kan skje hvis 1 + 1 = 2 er falsk ( og hvis elektrisk ladning overholder reglene for + ). Men hvis det ' s motbevist , betyr det bare måten vi lager disproofing er ødelagt.

Hva som ville skje er konseptuelt veldig enkelt. Papiret som viser «¬1 + 1 = 2» får tittelen « Zermelo – Fraenkel settteori er inkonsekvent » og publisert.

Fra der blir det vanskeligere. Avhengig av hvordan beviset fungerer, bør vi ende opp med en ny, svakere setning som resulterer i at konsistensen blir gjenopprettet. Eller noe verre; Peano Axioms kan være ugyldig med konsekvensen av, vel, jeg vet ærlig talt ikke. Noen operasjoner vi pleide å ha forsvinner, men den vant «t være tillegg. Heltallstillegg kan ikke motbevises i det endelige riket (takk vitenskap!) så noe annet på veien mot mottett blir kastet ut. Kanskje håndteringen av uendelig er feil i all matematikk. Kanskje noe annet. Jeg beklager hvis dette høres ut som spekulasjoner. Spekulasjonene er faktisk i spørsmålet. Det kommer ganske an på hvor stort hull du vil slå.

På den praktiske siden vet vi allerede hva som skjer . 1 + 1 = 2 vil fremdeles være sant for ethvert rimelig domene og brukstilfelle, så vi vil fortsette å bruke det. Etter en stund vil feilmodus bli forstått og nøye (eller ikke så nøye) ekskludert som vi gjør i informatikk for overløp nå.

Kommentarer

• " Zermelo – Fraenkel Set Theory is inconsistent " – eller en enda bedre tittel, hvis beviset ikke ' ikke krever alle ZF-aksiomene.
• Pudlak teoretiserer at hvis en motsigelse ble funnet i Peano Axioms, ville vi begynne å begrense induksjonsaksiomet til " små " formler, for en definisjon av liten. Dette vil sannsynligvis gjenopprette konsistensen.
• Og denne typen skjer allerede redigerte en gang med Russel ' s Paradox. (Med unntak av at jeg ikke vet ' at Cantor ' s settteori ofte ble ansett som et godt grunnlag for all matematikk på den tiden som ZF [C] er nå.)

1 + 1 = 2 er en nødvendig sannhet — omtrent, en uttalelse som er sant i alle mulige verdener. Spørsmålet ditt ber altså om sanne kontrafaktiske betingelser med umulige fortilfeller. Disse kalles noen ganger motmuligheter (f.eks. Avsnitt 5.1 her ).

Det tradisjonelle synet pleide å være det alle disse motmulighetene er trivielt sanne. Ifølge dette synet, «hvis en pluss en ikke var to, så ville q » være sant for vilkårlig q . Mer nylig har flere filosofer hevdet at det å gi mening om vitenskap og hverdagsresonnement krever en semantikk for motmuligheter som ikke trivielt innebærer deres sannhet. Se referanser til denne debatten i den siste SEP-oppføringen knyttet til ovenfor.

Uansett, vær trygg, en pluss en tilsvarer nødvendigvis to.

Kommentarer

• " i enhver mulig verden ". Dette er diskutabelt. Det kan være en verden vi ' ikke kan forstå og til og med forestille oss siden den ' s logiske lover (og aritmetiske hvis de til og med eksisterer der) er helt forskjellige.
• @ rus9384 konsensus blant teoretikere som arbeider med dette emnet er at logiske sannheter er nødvendige. Forutsatt her at OP ikke er interessert i å bestride sannheten til Peano-aksiomene, er 1 + 1 = 2, som følger av disse aksiomene, nødvendig. I den mulige verdens fortolkning av nødvendighet betyr det å være nødvendig bare å være sann i enhver mulig verden. Fordi, som du sier, vi noen ganger trenger å resonnere om umulige forhold, noen teorier fungerer med en forestilling om umulig verden for akkurat dette formålet.
• Så den verden er umulig, fordi vi ikke kan ' ikke tenke på den? Blinde mennesker kan ' ikke se, men at ' ikke er problemet. Det er farger som andre dyr oppfatter som vi ikke opplever ' (med mindre teknologien vil utvikle seg mye nok). Det er bare slik at vår sans for logikk ikke tillater oppfatning av andre logiske systemer. Og vi kan ' ikke være sikre på at Peano-aksiomer virkelig fungerer i vår verden. Selv 1 + 1 = 2 kan bestrides på kvantenivå.
• Vel, la ' s si dette: muligheten er en nyttig forestilling, fordi ikke alle brønnene -formet setning i den veiledende representerer en mulig tilstand. Ta en setning som uttrykker en av de ikke-mulige tingene. Hvordan skal vi resonnere om dem? Noen sier: ved å postulere ekstra verdener der per umulig slike ting er sanne.
• @ rus9384 Jeg tror ikke ' Jeg tror ikke 1+ 1 = 2 kan bestrides på alle nivåer. Det du kan bestride er at Peano-aksiomene modellerer verden godt på kvante-nivå. Det gjør ikke ' t 1 + 1 = 2 ikke sant gitt Peano-aksiomene.

Beviset må ha blitt utført i et slags formelt system, ellers er det ikke så mye et bevis som et overbevisende argument. Så, vi har et bevis i et eller annet system på utsagnet 1 + 1! = 2.

Filosofer i emnet logikk, og matematikere, vil se nøye på detaljene i dette beviset. Siden alle formelle systemer som alle er interessert i, viser det motsatte av dette utsagnet, å bevise at denne påstanden viser at uansett hvilket system som ble brukt, er inkonsekvent. Slik at systemet ikke lenger kunne brukes til seriøst arbeid. Derfor ville logikere ha lært noe ekstremt viktig om det spesifikke logiske systemet, og de ønsker å vite hvilke andre systemer den samme teknikken vil vise seg å være inkonsekvent.

Universet kunne ikke «kastes i kaos» med mindre man tror på en slags (tør jeg sa y it: magisk?) effekt som bevegelsen til stjerner i Andromeda-galaksen påvirkes betydelig av hvilke markeringer du lager på et papirark på jorden. En solipsist kan, antar jeg, tro at universet bare opprettholdes av deres personlige tro på logisk konsistens, og dermed at universet ville bli grunnleggende endret ved å lese dette beviset. De fleste mennesker har nok tro på eksistensen av en ekstern virkelighet, til ikke å tro at universet har noen interesse for hva bevis mennesker gjør eller ikke produserer.

Jeg forventer at filosofer ikke er interessert i logikk og formelt bevis. systemer vil for det meste ignorere resultatet, i det minste til logikerne forklarte dem nøyaktig under hvilke forhold de (ikke-logikerne) faktisk bruker det samme feilsystemet som beviser 1 + 1! = 2, og derfor hvilken begrunnelse det er de trenger å slutte å bruke.

Selvfølgelig avhenger det også til en viss grad av hva du mener med å motbevise at 1 + 1 = 2. Man kan forestille seg et «fysisk bevis» i stedet for en formell logisk. Hvis du mener at noen har bevist at de kan plassere en appelsin i en tom bolle, og deretter plassere en annen appelsin i samme bolle, og ingen andre appelsiner er tilsatt eller fjernet, og at bollen nå inneholder noe annet appelsin enn 2, kan du si at de «har bevist 1 + 1! = 2. Men alles forventning er at det faktisk er en slags tidligere ukjent fysisk prosess som involverer appelsiner. Så mens du har oppdaget noe som virkelig endrer forestillingene våre om virkeligheten, er det ikke på grunn av at den «mest grunnleggende ligningen» er logisk feil, det er fordi appelsiner (eller fysiske gjenstander) generelt) adlyder tilsynelatende ikke aritmetikk lenger, og derfor er ligningen ikke lenger anvendelig for dem. Naturligvis vil dette være ekstremt urovekkende, fordi mennesker stoler hele tiden på å kunne telle ting, og så kan menneskesamfunnet godt bli kastet i kaos.

Kanskje relevant for diskusjonen er Inkonsekvent matematikk :

det er studiet av vanlige matematiske objekter, som sett, tall og funksjoner, der noen [ vekt lagt til ] motsetninger er tillatt.

Og se diskusjonen om Aritmetikk :

En inkonsekvent regning kan betraktes som et alternativ eller en variant på standardteorien, som en ikke-euklidisk geometri.

Aritmetikkens standardaksiomer er Peanos, og deres konsekvenser – standardteori for aritmetikk – kalles PA . Standardmodellen for aritmetikk er N = {0, 1, 2, …} , zero og dens etterfølgere.

De konsistente ikke-standardmodellene er alle eks spenninger i standardmodellen, modeller som inneholder ekstra objekter. Inkonsekvente aritmetiske modeller er den naturlige doble, der standardmodellen i seg selv er en utvidelse av en mer grunnleggende struktur, som også gjør alle de rette setningene sanne.

Inkonsekvent aritmetikk ble først undersøkt av Robert Meyer i 1970 «s. Der tok han den parakonsistente logikken R og la til den aksiomer som styrer etterfølger, tillegg, multiplikasjon og induksjon, og ga systemet R #.

I 1975 beviste Meyer at hans regning er ikke-triviell, fordi R # har modeller. Mest spesielt har R # endelige modeller med et to-element domene {0, 1} , med etterfølgerfunksjonen beveger seg i en veldig tett sirkel over elementene.

Slike modeller gjør alle setningene til R # sanne, men holder ligninger som 0 = 1 bare usant.

Så hva? Kanskje vi kan overleve til en (begrenset?) mengde inkonsekvens .

Men vurder dette du må h-eksperiment, basert på et intuitivt eksempel avledet fra Graham Priest analyse av den generelle strukturen til modeller for inkonsekvent aritmetikk:

forestill deg standardmodellen for aritmetikk, opp til et inkonsekvent element

n = n + 1 .

Denne n mistenkes å være en veldig , veldig stort antall [ vekt lagt til ], " uten fysisk virkelighet eller psykologisk betydning. " Avhengig av din smak, er det det største endelige tallet eller det minst inkonsekvente tallet. Vi forestiller oss videre at for j, k > n , har vi j = k .

Hvis i den klassiske modellen j ≠ k , så stemmer dette også; derfor har vi en inkonsekvens, j = k og j ≠ k . Ethvert faktum som er sant for tall som er større enn n , gjelder for n også, for etter n , er alle tall identiske med n .

Ingen fakta fra den konsistente modellen går tapt.

Men vurder nå saken at n er veldig veldig stor, men ikke " uten psykologisk betydning " og forestill deg at bankkontoen din legger til et beløp på n USD (eller GBP eller hva som helst).

Fra det øyeblikket vil ikke bankkontoen vokse lenger, uten " forstyrrelser " i de vanlige regningslovene.

Har vi lov til å betrakte det som et tilfelle av " universet kastes i kaos " ?

Gödels teorem sier omtrent at ethvert tilstrekkelig nyttig matematisk system er enten ufullstendig eller motstridende, det vil si at det enten er utsagn som ikke kan bevises eller motbevises, eller at det er utsagn som kan bevises både sanne og falske.

Det er mange uttalelser om at vi ikke har vært i stand til å bevise sanne eller falske (men det kan være fordi vi ikke var flinke nok), og ingen motsetninger har blitt bevist (men det kan også være fordi vi var ikke flinke nok), så det er ikke utenkelig at «1 + 1 ≠ 2» kunne bevises. 1 + 1 = 2 ville da være samtidig sant og usant.

Hva ville skje?Mye banning blant matematikere ville skje. Mange diskusjoner ville pågå hvordan vi kan ignorere dette faktum og sitte igjen med nyttig matematikk. Universet ville ikke endre seg.

Tatt i betraktning spørsmålet: «1 + 1 = 2» kan ikke og vil aldri bli motbevist (det vil si at beviset, som ikke er mye mer enn enkel anvendelse av aksiomer, er bevist for å være feil). Det som er eksternt mulig, er at det på toppen av beviset på at det er sant, også kan være et bevis på at det er falskt.

Matematikk og / eller vitenskap ville forbedres.

Matematikere søker og bruker mønstre for å formulere nye antagelser; de løser sannheten eller falsken av antagelser ved matematisk bevis ( fra wikipedia ). Vi kan hevde at 1 + 1 = 2 stammer fra definisjon, ikke fra bevis som gjør spørsmålet vanskelig eller dårlig dannet. Men spørsmålet ditt er fortsatt gyldig i bredere forstand. Et matematisk bevis kan være feil. Det har allerede skjedd. Dette mathoverflow-spørsmålet er fullt av historiske bevis og conjetures som ikke er korrekte. Når en slik feil oppdages, ting univers-knusing skjer. Vi slutter bare å ta feil og har rett, vi har forbedret kunnskapen vår om matematikk.

Så la oss si at vi jobber med aksiomer som ikke inkluderer 1 + 1 = 2. Og at vi kommer til 1 + 1 = 2 gjennom matematisk resonnement og legger et matematisk bevis for det. Og la oss si, for argumentets skyld, oppdager vi senere at et slikt bevis er galt, faktisk 1 + 1 = 3. Nei, det ville ikke kaste universet i kaos. Universet var hva det var før mennesker kom til begrepet 1 + 1 = 2 (eller så antar jeg, jeg var ikke der for å observere det, men vi har mange gode bevis som hjelper oss å vite hvordan det var). Og hver gang et matematisk bevis har blitt bevist feil, har universet ikke blitt kastet i kaos. Det som endret var vår forståelse av matematikk. Det er rimelig å anta at det ville være det samme for 1 + 1 = 3.

Det er en ting som vil bli kastet i kaos. Matematikere Nå som vi vet at 1 + 1 = 2 er falsk, er ethvert bevis som avhenger av det feil. Feil, ikke akkurat feil. Uttalelsene som er validert av bevis som avhenger av 1 + 1 = 2, kan fremdeles være sanne, men de gamle bevisene ville ikke tjene til å etablere den sannheten. Mye materiale trenger å bli revidert og omskrevet, ville mye diskusjon innledes. Men vi ville komme klokere ut av i kaos.

Hva med vitenskapelige teorier som avhenger av 1 + 1 = 2 ?. Som det som er beskrevet i et annet svar på dette spørsmålet. Nei, dette ville ikke mase hele universet til en subatomær masse i ganske kort rekkefølge. Universet var hva det var før vi oppdaget 1 + 1 = 3 og ville fortsette å være slik (jeg antar at siden det har skjedd for andre motbevist bevis). Siden vi ville ha oppdaget at de gamle vitenskapelige teoriene ikke forklarer universet riktig, ville bedre modeller bli utviklet.

Hvis slike elementære ting kastes i tvil, så a fortiori er mye mindre elementære ting, for eksempel trinnene i resonnementet som trengs for å bevise at en og en ikke legger til to. Dermed ville det være rimelig å tvile på noe slikt bevis. Faktisk ville jeg ignorere beviset – sammen med et dusin eller så utrolige påstander jeg møter hver dag – som (jeg mistenker) ville gjort for de fleste andre.

Som et resultat, ville jeg forvente at beviset skulle ha like stor effekt på verden som en ny demonstrasjon av euklidisk vinkeltrekning (slik som har blitt sendt mange ganger før). Det vil si at det midlertidig vil okkupere de relativt få menneskene som valgte å se på det.

Kort svar: Ja. Hvis du kunne bevise at en slik elementær og tilsynelatende åpenbar uttalelse er falsk, vil det stille spørsmålstegn ved mye av det vi tror vi vet om matematikk, og sannsynligvis mye annet om universet.

Så hva? Med mindre du har noen bevis for at denne påstanden er falsk, er den «meningsløs hypotetisk. Jeg har faktisk hatt mange samtaler der noen presenterte meg noen hypotetiske om et komplekst tema, som» Hva om det ble bevist at denne politiske politikken som du støtter, fungerer ikke det, eller «Hva om Gud befalte deg å gjøre noe ondt?», osv. Og svaret mitt er generelt å si: «Jeg tror ikke at den hypotetiske situasjonen du beskriver sannsynligvis vil skje. Hva om noen beviste at 1 + 1 = 2 er falsk? «

I en streng matematisk forstand kan jeg ikke se hvordan du kan bevise 1 + 1 = 2 falsk fordi det er sant per definisjon. definisjon av «2» er «1 + 1». I det minste er det det jeg ble lært i tallteori. Gitt kompleksiteten i moderne matematikk, er det sannsynligvis andre definisjoner i andre grener. Men du kan ikke bevise at en definisjon er falsk. Det stemmer ved … definisjon.

Ingenting ville skje med virkeligheten – det ville forbli som det er. Imidlertid ville vi da kreve en endring i vår teori om telling, som ville gjenklang gjennom andre matematiske teorier som er bygget på telling. Siden denne ligningen av aritmetikk effektivt er en definisjon av to (se f.eks. Aritmetikkbygging i matematiske aksiomsystemer), vil et bevis på at denne ligningen er feil, bety at vi ikke gyldig kan legge til en og en ( eller mer presist, ethvert aksiomsystem som lar oss legge til ett og ett er logisk inkonsekvent). Det ville kreve at vi formulerte alternative aksiomsystemer i matematikk som unngår inkonsekvensen. Virkeligheten ville fortsette å tøffe sammen som normalt mens vi prøvde å finne ut av det.

Du kan ikke motbevise et aksiom , og Peanos aksiomer sier at 1 + 1 = 2.

Kontekstbytte, i boolsk logikk + betyr noe annet og 1 + 1 = 1.

Kommentarer

• Jeg ' er ganske sikker på at ' s sirkulære logikk. du sa i hovedsak at det ' er et aksiom fordi det ' er i en liste over aksiomer.
• @ Ruadhan2300 Peano-aksiomene er de vanlige logikkaksiomene. Du kan anse det som dogmatisk, men det er like trivielt som " Hvert tall har en etterfølger. "
• Ikke benekter at Peano-aksiomene definitivt er en veldig troverdig kilde, men " det ' stemmer fordi det ' s true " er fremdeles et merkelig argument å gjøre.