Hvor brukes Atiyah-Singer-indekssetningen i fysikk?

Ligningsbevegelsene, eller ligningene til øyeblikk, eller solitoner, eller Einsteins ligninger, eller omtrent alle ligninger i fysikk, er differensiallikninger. I mange tilfeller er vi interessert i plass til løsninger i en differensialligning. Hvis vi skriver den totale (muligens ikke-lineære) differensiallikningen som $ L (u) = 0, $ kan vi linjere i nærheten av en løsning $ u_0, $ dvs. skrive $ u = u_0 + v $ og utvide $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ for å konstruere en lineær ligning $ D (v) = 0 $ i forskyvningen $ v. $

En lineær differensialligning er som en matriseligning. Husk at en $ n \ ganger m $ matrise $ M $ er et kart fra $ R ^ n $ til $ R ^ m $, og $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ uavhengig av den spesielle matrisen (eller lineær transformasjon, mer generelt). Dette tallet kalles «indeksen». I uendelige dimensjoner er disse tallene generelt ikke endelige, men ofte (spesielt for elliptiske differensiallikninger) er de, og avhenger bare av viss «global» informasjon om rommene de virker på.

Indekssetningen forteller deg hva indeksen til en lineær differensialoperatør ($ D, $ over) er. Du kan bruke den til å beregne dimensjonen av løsningsområdet til ligningen $ L (u) = 0. $ (Når løsningsrommet er en manifold [en annen historie], er dimensjonen dimensjonen av tangensrommet, som ligningen $ D (v) = 0 $ beskriver.) Det forteller ikke deg hva det faktiske rommet for løsninger er. Det «et harde, ikke-lineære spørsmålet.

Kommentarer

• Jeg antar at det ‘ et fint matematisk svar for fysikere som ikke ‘ ikke allerede vet utsagnet om indekssetningen. Men jeg ser ikke noe faktisk fysisk eksempel. Det er synd, jeg er sikker på at Eric må vite mange av dem Jeg vet at folk bruker det i strengteori hele tiden. Men jeg vet ikke ‘ til å gi et eget svar.
• Indekssetningen er veldig generelt og gjelder alle eksemplene jeg siterte (instantons, solitons, Einstein ‘ s ligninger). For eksempel modulrommet til $ SU (2) $ instantons på de fire -sfære $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ med konstant atferd ved uendelig) med øyeblikkelig antall $ k $ er lik $ 8k – 3 $ av indekssetningen.
• Vel, du sa » omtrent alle ligninger i fysikk » som er i direkte motstrid med hverdagen min observasjon 🙂 Det jeg håpet på var noen konkrete eksempler som de Steve ga. Eller noe som ditt øyeblikkelige eksempel (jeg tror du mente $ S ^ 3 $ skjønt?). Jeg vil gjerne se flere av disse, spesielt knyttet til noen fysisk tolkning. Takk på forhånd 🙂
• Det er sant at omtrent enhver ligning i fysikk er en differensialligning! Ikke alle fører til indeksproblemer. (Jeg mente S ^ 4. Instantons er tidsavhengige feltkonfigurasjoner.) Et eksempel fra strengteori, hvis Feynman-diagrammer er todimensjonale QFT-amplituder. At 2d feltteori beskriver kart fra en overflate til en romtid, og øyeblikkene til denne teorien er holomorfe kart. Dimensjonen til rommet til slike kart er funnet ved hjelp av en indeksformel. For en CY er denne dimensjonen null, noe som betyr at du kan telle løsninger (dette er relatert til topologisk strengteori).
• +1 på det fine svaret og omtale av instantons. Men er det faktisk en anvendelse på Einstein ‘ s ligning? AFAIK indekssetningen gjelder for lineære elliptiske operatører …

Eric og andre har gitt godt svar på hvorfor man forventer at indekssetningen oppstår i forskjellige fysiske systemer. En av de tidligste og viktigste applikasjonene er «t Hoofts» oppløsning av $ U (1) $ problemet. Dette refererer til mangelen på et niende pseudo-Goldstone-boson (som pionene og Kaons) i QCD som man naivt ville forvente av at chiral symmetri brøt. Det er to deler av oppløsningen. Den første er det faktum at den chirale $ U (1) $ er uregelmessig. Det andre er erkjennelsen av at det er konfigurasjoner av endelig handling (momentoner) som bidrar til korrelasjonsfunksjoner som involverer divergensen til aksialstrømmen $ U (1) $. Analysen er sterkt avhengig av indekssetningen for Dirac-operatøren koblet til $ SU (3) $ gauge-feltet til QCD. For en mer fullstendig forklaring, se S. Colemans «Erice-forelesninger» Bruken av instantons.»Det er også viktige applikasjoner til S-dualiteten på $ N = 4 $ SYM som involverer indekssetningen for Dirac-operatøren på monopolmodulrom.

Kommentarer

• Jeff, hold deg på linjen! Jeg tror Physics Stack Exchange kan være nyttig for fysikksamfunnet hvis den brukes så bredt og så klokt som Math Overflow – for eksempel fra folk som deg!
• Takk Eric. Jeg samler at dette nettopp har startet på nytt. Jeg håper det fungerer. Det har noen måter å gå før det er MO-kvalitet.
• Faktisk. Jeg tror det ‘ er nå et nettsted under utvikling (Theoretical Physics Stack Exchange) som vil sikte på å være mer som Math Overflow, men dette har fordelen av å være eksisterende.

La meg først forklare hva indeks i spørsmålet refererer til Hvis matematikken blir for full av sjargong, så gi meg beskjed i kommentarene.

I fysikk er vi ofte interessert i spekter av forskjellige operatører på noen manifolder vi bryr oss om. F.eks .: Dirac-operatøren i 3 + 1 romtid. Spesielt lavenergi langdistansefysikk er inneholdt i nullmodusene (grunntilstander).

Nå måler «indeksen» for Dirac-operatøren $ D $ og en gitt manifold $ M $, er forskjellen mellom antall venstrehåndede nullmodi og antall høyrehåndede nullmodi. Mer teknisk:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

hvor $ D $ er den aktuelle operatøren; $ ker \, D $ er kjernen til $ D $ – settet med stater som er utslettet av $ D $; og $ ker \, D ^ {+} $ er kjernen til dens tilknytning. Så, som du kan se, teller $ ind \, D $ forskjellen mellom dimensjonaliteten til disse to mellomrommene. Dette tallet avhenger bare av topologien på $ M $.

Kort sagt, ASI-teoremet relaterer topologien til en manifold $ M $ til nullmodusene eller bakketilstandene til en differensialoperator $ D $ som virker på $ M $. Dette er åpenbart informasjon av relevans for fysikere.

Kanskje noen andre kan utdype mer om de fysiske aspektene.

Den beste referansen for dette og andre matematiske fysikkemner, er etter min mening, Nakahara .

I tilfelle av Dirac-operatør, indeksen er den (signerte) overflødige dimensjonen til rommet for vakuummodi for den ene chiraliteten m / r / t den andre: dvs. antall unormale «ghost» -tilstander i en chiral feltteori.

p> Avvik oppstår når den klassiske / kvantesymmetriske korrespondansen brytes ned under renormalisering (en global anomali kan være ansvarlig for kvarkmasse i QCD; å løse den lokale chirale anomalien i SM kontoer for kvarker og leptoner; å løse den i superstrengsteori fikser måleren gruppe [til enten SO (32) eller E8 x E8], og oppløsningen til en konform anomali fikser dimensjonen til romtid og fermioninnholdet). Når man prøver å gjøre strengteori til faktisk fysikk, spør man

• Kan det forklare tre generasjoner av chirale fermioner?
• Kan det forklare eksperimentelle resultater ved protonråte?
• Kan det forklare litenhet i elektronmassen?
• Kan den forklare [ting om den kosmologiske konstanten]?

og AST hjelper til å svare på disse spørsmålene.